Процесс Коши

В вероятностей теории процесс Коши является разновидностью случайного процесса . Существуют симметричная и асимметричная формы процесса Коши. Неопределенный термин «процесс Коши» часто используется для обозначения симметричного процесса Коши.

Процесс Коши имеет ряд свойств:

1. Это процесс Леви
2. Это стабильный процесс
3. Это чистый прыжковый процесс
4. Его моменты бесконечны ​ .

Симметричный процесс Коши

Симметричный процесс Коши можно описать броуновским движением или процессом Винера с подчиненным Леви координатором . Субординатор Леви — это процесс, связанный с распределением Леви, имеющим параметр местоположения $0$ и параметр масштаба $t^{2}/2$. Распределение Леви является частным случаем обратного гамма-распределения . Итак, используя $C$ представлять процесс Коши и $L$ Чтобы представить субординатора Леви, симметричный процесс Коши можно описать как:

$C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).$

Распределение Леви представляет собой вероятность момента первого попадания броуновского движения, и, таким образом, процесс Коши, по сути, является результатом двух независимых процессов броуновского движения.

Представление Леви – Хинчина для симметричного процесса Коши представляет собой тройку с нулевым дрейфом и нулевой диффузией, что дает тройку Леви – Хинчина $(0,0,W)$, где $W(dx)=dx/(\pi x^{2})$.

Маргинальная характеристическая функция симметричного процесса Коши имеет вид:

$\operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.$

Маргинальное распределение вероятностей симметричного процесса Коши представляет собой распределение Коши, плотность которого равна

$f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].$

Асимметричный процесс Коши

Асимметричный процесс Коши определяется через параметр $\beta$. Здесь $\beta$ — параметр асимметрии , и его абсолютное значение должно быть меньше или равно 1. В случае, когда $|\beta |=1$ этот процесс считается полностью асимметричным процессом Коши.

Тройка Леви–Хинчина имеет вид $(0,0,W)$, где $W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}$, где $A\neq B$, $A>0$ и $B>0$.

Учитывая это, $\beta$ является функцией $A$ и $B$.

Характеристическая функция несимметричного распределения Коши имеет вид:

$\operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.$

Маргинальное распределение вероятностей асимметричного процесса Коши представляет собой устойчивое распределение с индексом устойчивости (т. е. параметром α), равным 1.