Локальный мартингейл

В математике локальный мартингал — это тип случайного процесса , удовлетворяющий локализованной версии свойства мартингала . Каждый мартингейл является локальным мартингейлом; каждый ограниченный локальный мартингал является мартингалом; в частности, каждый локальный мартингал, ограниченный снизу, является супермартингалом, а каждый локальный мартингал, ограниченный сверху, является субмартингалом; однако локальный мартингал вообще не является мартингалом, поскольку его математическое ожидание может быть искажено большими значениями малой вероятности. В частности, процесс бездрейфовой диффузии представляет собой локальный мартингал, но не обязательно мартингал.

Локальные мартингалы необходимы в стохастическом анализе (см. исчисление Ито , семимартингал и теорему Гирсанова ).

Определение

Позволять $(\Omega ,F,P)$ быть вероятностным пространством ; позволять $F_{*}=\{F_{t}\mid t\geq 0\}$ быть фильтрацией ​ $F$; позволять $X\colon [0,\infty )\times \Omega \rightarrow S$ быть $F_{*}$- адаптированный случайный процесс на съемочной площадке $S$. Затем $X$ называется $F_{*}$- локальный мартингейл , если существует последовательность $F_{*}$- время остановки $\tau _{k}\colon \Omega \to [0,\infty )$ такой, что

• тот $\tau _{k}$ увеличиваются почти наверняка : $P\left\{\tau _{k}<\tau _{k+1}\right\}=1$;
• тот $\tau _{k}$ почти наверняка расходятся: $P\left\{\lim _{k\to \infty }\tau _{k}=\infty \right\}=1$;
• процесс остановленный $$X_{t}^{\tau _{k}}:=X_{\min\{t,\tau _{k}\}}$$ это $F_{*}$-мартингейл для каждого $k$.

Примеры

Пример 1

Иллюстрация для местного мартингейла. Панель вверху: несколько смоделированных путей процесса. $X_{t}$ который останавливается при попадании $-1$. Это показывает разорительное поведение игрока и не является мартингейлом. Нижняя панель: Пути $X_{t}$ с дополнительным критерием остановки: процесс также останавливается при достижении величины $k=2.0$. Это больше не страдает от разорительного поведения игрока и является мартингейлом.

Пусть W _t — винеровский процесс , а T = min{ t : W _t = −1 } время первого попадания в −1. W Остановленный процесс min _{{ t , T }} является мартингалом. Его ожидание всегда равно 0; тем не менее, его предел (при t → ∞) почти наверняка равен −1 (своего рода разорение игрока ). Изменение времени приводит к процессу

$\displaystyle X_{t}={\begin{cases}W_{\min \left({\tfrac {t}{1-t}},T\right)}&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}$

Процесс $X_{t}$ почти наверняка непрерывен; тем не менее, его ожидание прерывисто,

$\displaystyle \operatorname {E} X_{t}={\begin{cases}0&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}$

Этот процесс не является мартингейлом. Однако это локальный мартингейл. Локализующую последовательность можно выбрать как $\tau _{k}=\min\{t:X_{t}=k\}$ существует если такое t , иначе $\tau _{k}=k$. Эта последовательность почти наверняка расходится, поскольку $\tau _{k}=k$ для всех достаточно больших k (а именно, для всех k , превышающих максимальное значение процесса X ). Процесс, остановившийся в точке τ _k, является мартингалом.

Пример 2

Пусть W _t — винеровский процесс , а ƒ — измеримая функция такая, что $\operatorname {E} |f(W_{1})|<\infty .$ Тогда следующий процесс является мартингейлом:

$X_{t}=\operatorname {E} (f(W_{1})\mid F_{t})={\begin{cases}f_{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\f(W_{1})&{\text{for }}1\leq t<\infty ;\end{cases}}$

где

$f_{s}(x)=\operatorname {E} f(x+W_{s})=\int f(x+y){\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-y^{2}/(2s)}\,dy.$

Дельта- функция Дирака $\delta$ (строго говоря, не функция), используемая вместо $f,$ приводит к процессу, неформально определяемому как $Y_{t}=\operatorname {E} (\delta (W_{1})\mid F_{t})$ и формально как

$Y_{t}={\begin{cases}\delta _{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty ,\end{cases}}$

где

$\delta _{s}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/(2s)}.$

Процесс $Y_{t}$ почти наверняка непрерывен (поскольку $W_{1}\neq 0$ почти наверняка), тем не менее, его ожидание прерывисто,

$\operatorname {E} Y_{t}={\begin{cases}1/{\sqrt {2\pi }}&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}$

Этот процесс не является мартингейлом. Однако это локальный мартингейл. Локализующую последовательность можно выбрать как $\tau _{k}=\min\{t:Y_{t}=k\}.$

Пример 3

Позволять $Z_{t}$ — комплексный винеровский процесс , и

$X_{t}=\ln |Z_{t}-1|\,.$

Процесс $X_{t}$ почти наверняка непрерывен (поскольку $Z_{t}$ почти наверняка не достигнет 1) и является локальным мартингейлом, поскольку функция $u\mapsto \ln |u-1|$ гармонична . (на комплексной плоскости без точки 1) Локализующую последовательность можно выбрать как $\tau _{k}=\min\{t:X_{t}=-k\}.$ Тем не менее, ожидание этого процесса непостоянно; более того,

$\operatorname {E} X_{t}\to \infty$ как $t\to \infty ,$

что можно вывести из того факта, что среднее значение $\ln |u-1|$ по кругу $|u|=r$ стремится к бесконечности, так как $r\to \infty$. (Фактически оно равно $\ln r$ для r ≥ 1, но до 0 для r ≤ 1).

Мартингалы через локальные мартингалы

Позволять $M_{t}$ быть локальным мартингейлом. Чтобы доказать, что это мартингал, достаточно доказать, что $M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}$ в Л ¹ (как $k\to \infty$) для каждого t , то есть $\operatorname {E} |M_{t}^{\tau _{k}}-M_{t}|\to 0;$ здесь $M_{t}^{\tau _{k}}=M_{t\wedge \tau _{k}}$ это остановленный процесс. Данное отношение $\tau _{k}\to \infty$ подразумевает, что $M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}$ почти наверняка. Теорема о доминируемой сходимости обеспечивает сходимость в L ¹ при условии, что

$\textstyle (*)\quad \operatorname {E} \sup _{k}|M_{t}^{\tau _{k}}|<\infty$ для каждого т .

Таким образом, условие (*) является достаточным для локального мартингала $M_{t}$ являющийся мартингейлом. Более сильное условие

$\textstyle (**)\quad \operatorname {E} \sup _{s\in [0,t]}|M_{s}|<\infty$ за каждое т

тоже достаточно.

Осторожность. Более слабое состояние

$\textstyle \sup _{s\in [0,t]}\operatorname {E} |M_{s}|<\infty$ за каждое т

недостаточно. Более того, условие

$\textstyle \sup _{t\in [0,\infty )}\operatorname {E} \mathrm {e} ^{|M_{t}|}<\infty$

все еще недостаточно; контрпример см. в примере 3 выше .

Особый случай:

$\textstyle M_{t}=f(t,W_{t}),$

где $W_{t}$ – винеровский процесс , и $f:[0,\infty )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ дифференцируема дважды непрерывно . Процесс $M_{t}$ является локальным мартингалом тогда и только тогда, когда f удовлетворяет УЧП

${\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big )}f(t,x)=0.$

Однако этот PDE сам по себе не гарантирует, что $M_{t}$ это мартингейл. Для применения (**) следующего условия на f : для каждого достаточно $\varepsilon >0$ и существует ​ $C=C(\varepsilon ,t)$ такой, что

$\textstyle |f(s,x)|\leq C\mathrm {e} ^{\varepsilon x^{2}}$

для всех $s\in [0,t]$ и $x\in \mathbb {R} .$

Ссылки

• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 .