Броуновское движение Дайсона

В математике — броуновское движение Дайсона это действительный с непрерывным временем, стохастический процесс названный в честь Фримена Дайсона . Дайсон изучал этот процесс в контексте теории случайных матриц .

Существует несколько эквивалентных определений:

Определение с помощью стохастического дифференциального уравнения : $$d\lambda _{i}=dB_{i}+\sum _{1\leq j\leq n:j\neq i}{\frac {dt}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}$$где $B_{1},...,B_{n}$ Это разные и независимые винеровские процессы .

Начните с эрмитовой матрицы с собственными значениями. ${\textstyle \lambda _{1}(0),\lambda _{2}(0),...,\lambda _{n}(0)}$, то пусть он совершает броуновское движение в пространстве эрмитовых матриц. Его собственные значения представляют собой броуновское движение Дайсона.

Начните с ${\textstyle n}$ независимые винеровские процессы стартовали в разных местах ${\textstyle \lambda _{1}(0),\lambda _{2}(0),...,\lambda _{n}(0)}$, то условием, чтобы эти процессы были непересекающимися всегда. Результирующий процесс представляет собой броуновское движение Дайсона, начинающееся в той же точке. ${\textstyle \lambda _{1}(0),\lambda _{2}(0),...,\lambda _{n}(0)}$.