Теорема Гирсанова

Визуализация теоремы Гирсанова. Слева показан винеровский процесс с отрицательным дрейфом при канонической мере P ; в правой части каждый путь процесса раскрашен в соответствии с его правдоподобием при мартингальной Q. мере Преобразование плотности от P к Q задается теоремой Гирсанова.

В теории вероятностей теорема Гирсанова показывает, как изменяются случайные процессы при изменении меры . Теорема особенно важна в теории финансовой математики, поскольку она показывает, как преобразовать физическую меру , которая описывает вероятность того, что базовый инструмент (такой как цена акции или процентная ставка ) примет определенное значение или значения, в нейтральный к риску показатель , который является очень полезным инструментом для оценки стоимости деривативов на базовый актив.

История

Результаты этого типа были впервые доказаны Кэмероном-Мартином в 1940-х годах и Игорем Гирсановым в 1960 году. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, кульминацией которых стала общая форма Ленгларта (1977).

Значение

Теорема Гирсанова важна для общей теории случайных процессов, поскольку она позволяет получить ключевой результат: если Q — мера , абсолютно непрерывная относительно P , то каждый P -семимартингал является Q -семимартингалом.

теоремы

Сначала мы сформулируем теорему для частного случая, когда лежащий в основе случайный процесс является винеровским процессом . Этого особого случая достаточно для нейтрального к риску ценообразования в модели Блэка-Шоулза .

Позволять $\{W_{t}\}$ быть винеровским процессом в вероятностном пространстве Винера $\{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}$. Позволять $X_{t}$ быть измеримым процессом, адаптированным к естественной фильтрации процесса Винера $\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}$; мы предполагаем, что обычные условия выполнены.

Учитывая адаптированный процесс $X_{t}$ определять

$Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t},\,$

где ${\mathcal {E}}(X)$ является экспонентой X W относительно стохастической , т.е.

${\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),$

и $[X]_{t}$ обозначает квадратичную вариацию процесса X .

Если $Z_{t}$ это мартингал , то вероятность мера Q может быть определена на $\{\Omega ,{\mathcal {F}}\}$ такая, что производная Радона–Никодима

$\left.{\frac {dQ}{dP}}\right|_{{\mathcal {F}}_{t}}=Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}$

Тогда для каждого t мера Q ограничена нерасширенными сигма-полями ${\mathcal {F}}_{t}^{o}$ эквивалентно P, ограниченному

${\mathcal {F}}_{t}^{o}.\,$

Кроме того, если $Y_{t}$ является локальным мартингалом относительно P , то процесс

${\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}$

представляет собой Q- локальный мартингал в отфильтрованном вероятностном пространстве. $\{\Omega ,F,Q,\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}\}$.

Следствие

Если X — непрерывный процесс и W — броуновское движение относительно меры P , то

${\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}$

является броуновским движением относительно Q .

Тот факт, что ${\tilde {W}}_{t}$ является непрерывным, тривиальным; по теореме Гирсанова это Q локальный мартингал, а по вычислению

$\left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t$

из характеристики броуновского движения Леви следует, что это Q- броуновское движение.движение.

Комментарии

Во многих распространенных приложениях процесс X определяется формулой

$X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.$

Тогда для X такого вида необходимым и достаточным условием ${\mathcal {E}}(X)$ быть мартингалом — это условие Новикова , которое требует, чтобы

$E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds\right)\right]<\infty .$

Стохастическая экспонента ${\mathcal {E}}(X)$ это процесс Z , который решает стохастическое дифференциальное уравнение

$Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dX_{s}.\,$

Построенная выше мера Q не эквивалентна P на ${\mathcal {F}}_{\infty }$ поскольку это было бы так только в том случае, если бы производная Радона – Никодима была равномерно интегрируемым мартингалом, которым описанный выше экспоненциальный мартингал не является. С другой стороны, пока выполняется условие Новикова, меры эквивалентны на ${\mathcal {F}}_{T}$.

Кроме того, объединив приведенное выше наблюдение в данном случае, мы видим, что процесс

${\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds$

для $t\in [0,T]$ является Q-броуновским движением. Это была оригинальная формулировка приведенной выше теоремы Игорем Гирсановым.

Заявка на финансирование

Эту теорему можно использовать, чтобы показать в модели Блэка – Шоулза уникальную нейтральную к риску меру, т. е. меру, в которой справедливая стоимость производного инструмента представляет собой дисконтированную ожидаемую стоимость Q, определяемую выражением

${\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}{\frac {r_{s}-\mu _{s}}{\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).$

к

Другое применение этой теоремы, также данное в оригинальной статье Игоря Гирсанова, относится к стохастическим дифференциальным уравнениям . В частности, рассмотрим уравнение

$dX_{t}=\mu (t,X_{t})dt+dW_{t},$

где $W_{t}$ обозначает броуновское движение. Здесь $\mu$ и $\sigma$ являются фиксированными детерминированными функциями. Будем считать, что это уравнение имеет единственное сильное решение на $[0,T]$. В этом случае теорему Гирсанова можно использовать для вычисления функционалов от $X_{t}$ непосредственно через соответствующий функционал броуновского движения. Более конкретно, для любого ограниченного функционала $\Phi$ о непрерывных функциях $C([0,T])$ что

$E\Phi (X)=E\left[\Phi (W)\exp \left(\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})^{2}ds\right)\right].$

Это следует из применения теоремы Гирсанова и приведенного выше наблюдения к мартингальному процессу.

$Y_{t}=\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})dW_{s}.$

В частности, отметим, что в введенных выше обозначениях процесс

${\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})ds$

является Q-броуновским движением. Переписав это в дифференциальной форме как

$dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}+\mu (t,W_{t})dt,$

мы видим, что закон $W_{t}$ под Q решает уравнение, определяющее $X_{t}$, как ${\tilde {W}}_{t}$ является Q-броуновским движением. В частности, мы видим, что правую часть можно записать как $E_{Q}[\Phi (W)]$, где Q — мера, принятая по отношению к процессу Y, поэтому результатом теперь является просто формулировка теоремы Гирсанова.

Более общая форма этого приложения заключается в том, что если оба

$dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)dW_{t},$ $dY_{t}=(\mu (Y_{t},t)+\nu (Y_{t},t))dt+\sigma (Y_{t},t)dW_{t},$

допускать уникальные сильные решения по $[0,T]$, то для любого ограниченного функционала на $C([0,T])$, у нас это есть

$E\Phi (X)=E\left[\Phi (Y)\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)}{\sigma (Y_{s},s)}}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)^{2}}{\sigma (Y_{s},s)^{2}}}ds\right)\right].$

См. также

• Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.

Ссылки

• Липцер, Роберт С.; Ширяев А.Н. (2001). Статистика случайных процессов (2-е изд. и доп. изд.). Спрингер. ISBN  3-540-63929-2 .
• Деллачери, К.; Мейер, П.-А. (1982). «Разложение супермартингалов, приложения». Вероятности и потенциал . Том. Б. Перевод Уилсона, JP Северная Голландия. стр. 183–308. ISBN  0-444-86526-8 .
• Ленгларт, Э. (1977). «Преобразование локальных мартингалов с абсолютным продолжением вероятностей» . Журнал вероятностей (на французском языке). 39 :65-70. дои : 10.1007/BF01844873 .

Внешние ссылки

• Заметки по стохастическому исчислению , содержащие простое схематическое доказательство теоремы Гирсанова.