Случайный компактный набор

В математике случайный компакт по сути является в компактном множестве со значением случайной величиной . Случайные компакты полезны при изучении аттракторов случайных динамических систем .

Определение

Позволять $(M,d)$ — полное сепарабельное метрическое пространство . Позволять ${\mathcal {K}}$ обозначаем множество всех компактных подмножеств $M$. Метрика Хаусдорфа $h$ на ${\mathcal {K}}$ определяется

$h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.$

$({\mathcal {K}},h)$ также является полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают σ-алгебру на ${\mathcal {K}}$, сигма-алгебра Бореля ${\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ из ${\mathcal {K}}$.

Случайный компакт — это измеримая функция $K$ из вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ в $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$.

Другими словами, случайный компакт — это измеримая функция. $K\colon \Omega \to 2^{M}$ такой, что $K(\omega )$ почти наверняка компактен и

$\omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)$

является измеримой функцией для каждого $x\in M$.

Обсуждение

Случайные компакты в этом смысле также являются случайными замкнутыми множествами , как у Матерона (1975). Следовательно, при дополнительном предположении, что пространство носителей локально компактно, их распределение задается вероятностями

$\mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )$ для $K\in {\mathcal {K}}.$

(Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения $\mathbb {P} (X\subset K).$)

Для $K=\{x\}$, вероятность $\mathbb {P} (x\in X)$ получается, что удовлетворяет

$\mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).$

Таким образом, покрывающая функция $p_{X}$ дается

$p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)$ для $x\in M.$

Конечно, $p_{X}$ также можно интерпретировать как среднее значение индикаторной функции $\mathbf {1} _{X}$:

$p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

Покрывающая функция принимает значения между $0$ и $1$. Набор $b_{X}$ из всех $x\in M$ с $p_{X}(x)>0$ называется поддержкой ​ $X$. Набор $k_{X}$из всех $x\in M$ с $p_{X}(x)=1$ называется ядром , множеством неподвижных точек или существенным минимумом. $e(X)$. Если $X_{1},X_{2},\ldots$, является последовательностью iid случайных компактов, то почти наверняка

$\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$

и $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}$ почти наверняка сходится к $e(X).$

Ссылки

• Матерон, Г. (1975) Случайные множества и интегральная геометрия . Дж. Уайли и сыновья, Нью-Йорк. ISBN   0-471-57621-2
• Молчанов И. (2005) Теория случайных множеств . Спрингер, Нью-Йорк. ISBN   1-85233-892-X
• Стоян Д. и Х. Стоян (1994) Фракталы, случайные формы и точечные поля . John Wiley & Sons, Чичестер, Нью-Йорк. ISBN   0-471-93757-6