Теорема Кэмерона – Мартина

В математике теорема Кэмерона-Мартина или формула Кэмерона-Мартина (названная в честь Роберта Хортона Кэмерона и У.Т. Мартина ) — это теорема теории меры , которая описывает, как абстрактная мера Винера изменяется при переводе определенными элементами гильбертового пространства Кэмерона-Мартина .

Мотивация

Стандартная гауссова мера $\gamma ^{n}$ на $n$-мерное евклидово пространство $\mathbf {R} ^{n}$ не является трансляционно- инвариантным . (На самом деле, существует единственная трансляционно-инвариантная мера Радона в масштабе, соответствующем теореме Хаара : $n$-мерная мера Лебега , обозначенная здесь $dx$.) Вместо этого измеримое подмножество $A$ имеет гауссову меру

$\gamma _{n}(A)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.$

Здесь $\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}$ относится к стандартному евклидову скалярному произведению в $\mathbf {R} ^{n}$. Гауссова мера перевода $A$ по вектору $h\in \mathbf {R} ^{n}$ является

${\begin{aligned}\gamma _{n}(A-h)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x-h,x-h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

Итак, при переводе через $h$, гауссова мера масштабируется в соответствии с функцией распределения, отображаемой на последнем экране:

$\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)=\exp \left(\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).$

Мера, которая соответствует множеству $A$ число $\gamma _{n}(A-h)$ — мера продвижения , обозначаемая $(T_{h})_{*}(\gamma ^{n})$. Здесь $T_{h}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}$ относится к карте перевода: $T_{h}(x)=x+h$. Приведенный выше расчет показывает, что производная Радона – Никодима прямой меры по отношению к исходной гауссовой мере определяется выражением

${\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\left\langle h,x\right\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).$

Абстрактная мера Винера $\gamma$ на сепарабельном банаховом пространстве $E$, где $i:H\to E$ является абстрактным пространством Винера , также является «гауссовой мерой» в подходящем смысле. Как оно меняется при переводе? Оказывается, формула, аналогичная приведенной выше, справедлива, если рассматривать только сдвиги элементами плотного подпространства $i(H)\subseteq E$.

Формулировка теоремы

Позволять $i:H\to E$ быть абстрактным пространством Винера с абстрактной мерой Винера $\gamma :\operatorname {Borel} (E)\to [0,1]$. Для $h\in H$, определять $T_{h}:E\to E$ к $T_{h}(x)=x+i(h)$. Затем $(T_{h})_{*}(\gamma )$ эквивалентно ​ ​ $\gamma$ с производной Радона – Никодима

${\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{H}^{2}\right),$

где

$\langle h,x\rangle ^{\sim }=i(h)(x)$

обозначает интеграл Пэли–Винера .

Формула Кэмерона–Мартина справедлива только для сдвигов элементами плотного подпространства. $i(H)\subseteq E$, называемое пространством Кэмерона–Мартина , а не произвольными элементами $E$. Если бы формула Кэмерона-Мартина справедлива для произвольных переводов, это противоречило бы следующему результату:

Если $E$ является сепарабельным банаховым пространством и $\mu$ является локально конечной борелевской мерой на $E$ что эквивалентно его собственному толчку вперед при любом переводе, то либо $E$ имеет конечную размерность или $\mu$ – тривиальная (нулевая) мера . (См. квазиинвариантную меру .)

Фактически, $\gamma$ квазиинвариантен относительно перевода элементом $v$ тогда и только тогда, когда $v\in i(H)$. Векторы в $i(H)$ иногда называют направлениями Кэмерона-Мартина .

Интеграция по частям

Формула Кэмерона-Мартина приводит к интегрирования по частям формуле $E$: если $F:E\to \mathbf {R}$ ограничила производную Фреше $\mathrm {D} F:E\to \operatorname {Lin} (E;\mathbf {R} )=E^{*}$, интегрирование формулы Кэмерона–Мартина по мере Винера с обеих сторон дает

$\int _{E}F(x+ti(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\exp \left(t\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}t^{2}\|h\|_{H}^{2}\right)\,\mathrm {d} \gamma (x)$

для любого $t\in \mathbf {R}$. Формально дифференцируя по $t$ и оцениваем на $t=0$ дает формулу интегрирования по частям

$\int _{E}\mathrm {D} F(x)(i(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\langle h,x\rangle ^{\sim }\,\mathrm {d} \gamma (x).$

Сравнение с теоремой о дивергенции векторного исчисления предполагает

$\mathop {\mathrm {div} } [V_{h}](x)=-\langle h,x\rangle ^{\sim },$

где $V_{h}:E\to E$ — постоянное « векторное поле » $V_{h}(x)=i(h)$ для всех $x\in E$. Желание рассматривать более общие векторные поля и думать о стохастических интегралах как о «расхождениях» приводит к изучению случайных процессов и исчисления Маллявэна , и, в частности, теоремы Кларка-Окона и связанной с ней формулы интегрирования по частям.

Приложение

Используя теорему Кэмерона–Мартина, можно установить (см. Липцер, Ширяев, 1977, с. 280), что для $q\times q$ симметричная неотрицательно определенная матрица $H(t)$ чьи элементы $H_{j,k}(t)$ непрерывны и удовлетворяют условию

$\int _{0}^{T}\sum _{j,k=1}^{q}|H_{j,k}(t)|\,dt<\infty ,$

это справедливо в течение $q$−мерный винеровский процесс $w(t)$ что

$E\left[\exp \left(-\int _{0}^{T}w(t)^{*}H(t)w(t)\,dt\right)\right]=\exp \left[{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}\operatorname {tr} (G(t))\,dt\right],$

где $G(t)$ это $q\times q$ неположительно определенная матрица, являющаяся единственным решением матричного дифференциального уравнения Риккати

${\frac {dG(t)}{dt}}=2H(t)-G^{2}(t)$

с граничным условием $G(T)=0$.

В частном случае одномерного броуновского движения, когда $H(t)=1/2$, единственное решение $G(t)=\tanh(t-T)$, и у нас есть исходная формула, установленная Кэмероном и Мартином: $$E\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}w(t)^{2}\,dt\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {\cosh T}}}.$$

См. также

• Теорема Гирсанова - Теорема об изменении случайных процессов
• Sazonov's theorem

Ссылки

• Кэмерон, Р.Х.; Мартин, WT (1944). «Преобразования винеровских интегралов при сдвигах». Анналы математики . 45 (2): 386–396. дои : 10.2307/1969276 . JSTOR   1969276 .
• Липцер, Р.С.; Ширяев А.Н. (1977). Статистика случайных процессов I: Общая теория . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-90226-0 .