Идеальная мера

В математике , в частности в теории меры , совершенная мера (или, точнее, идеальное пространство меры ) — это такое, которое « ведёт себя хорошо в некотором смысле ». Интуитивно понятно, что совершенная мера µ — это такая мера, для которой, если мы рассмотрим меру прямого действия на вещественной прямой R , то каждое измеримое множество является « µ -приблизительно борелевским множеством ». Понятие совершенства тесно связано с точностью мер : действительно, в метрических пространствах точные меры всегда совершенны.

Определение

Пространство с мерой ( X , Σ, µ ) называется совершенным , если для любой Σ-измеримой функции f : X → R и любого A ⊆ R с f ⁻¹ ( A ) ∈ Σ, существуют борелевские подмножества A ₁ и A ₂ в R такие, что

$A_{1}\subseteq A\subseteq A_{2}{\mbox{ and }}\mu {\big (}f^{-1}(A_{2}\setminus A_{1}){\big )}=0.$

касающиеся совершенных

• Если X — любое метрическое пространство и — внутренняя регулярная (или точная ) мера на X , то ( , BX , _µ µ ) — совершенное пространство с мерой, где обозначает _BX борелевскую σ - алгебру на X. X

Ссылки

• Партасарати, КР (2005). «Глава 2, раздел 4». Вероятностные меры в метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. ISBN  0-8218-3889-Х . МР   2169627 .
• Родин, Р.Х. (1966). «Совершенные вероятностные меры и регулярные условные вероятности». Энн. Математика. Статист . 37 : 1273–1278.
• Сазонов, В.В. (2001) [1994], «Совершенная мера» , Энциклопедия Математики , EMS Press