Конечная мера
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( январь 2018 г. ) |
В теории меры , разделе математики , конечная мера или вполне конечная мера. [1] — специальная мера , всегда принимающая конечные значения. К числу конечных мер относятся вероятностные меры . С конечными мерами зачастую проще работать, чем с более общими мерами, и они демонстрируют множество различных свойств в зависимости от множеств, на которых они определены.
Определение [ править ]
Мера на измеримом пространстве называется конечной мерой, если она удовлетворяет условию
Ввиду монотонности мер это означает
Если является конечной мерой, пространство с мерой называется пространством с конечной мерой или пространством с вполне конечной мерой . [1]
Свойства [ править ]
Общий случай [ править ]
Для любого измеримого пространства конечные меры образуют выпуклый конус в банаховом пространстве знаковых мер с полной вариационной нормой. Важными подмножествами конечных мер являются субвероятностные меры, которые образуют выпуклое подмножество , и вероятностные меры, которые являются пересечением единичной сферы в нормированном пространстве знаковых мер и конечных мер.
Топологические пространства [ править ]
Если является хаусдорфовым пространством и содержит Борель -алгебра , то каждая конечная мера является также локально конечной борелевской мерой .
Метрические пространства [ править ]
Если является метрическим пространством и это снова Борель -алгебры слабую сходимость мер можно определить . Соответствующая топология называется слабой топологией и является исходной топологией всех ограниченных непрерывных функций на . Слабая топология соответствует слабой* топологии в функциональном анализе. Если также сепарабельна , слабая сходимость метризуется метрикой Леви–Прохорова . [2]
Польские просторы [ править ]
Если это польское пространство и это Борель -алгебра, то каждая конечная мера является регулярной мерой и, следовательно, мерой Радона . [3] Если польское, то и множество всех конечных мер со слабой топологией тоже польское. [4]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- ^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 252 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
- ^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 248 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
- ^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 77. Швейцария: Шпрингер. п. 112. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .