Квадратичная вариация

В математике таких квадратичная вариация используется при анализе случайных процессов, как броуновское движение и другие мартингалы . Квадратичная вариация — это всего лишь один из видов вариаций процесса.

Определение

Предположим, что $X_{t}$ - это случайный процесс с действительным знаком, определенный в вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и с индексом времени $t$ начиная с неотрицательных действительных чисел. Его квадратичная вариация представляет собой процесс, записанный как $[X]_{t}$, определяемый как

$[X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}$

где $P$ колеблется по разделам интервала $[0,t]$ и норма перегородки $P$ это сетка . Этот предел, если он существует, определяется с помощью сходимости по вероятности . Обратите внимание, что процесс может иметь конечную квадратичную вариацию в смысле данного здесь определения, и тем не менее его пути почти наверняка будут иметь бесконечную 1-вариацию для каждого $t>0$ в классическом смысле взятия супремума суммы по всем разбиениям; это, в частности, относится к броуновскому движению .

В более общем смысле, ковариация (или перекрестная дисперсия ) двух процессов. $X$ и $Y$ является

$[X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).$

Ковариацию можно записать в терминах квадратичной вариации по тождеству поляризации :

$[X,Y]_{t}={\tfrac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).$

Обозначения: квадратичная вариация также обозначается как $\langle X\rangle _{t}$ или $\langle X,X\rangle _{t}$.

Конечные вариационные процессы

Процесс $X$ Говорят, что оно имеет конечную вариацию , если оно имеет ограниченную вариацию на каждом конечном интервале времени (с вероятностью 1). Такие процессы очень распространены, включая, в частности, все непрерывно дифференцируемые функции. Квадратичная вариация существует для всех непрерывных процессов с конечной вариацией и равна нулю.

Это утверждение можно обобщить на случай ненепрерывных процессов. Любой càdlàg процесс конечной вариации $X$ имеет квадратичную вариацию, равную сумме квадратов скачков $X$. Точнее говоря, левый предел $X_{t}$ относительно $t$ обозначается $X_{t-}$, и прыжок $X$ во время $t$ можно записать как $\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}$. Тогда квадратичная вариация определяется выражением

$[X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.$

Доказательство того, что непрерывные процессы конечной вариации имеют нулевую квадратичную вариацию, следует из следующего неравенства. Здесь, $P$ является разбиением интервала $[0,t]$, и $V_{t}(X)$ это вариация $X$ над $[0,t]$.

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}$

Благодаря непрерывности $X$, это исчезает в пределе как $\Vert P\Vert$ уходит в ноль.

Ито-процессы

Квадратичная вариация стандартного броуновского движения $B$ существует и определяется выражением $[B]_{t}=t$, однако предел в определении имеется в виду в $L^{2}$ смысл, а не путь. Это обобщает процессы Ито , которые по определению могут быть выражены через интегралы Ито.

${\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}$

где $B$ является броуновским движением. Любой такой процесс имеет квадратичную вариацию, определяемую выражением

$[X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.$

Семимартингалы

квадратичные вариации и ковариации всех семимартингалов Можно показать, что существуют. Они составляют важную часть теории стохастического исчисления, появляясь в лемме Ито , которая является обобщением цепного правила на интеграл Ито. Квадратичная ковариация также появляется в интегрирования по частям формуле

$X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},$

который можно использовать для вычисления $[X,Y]$.

Альтернативно это можно записать в виде стохастического дифференциального уравнения :

$\,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},$

где $\,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.$

Мартингалы

Все мартингалы càdlàg и локальные мартингалы имеют четко выраженную квадратичную вариацию, что следует из того факта, что такие процессы являются примерами семимартингалов.Можно показать, что квадратичная вариация $[M]$ общего локально квадратичного интегрируемого мартингала $M$ — единственный непрерывный справа возрастающий процесс, начинающийся с нуля, со скачками $\Delta [M]=\Delta M^{2}$ и такое, что $M^{2}-[M]$ это локальный мартингейл. Доказательство существования $M$ (без использования стохастического исчисления) приведено в работе Карандикара-Рао (2014).

Полезным результатом для квадратно интегрируемых мартингалов является изометрия Ито , которую можно использовать для расчета дисперсии интегралов Ито:

$\operatorname {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).$

Этот результат справедлив всякий раз, когда $M$ представляет собой интегрируемый в квадрате Кадлага мартингал и $H$ является ограниченным предсказуемым процессом и часто используется при построении интеграла Ито.

Другим важным результатом является неравенство Буркхолдера–Дэвиса–Ганди . Это дает оценки максимума мартингала в терминах квадратичной вариации. Для местного мартингейла $M$ начиная с нуля, максимум обозначается $M_{t}*=\operatorname {sup} _{s\in [0,t]}|M_{s}|$и любое действительное число $p\geq 1$, неравенство

$c_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2}).$

Здесь, $c_{p}<C_{p}$ являются константами, зависящими от выбора $p$, но не в зависимости от мартингейла $M$ или время $t$ использовал. Если $M$ является непрерывным локальным мартингалом, то неравенство Буркхолдера–Дэвиса–Ганди справедливо для любого $p>0$.

Альтернативный процесс, предсказуемая квадратичная вариация , иногда используется для локально квадратичных интегрируемых мартингалов. Это написано как $\langle M_{t}\rangle$, и определяется как единственный непрерывный справа и возрастающий предсказуемый процесс, начинающийся с нуля, такой, что $M^{2}-\langle M\rangle$ это локальный мартингейл. Его существование следует из теоремы о разложении Дуба – Мейера , и для непрерывных локальных мартингалов оно совпадает с квадратичной вариацией.

См. также

• Общая вариация
• Ограниченная вариация
• р -вариация

Ссылки

• Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-540-00313-7
• Карандикар, Раджива Л.; Рао, Б.В. (2014). «О квадратичной вариации мартингалов» . Труды - Математические науки . 124 (3): 457–469. дои : 10.1007/s12044-014-0179-2 . S2CID   120031445 .