Молодой мера

В математическом анализе мера Юнга — это параметризованная мера , которая связана с определенными подпоследовательностями данной ограниченной последовательности измеримых функций. Они представляют собой количественную оценку эффекта колебаний последовательности в пределе. Меры Янга находят применение в вариационном исчислении , особенно в моделях материаловедения, а также при изучении нелинейных явлений. уравнения в частных производных , а также в различных оптимизации (или оптимального управления задачах ). Они названы в честь Лоуренса Чизхолма Янга , который их изобрел уже в 1937 году в одном измерении (кривые), а затем в более высоких измерениях в 1942 году.

Меры Янга обеспечивают решение двадцатой проблемы Гильберта , поскольку широкий класс задач вариационного исчисления имеет решения в форме мер Янга.

Определение

Интуиция

Янг построил меру Юнга, чтобы дополнить наборы обычных кривых вариационного исчисления. То есть меры Янга представляют собой «обобщенные кривые».

Рассмотрим проблему $\min _{u}I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx$, где $u$ это такая функция, что $u(0)=u(1)=0$, и непрерывно дифференцируема. Понятно, что нам следует выбрать $u$ иметь значение, близкое к нулю, а его наклон близок к $\pm 1$. То есть кривая должна представлять собой резкую зубчатую линию, расположенную близко к оси X. Ни одна функция не может достичь минимального значения $I=0$, но мы можем построить последовательность функций $u_{1},u_{2},\dots$ которые становятся все более зазубренными, такими, что $I(u_{n})\to 0$.

Поточечный предел $\lim u_{n}$ тождественно равен нулю, но поточечный предел $\lim _{n}u_{n}'$ не существует. Вместо этого это тонкий туман, половина его веса приходится на $+1$, а другая половина на $-1$.

Предположим, что $F$ представляет собой функционал, определяемый $F(u)=\int _{0}^{1}f(t,u(t),u'(t))dt$, где $f$ является непрерывным, то

$$\lim _{n}F(u_{n})={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,-1)dt+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,+1)dt$$

поэтому в слабом смысле мы можем определить $\lim _{n}u_{n}$ быть «функцией», значение которой равно нулю, а производная равна нулю. ${\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{+1}$. В частности, это будет означать, что $I(\lim _{n}u_{n})=0$.

Мотивация

Определение мер Янга мотивировано следующей теоремой: пусть m , n — произвольные положительные целые числа, пусть $U$ быть открытым ограниченным подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ быть ограниченной последовательностью в $L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})$. Тогда существует подпоследовательность $\{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }\subset \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ и почти для каждого $x\in U$ вероятностная мера Бореля $\nu _{x}$ на $\mathbb {R} ^{m}$ такой, что для каждого $F\in C(\mathbb {R} ^{m})$ у нас есть

$F\circ f_{k_{j}}(x){\rightharpoonup }\int _{\mathbb {R} ^{m}}F(y)d\nu _{x}(y)$

слабо в $L^{p}(U)$ если предел существует (или слабо* в $L^{\infty }(U)$ в случае $p=+\infty$). Меры $\nu _{x}$ называются мерами Юнга, порожденными последовательностью $\{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }$.

Верно и частичное обратное: если для каждого $x\in U$ у нас есть мера Бореля $\nu _{x}$ на $\mathbb {R} ^{m}$ такой, что $\int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty$, то существует последовательность $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})$, ограниченный $L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})$, который обладает тем же свойством слабой сходимости, что и выше.

В более общем смысле для любой функции Каратеодори $G(x,A):U\times R^{m}\to R$, предел

$\lim _{j\to \infty }\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx,$

если он существует, будет задан

$\int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}G(x,A)\ d\nu _{x}(A)\ dx$.

Оригинальная идея Янга в деле $G\in C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})$ нужно было рассмотреть для каждого целого числа $j\geq 1$ единая мера, скажем так $\Gamma _{j}:=(id,f_{j})_{\sharp }L^{d}\llcorner U,$ сосредоточился на графике функции $f_{j}.$ (Здесь, $L^{d}\llcorner U$есть ограничение меры Лебега на $U.$) Принимая слабый* предел этих мер как элементы $C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})^{\star },$ у нас есть

$\langle \Gamma _{j},G\rangle =\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx\to \langle \Gamma ,G\rangle ,$

где $\Gamma$ – упомянутый слабый предел. После распада меры $\Gamma$ на продуктовом пространстве $\Omega \times \mathbb {R} ^{m},$ мы получаем параметризованную меру $\nu _{x}$.

Общее определение

Позволять $m,n$ — произвольные положительные целые числа, пусть $U$ быть открытым и ограниченным подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$, и пусть $p\geq 1$. Мера Юнга (с конечными p -моментами) представляет собой семейство борелевских вероятностных мер. $\{\nu _{x}:x\in U\}$ на $\mathbb {R} ^{m}$ такой, что $\int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty$.

Примеры

Поточечно сходящаяся последовательность

Тривиальный пример меры Юнга - это случай, когда последовательность $f_{n}$ ограничен $L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})$ и сходится поточечно почти всюду в $U$ к функции $f$. Тогда мера Юнга является мерой Дирака.

$\nu _{x}=\delta _{f(x)},\quad x\in U.$

Действительно, по о доминируемой сходимости теореме $F(f_{n}(x))$ сходится слабо* в $L^{\infty }(U)$ к

$F(f(x))=\int F(y)\,{\text{d}}\delta _{f(x)}$

для любого $F\in C(\mathbb {R} ^{n})$.

Последовательность синусов

Менее тривиальный пример — последовательность

$f_{n}(x)=\sin(nx),\quad x\in (0,2\pi ).$

Соответствующая мера Юнга удовлетворяет

$\nu _{x}(E)={\frac {1}{\pi }}\int _{E\cap [-1,1]}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y,$

для любого измеримого множества $E$, независимо от $x\in (0,2\pi )$.Другими словами, для любого $F\in C(\mathbb {R} ^{n})$:

$F(f_{n}){\rightharpoonup }^{*}{\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\frac {F(y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y$

в $L^{\infty }((0,2\pi ))$. Здесь мера Юнга не зависит от $x$ и поэтому слабый* предел всегда является константой.

Чтобы увидеть это интуитивно, учтите, что на пределе больших $n$, прямоугольник из $[x,x+\delta x]\times [y,y+\delta y]$ захватит часть кривой $f_{n}$. Возьмите эту захваченную часть и спроецируйте ее на ось X. Длина этой проекции равна ${\frac {2\delta x\delta y}{\sqrt {1-y^{2}}}}$, а это значит, что $\lim _{n}f_{n}$ должно выглядеть как мелкий туман с плотностью вероятности ${\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}$ совсем $x$.

Минимизация последовательности

Для каждой асимптотически минимизирующей последовательности $u_{n}$ из

$I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx$

при условии $u(0)=u(1)=0$ (т. е. последовательность удовлетворяет $\lim _{n\to +\infty }I(u_{n})=\inf _{u\in C^{1}([0,1])}I(u)$), а возможно, после перехода к подпоследовательности, последовательность производных $u'_{n}$ генерирует меры Юнга вида $\nu _{x}={\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{1}$. Это отражает основные особенности всех минимизирующих последовательностей этой задачи, а именно их производные. $u'_{k}(x)$ будет иметь тенденцию концентрироваться вдоль минимумов $\{-1,1\}$ подынтегральной функции $(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}$.

Если мы возьмем $\lim _{n}{\frac {\sin(2\pi nt)}{2\pi n}}$, то его предел имеет нулевое значение, а производная $\nu (dy)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}dy$, что означает $\lim I={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{+1}(1-y^{2})^{3/2}dy$.

Ссылки

• Болл, Дж. М. (1989). «Версия фундаментальной теоремы для мер Юнга». В Раскле, М.; Серр, Д.; Слемрод, М. (ред.). PDE и континуальные модели фазовых переходов: материалы совместного семинара NSF-CNRS, состоявшегося в Ницце, Франция, 18–22 января 1988 г. Конспект лекций по физике . Том. 344. Берлин: Шпрингер. стр. 207–215. дои : 10.1007/BFb0024945 . ISBN  3-540-51617-4 . ISSN   0075-8450 .
• Кастен, Чарльз; Рейно де Фитт, Поль; Валадье, Мишель (2004). Меры Юнга в топологических пространствах: с приложениями в теории управления и теории вероятностей . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers (ныне Springer). дои : 10.1007/1-4020-1964-5 . ISBN  978-1-4020-1963-0 .
• Л. К. Эванс (1990). Методы слабой сходимости нелинейных уравнений в частных производных . Цикл региональных конференций по математике. Американское математическое общество .
• С. Мюллер (1999). Вариационные модели микроструктуры и фазовых переходов . Конспект лекций по математике. Спрингер .
• П. Педрегал (1997). Параметризованные меры и вариационные принципы . Базель: Биркхойзер. ISBN  978-3-0348-9815-7 .
• Т. Рубичек (2020). Релаксация в теории оптимизации и вариационном исчислении (2-е изд.) . Берлин: В. де Грюйтер. дои : 10.1515/9783110590852 . ISBN  978-3-11-059085-2 .
• Валадье, М. (1990). «Молодые меры». В Челлине, А. (ред.). Методы невыпуклого анализа . Конспект лекций по математике . Том. 1446. Берлин: Шпрингер. стр. 152–188. дои : 10.1007/BFb0084935 . ISBN  3-540-53120-3 .
• Янг, LC (1937), «Обобщенные кривые и существование достигнутого абсолютного минимума в вариационном исчислении» , Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie , Classe III, XXX (7–9): 211–234, JFM   63.1064.01 , Zbl   0019.21901 , мемуары, представленные Станиславом Саксом на заседании Варшавского общества наук и литературы 16 декабря 1937 года . Бесплатная копия в формате PDF предоставляется RCIN – цифровым хранилищем научных институтов .
• Янг, LC (1969), Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению , Филадельфия-Лондон-Торонто: WB Saunders , стр. xi+331, ISBN  9780721696409 , МР   0259704 , Збл   0177.37801 .

Внешние ссылки

• «Молодая мера» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]