Конечная мера

В теории меры , разделе математики , конечная мера или вполне конечная мера. ^[1] — специальная мера , всегда принимающая конечные значения. К числу конечных мер относятся вероятностные меры . С конечными мерами зачастую проще работать, чем с более общими мерами, и они демонстрируют множество различных свойств в зависимости от множеств, на которых они определены.

Определение [ править ]

Мера $\mu$ на измеримом пространстве $(X,{\mathcal {A}})$ называется конечной мерой, если она удовлетворяет условию

\mu (X)<\infty .

Ввиду монотонности мер это означает

\mu (A)<\infty {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}.

Если $\mu$ является конечной мерой, пространство с мерой $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ называется пространством с конечной мерой или пространством с вполне конечной мерой . ^[1]

Свойства [ править ]

Общий случай [ править ]

Для любого измеримого пространства конечные меры образуют выпуклый конус в банаховом пространстве знаковых мер с полной вариационной нормой. Важными подмножествами конечных мер являются субвероятностные меры, которые образуют выпуклое подмножество , и вероятностные меры, которые являются пересечением единичной сферы в нормированном пространстве знаковых мер и конечных мер.

Топологические пространства [ править ]

Если $X$ является хаусдорфовым пространством и ${\mathcal {A}}$ содержит Борель $\sigma$ -алгебра , то каждая конечная мера является также локально конечной борелевской мерой .

Метрические пространства [ править ]

Если $X$ является метрическим пространством и ${\mathcal {A}}$ это снова Борель $\sigma$ -алгебры слабую сходимость мер можно определить . Соответствующая топология называется слабой топологией и является исходной топологией всех ограниченных непрерывных функций на $X$ . Слабая топология соответствует слабой* топологии в функциональном анализе. Если $X$ также сепарабельна , слабая сходимость метризуется метрикой Леви–Прохорова . ^[2]

Польские просторы [ править ]

Если $X$ это польское пространство и ${\mathcal {A}}$ это Борель $\sigma$ -алгебра, то каждая конечная мера является регулярной мерой и, следовательно, мерой Радона . ^[3]Если $X$ польское, то и множество всех конечных мер со слабой топологией тоже польское. ^[4]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 252 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 248 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 77. Швейцария: Шпрингер. п. 112. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[eommeasurespace-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[Klenke252-2] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 252 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[Klenke248-3] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 248 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[Kallenberg112-4] Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 77. Швейцария: Шпрингер. п. 112. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]