Novikov's condition

В вероятностей теории условие Новикова является достаточным условием для того, чтобы случайный процесс , принимающий форму производной Радона–Никодима в теореме Гирсанова, был мартингалом . При выполнении вместе с другими условиями теорема Гирсанова может быть применена к стохастическому процессу броуновского движения для перехода от исходной меры к новой мере, определяемой производной Радона – Никодима.

Это условие было предложено и доказано Александром Новиковым . Есть и другие результаты, которые можно использовать, чтобы показать, что производная Радона – Никодима является мартингалом, например, более общий критерий условие Казамаки , однако условие Новикова является наиболее известным результатом.

Предположим, что $(X_{t})_{0\leq t\leq T}$ это вещественнозначный адаптированный процесс в вероятностном пространстве $\left(\Omega ,({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} \right)$ и $(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ представляет собой адаптированное броуновское движение :

Если условие

$\mathbb {E} \left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|X|_{t}^{2}\,dt}\right]<\infty$

выполняется, то процесс

$\ {\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}X_{s}\;dW_{s}\right)\ =e^{\int _{0}^{t}X_{s}\,dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\,ds},\quad 0\leq t\leq T$

является мартингалом по вероятностной мере $\mathbb {P}$ и фильтрация ${\mathcal {F}}$. Здесь ${\mathcal {E}}$ обозначает показатель Долеана-Дейда .

Внешние ссылки

• Крогстад, HE (2003). «Комментарии к теореме Гирсанова» (PDF) . МВФ . Архивировано из оригинала (PDF) 1 декабря 2005 г.