Неравенство Гёльдера

В математическом анализе неравенство Гёльдера , названное в честь Отто Гёльдера , представляет собой фундаментальное неравенство между интегралами и незаменимый инструмент для изучения L ^п пространства .

Неравенство Гельдера . Пусть ( S , Σ, µ ) и — пространство с мерой пусть p , q ∈ [1, ∞] с 1/ p + 1/ q = 1 . для всех измеримых действительных или комплексных функций Тогда f и g на S ,

$$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$$

Если, кроме того, p , q ∈ (1, ∞) и f ∈ L ^п ( µ ) и g ∈ L ^д ( µ ) , то неравенство Гёльдера становится равенством тогда и только тогда, когда | ж   | ^п и | г | ^д зависимы линейно в L ¹ ( µ ) , что означает, что существуют действительные числа α , β ≥ 0 , не оба из которых равны нулю, такие, что α | ж | ^п = β | г | ^д ц - почти везде .

Числа p и q, указанные выше, называются гельдерово-сопряженными друг другу. Частный случай p = q = 2 дает форму неравенства Коши – Шварца . Неравенство Гельдера справедливо, даже если , причем в _этом случае ‖ fg ‖ 1 бесконечно правая часть также бесконечна. И наоборот, если f находится в L ^п ( µ ) и g находится в L ^д ( µ ) , то поточечное произведение fg находится в L ¹ ( м ) .

Неравенство Гёльдера используется для доказательства неравенства Минковского , которое представляет собой неравенство треугольника в пространстве L ^п ( µ ) , а также установить, что L ^д ( µ ) — двойственное пространство к L ^п ( µ ) для p ∈ [1, ∞) .

Неравенство Гёльдера (в несколько иной форме) было впервые найдено Леонардом Джеймсом Роджерсом ( 1888 ). Вдохновленный работой Роджерса, Гельдер (1889) дал еще одно доказательство в рамках работы, развивающей понятие выпуклых и вогнутых функций и вводящей неравенство Йенсена : который, в свою очередь, был назван в честь работы Йохана Йенсена, основанной на работах Гёльдера.

Примечания

Конвенции

В краткой формулировке неравенства Гёльдера используются некоторые соглашения.

• В определении сопряжений Гёльдера 1/∞ означает ноль.
• Если p , q ∈ [1, ∞) , то ‖ f   ‖ _p и ‖ g ‖ _q обозначают (возможно, бесконечные) выражения

${\begin{aligned}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}$

• Если p = ∞ , то ‖ f   ‖ _∞ обозначает существенную верхнюю | границу ж   | , аналогично для ‖ г ‖ _∞ .
• Обозначение ‖ f   ‖ _p при 1 ≤ p ≤ ∞ является небольшим злоупотреблением, поскольку, вообще говоря, оно является нормой f всюду только в том случае, если ‖ f   ‖ _p конечна и f рассматривается как класс эквивалентности µ -почти равных функций. Если f ∈ L ^п ( µ ) и g ∈ L ^д ( µ ) , то обозначения адекватны.
• В правой части неравенства Гёльдера 0 × ∞, а также ∞ × 0 означают 0. Умножение a > 0 на ∞ дает ∞.

Оценки интегрируемых произведений

Как и выше, пусть f и g обозначают измеримые действительные или комплекснозначные функции, определенные на S . Если ‖ fg ‖ ₁ конечно, то поточечные произведения f на g и ее комплексно-сопряженную функцию µ -интегрируемы, оценка

${\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}$

и аналогичное для fg справедливо, а к правой части применимо неравенство Гёльдера. В частности, если f и g находятся в гильбертовом пространстве L ² ( µ ) , то из неравенства Гёльдера для p = q = 2 следует

$|\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},$

где угловые скобки относятся к произведению L скалярному ² ( мкм ) . Это также называется неравенством Коши–Шварца , но для его утверждения требуется, чтобы ‖ f   ‖ ₂ и ‖ g ‖ ₂ были конечными, чтобы гарантировать, что скалярное произведение f и g корректно определено. Мы можем восстановить исходное неравенство (для случая p = 2 ), используя функции | ж   | и | г | вместо f и g .

Обобщение для вероятностных мер

Если ( S , Σ, µ ) — вероятностное пространство , то p , q ∈ [1, ∞] просто должны удовлетворять условию 1/ p + 1/ q ≤ 1 , а не быть сопряженными по Гёльдеру. Сочетание неравенства Гельдера и неравенства Йенсена означает, что

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$

для всех измеримых действительных или комплекснозначных функций f и g на S .

Известные особые случаи

В следующих случаях предположим, что p и q находятся в открытом интервале (1, ∞) с 1/ p + 1/ q = 1 .

Счетная мера

Для $n$-мерное евклидово пространство , когда множество $S$ является $\{1,\dots ,n\}$ со счетной мерой имеем

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}\mathbb {C} ^{n}.$

Часто для любого случая используется следующая практическая форма: $(r,s)\in \mathbb {R} _{+}$:

${\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}{\biggr )}^{r+s}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{r}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{s}.$

Для более чем двух сумм справедливо следующее обобщение ( Chen (2015) ) с действительными положительными показателями $\lambda _{i}$ и $\lambda _{a}+\lambda _{b}+\cdots +\lambda _{z}=1$:

$\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{\lambda _{a}}\,|b_{k}|^{\lambda _{b}}\cdots |z_{k}|^{\lambda _{z}}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{a}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{b}}\cdots {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|z_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{z}}.$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $|a_{1}|:|a_{2}|:\cdots :|a_{n}|=|b_{1}|:|b_{2}|:\cdots :|b_{n}|=\cdots =|z_{1}|:|z_{2}|:\cdots :|z_{n}|$.

Если $S=\mathbb {N}$ с помощью считающей меры, то мы получаем неравенство Гёльдера для пространств последовательностей :

$\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ or }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.$

Мера Лебега

Если $S$ является измеримым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ с мерой Лебега и $f$ и $g$ являются измеримыми вещественными или комплексными функциями на $S$, то неравенство Гёльдера имеет вид

$\int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{q}}.$

Вероятностная мера

Для вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),$ позволять $\mathbb {E}$ обозначим оператор ожидания . Для действительных или комплексных случайных величин $X$ и $Y$ на $\Omega ,$ Неравенство Гёльдера гласит:

$\mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.$

Позволять $1<r<s<\infty$ и определить $p={\tfrac {s}{r}}.$ Затем $q={\tfrac {p}{p-1}}$ является гельдеровским сопряжением $p.$ Применение неравенства Гёльдера к случайным величинам $|X|^{r}$ и $1_{\Omega }$ мы получаем

$\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.$

В частности, если s ^й абсолютный момент конечен, то r ^й абсолютный момент тоже конечен. (Это также следует из неравенства Йенсена .)

Мера продукта

Для двух σ-конечных пространств с мерой ( S ₁ , Σ ₁ , µ ₁ ) и ( S ₂ , Σ ₂ , µ ₂ ) определите пространство с мерой произведения по формуле

$S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},$

где S — декартово произведение S 1 _{возникает} и S ₂ , σ-алгебра Σ как произведение σ-алгебры 1 µ _и Σ 2 _, а µ обозначает произведения меру µ ₁ и Σ ₂ . Тогда теорема Тонелли позволяет нам переписать неравенство Гёльдера, используя повторные интегралы : если f и g — Σ -измеримые действительные или комплекснозначные функции на декартовом произведении S , то

$\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.$

Это можно обобщить на более чем два пространства с σ-конечной мерой.

Векторные функции

Пусть ( S , Σ, µ ) обозначает σ-конечное пространство с мерой и предположим, что f = ( f ₁ , ..., f _n ) и g = ( g ₁ , ..., g _n ) являются Σ -измеримыми функциями на S , принимающие значения в n -мерном вещественном или комплексном евклидовом пространстве. Взяв произведение с счетной мерой на {1, ..., n } , мы можем переписать приведенную выше версию неравенства Гёльдера с мерой произведения в виде

$\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.$

Если два интеграла в правой части конечны, то равенство имеет место тогда и только тогда, когда существуют действительные числа α , β ≥ 0 , не оба из которых равны нулю, такие, что

$\alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),$

для µ - почти все x в S .

Эта конечномерная версия обобщается на функции f и g, принимающие значения в нормированном пространстве , которое может быть, например, пространством последовательностей или пространством внутреннего произведения .

Доказательство неравенства Гёльдера

Существует несколько доказательств неравенства Гёльдера; Основная идея ниже — неравенство Юнга для продуктов .

Доказательство

Если ‖ f   ‖ _p = 0 , то f равно нулю µ -почти всюду, а произведение fg равно нулю µ -почти всюду, следовательно, левая часть неравенства Гёльдера равна нулю. То же самое верно, если ‖ g ‖ _q = 0 . Поэтому мы можем предположить ‖ f   ‖ _p > 0 и ‖ g ‖ _q > 0 в дальнейшем.

Если ‖ f   ‖ _p = ∞ или ‖ g ‖ _q = ∞ , то правая часть неравенства Гёльдера бесконечна. Поэтому мы можем предположить, что ‖ f   ‖ _p и ‖ g ‖ _q находятся в (0, ∞) .

Если p = ∞ и q = 1 , то | фг | ≤ ‖ ж   ‖ _∞ | г | почти всюду, а неравенство Гёльдера следует из монотонности интеграла Лебега. Аналогично для p = 1 и q = ∞ . Поэтому мы можем предположить, что p , q ∈ (1,∞) .

Разделив f и g на ‖ f   ‖ _p и ‖ g ‖ _q соответственно, можно считать, что

$\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.$

Теперь мы используем неравенство Юнга для продуктов , которое гласит, что всякий раз, когда $p,q$ находятся в (1,∞) с ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$

для всех неотрицательных a и b , где равенство достигается тогда и только тогда, когда a ^п = б ^д . Следовательно

$|f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.$

Интеграция обеих сторон дает

$\|fg\|_{1}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p}}+{\frac {\|g\|_{q}^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$

что доказывает утверждение.

В предположениях p ∈ (1, ∞) и ‖ f   ‖ _p = ‖ g ‖ _q равенство имеет место тогда и только тогда, когда | ж   | ^п = | г | ^д почти везде. В более общем смысле, если ‖ f   ‖ _p и ‖ g ‖ _q находятся в (0, ∞) , то неравенство Гёльдера становится равенством тогда и только тогда, когда существуют действительные числа α , β > 0 , а именно

$\alpha =\|g\|_{q}^{q},\qquad \beta =\|f\|_{p}^{p},$

такой, что

$\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}$   ц -почти всюду (*).

Случай ‖ f   ‖ _p = 0 соответствует β = 0 в (*). Случай ‖ g ‖ _q = 0 соответствует α = 0 в (*).

Альтернативное доказательство с использованием неравенства Йенсена:

Доказательство

Функция $x\mapsto x^{p}$ на (0,∞) выпукло, поскольку $p\geq 1$, поэтому по неравенству Йенсена

$\int h\mathrm {d} \nu \leq \left(\int h^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}$

где ν — любое распределение вероятностей, а h — любая ν -измеримая функция. Пусть µ — произвольная мера, а ν — распределение, плотность которого относительно µ пропорциональна $g^{q}$, то есть

$\mathrm {d} \nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu$

Следовательно, мы имеем, используя ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$, следовательно $p(1-q)+q=0$и позволяя $h=fg^{1-q}$,

${\begin{aligned}\int fg\,\mathrm {d} \mu =&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\\\leq &\left(\int g^{q}\mathrm {d} \mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\right)^{\frac {1}{p}}\\=&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}.\end{aligned}}$

Наконец, мы получаем

$\int fg\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int f^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}$

Это предполагает, что f , g вещественные и неотрицательные, но расширение до комплексных функций является простым (используйте модуль f , g ). Также предполагается, что $\|f\|_{p},\|g\|_{q}$ не являются ни нулевыми, ни бесконечными, и что $p,q>1$: все эти предположения также можно снять, как и в приведенном выше доказательстве.

Мы также могли бы обойти неравенства Янга и Дженсена. Приведенное ниже доказательство также объясняет, почему и где естественным образом появляется показатель Гёльдера.

Доказательство

Как и в предыдущем доказательстве, достаточно доказать

$\int _{X}|h|\mathrm {d} \nu \leq \left(\int _{X}|h|^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}$

где $\nu (X)=1$ и $h$ является $\nu$-измеримая (действительная или комплексная) функция на $X$. Чтобы доказать это, мы должны ограничить $|h|$ к $|h|^{p}$. Нет никакой константы $C$ это сделает $|h(x)|~\leq ~C|h(x)|^{p}$ для всех $x>0$. Следовательно, ищем неравенство вида

$|h(x)|~\leq ~a'|h(x)|^{p}+b',\quad for\quad all\quad x>0$

для подходящего выбора $a'$ и $b'$.

Мы желаем получить $A:=\|f\|_{p}$ в правой части после интегрирования этого неравенства. Методом проб и ошибок мы видим, что желаемое неравенство должно иметь вид

$|h(x)|~\leq ~aA^{1-p}|h(x)|^{p}+bA,\quad for\quad all\quad x>0,$

где $a,b$ неотрицательны и $a+b=1$. Действительно, интеграл от правой части в точности равен $A$. Итак, осталось доказать, что такое неравенство действительно выполняется при правильном выборе $a,b.$

Неравенство, которое мы ищем, будет следовать из:

${\tfrac {y}{A}}~\leq ~a({\tfrac {y}{a}})^{p}+b,\quad for\quad all\quad y>0,$

что, в свою очередь, эквивалентно

$(*)\quad z~\leq ~az^{p}+b,\quad for\quad all\quad z>0.$

Оказывается, есть один и только один вариант $a,b$, при условии $a+b=1$, это делает это правдой: $a={\tfrac {1}{p}}$ и, обязательно, $b=1-{\tfrac {1}{p}}$. (Здесь рождается сопряженная экспонента Гельдера!) На этом доказательство неравенства из первого абзаца этого доказательства завершается. Отсюда следует доказательство неравенства Гёльдера, как и в предыдущем доказательстве. В качестве альтернативы мы можем вывести неравенство Юнга, а затем прибегнуть к первому доказательству, приведенному выше. Неравенство Юнга следует из неравенства (*), приведенного выше, путем выбора $z={\tfrac {a}{b^{q-1}}}$ и умножив обе части на $b^{q}$.

Экстремальное равенство

Заявление

Предположим, что 1 ⩽ p < ∞, и пусть q обозначает сопряженное по Гельдеру. Тогда для любой f ∈ L ^п ( м ) ,

$\|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},$

где max указывает, что на самом деле существует g, максимизирующий правую часть. Когда p = ∞ и если каждое множество A в σ-поле Σ с µ ( A ) = ∞ содержит подмножество B ∈ Σ с 0 < µ ( B ) < ∞ (что верно, в частности, когда µ σ -конечно ) , затем

$\|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.$

Доказательство экстремального равенства:

Доказательство

Согласно неравенству Гёльдера интегралы корректно определены и при 1 ⩽ p ⩽ ∞

$\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu \leq \|f\|_{p},$

следовательно, левая часть всегда ограничена сверху правой частью.

И наоборот, для 1 ≤ p ≤ ∞ сначала заметим, что утверждение очевидно, когда ‖ f   ‖ _p = 0 . Поэтому мы предполагаем ‖ f   ‖ _p > 0 в дальнейшем .

Если 1 ≤ p < ∞ , определите g на S следующим образом:

$g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Проверяя по отдельности случаи p = 1 и 1 < p < ∞ , мы видим, что ‖ g ‖ _q = 1 и

$\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.$

Осталось рассмотреть случай p = ∞ . Для ε ∈ (0, 1) определим

$A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }\right\}.$

Поскольку f измерима, A ∈ Σ . Согласно определению ‖ f   ‖ _∞ как существенной верхней границы и f предположению ‖ f   ‖ _∞ > 0 , мы имеем µ ( A ) > 0 . Используя при необходимости дополнительное предположение на σ-поле Σ , существует подмножество B ∈ Σ поля A такое, что 0 < µ ( B ) < ∞ . Определите g на S с помощью

$g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}{\frac {\|f\|_{\infty }}{f(x)}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Тогда g корректно определена, измерима и | г ( Икс ) | ≤ 1/ µ ( B ) для x ∈ B , следовательно ‖ г ‖ ₁ ≤ 1 . Более того,

$\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}\|f\|_{\infty }\,\mathrm {d} \mu =(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }.$

Замечания и примеры

• Равенство для $p=\infty$ терпит неудачу всякий раз, когда существует набор $A$ бесконечной меры в $\sigma$-поле $\Sigma$ с этим не имеет подмножества $B\in \Sigma$ что удовлетворяет: $0<\mu (B)<\infty .$ (самый простой пример – $\sigma$-поле $\Sigma$ содержащий только пустой набор и $S,$ и мера $\mu$ с $\mu (S)=\infty .$) Тогда индикаторная функция $1_{A}$ удовлетворяет $\|1_{A}\|_{\infty }=1,$ но каждый $g\in L^{1}(\mu )$ должно быть $\mu$-почти везде постоянно включено $A,$ потому что это $\Sigma$-измерима, и эта константа должна быть равна нулю, поскольку $g$ является $\mu$-интегрируемый. Следовательно, указанная выше верхняя граница для индикаторной функции $1_{A}$ равно нулю и экстремальное равенство не выполняется.
• Для $p=\infty ,$ супремум вообще не достигается. В качестве примера позвольте $S=\mathbb {N} ,\Sigma ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ и $\mu$ счетная мера. Определять:

${\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}$

Затем $\|f\|_{\infty }=1.$ Для $g\in L^{1}(\mu ,\mathbb {N} )$ с $0<\|g\|_{1}\leqslant 1,$ позволять $m$ обозначим наименьшее натуральное число через $g(m)\neq 0.$ Затем

$\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{n=m+1}^{\infty }|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.$

Приложения

• Экстремальное равенство является одним из способов доказательства неравенства треугольника ‖ f ₁ + f ₂ ‖ _p ≤ ‖ f ₁ ‖ _p + ‖ f ₂ ‖ _p для всех f ₁ и f ₂ из L ^п ( μ ) , см. неравенство Минковского .
• Из неравенства Гёльдера следует, что каждая f ∈ L ^п ( µ ) определяет ограниченный (или непрерывный) линейный функционал κ _f на L ^д ( µ ) по формуле

$\kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).$

Экстремальное равенство (если оно истинно) показывает, что норма этого функционала κ _f как элемента непрерывного дуального пространства L ^д ( м ) ^* совпадает с нормой f в L ^п ( µ ) (см. также L ^п -космическая статья).

Обобщение с более чем двумя функциями

Заявление

Предположим, что r ∈ (0, ∞] и p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] такие, что

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}$

где 1/∞ интерпретируется как 0 в этом уравнении. Тогда для всех измеримых действительных или комплекснозначных функций f ₁ , ..., f _n, определенных на S ,

$\left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}$

где мы интерпретируем любой продукт с коэффициентом ∞ как ∞, если все коэффициенты положительны, но продукт равен 0, если какой-либо коэффициент равен 0.

В частности, если $f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )$ для всех $k\in \{1,\ldots ,n\}$ затем $\prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).$

Примечание: Для $r\in (0,1),$ вопреки обозначениям, ‖ . ‖ _r вообще не является нормой, поскольку не удовлетворяет неравенству треугольника .

Доказательство обобщения:

Доказательство

Мы используем неравенство Гёльдера и математическую индукцию . Если $n=1$ тогда результат немедленный. Давайте теперь перейдем от $n-1$ к $n.$ Без ограничения общности предположим, что $p_{1}\leq \cdots \leq p_{n}.$

Случай 1: Если $p_{n}=\infty$ затем

$\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.$

Вытаскивая существенную супремум | ж _п | и используя предположение индукции, получаем

${\begin{aligned}\left\|f_{1}\cdots f_{n}\right\|_{r}&\leq \left\|f_{1}\cdots f_{n-1}\right\|_{r}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }\\&\leq \left\|f_{1}\right\|_{p_{1}}\cdots \left\|f_{n-1}\right\|_{p_{n-1}}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }.\end{aligned}}$

Случай 2: Если $p_{n}<\infty$ тогда обязательно $r<\infty$ также, а затем

$p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}},\qquad q:={\frac {p_{n}}{r}}$

являются гельдерово-сопряженными в (1, ∞) . Применение неравенства Гёльдера дает

$\left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}\right\|_{1}\leq \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\right\|_{p}\,\left\||f_{n}|^{r}\right\|_{q}.$

Возвращение к власти $1/r$ и переписывание,

$\|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\|_{qr}.$

С $qr=p_{n}$ и

$\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}},$

заявленное неравенство теперь следует с использованием гипотезы индукции.

Интерполяция

Пусть p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] и пусть θ ₁ , ..., θ _n ∈ (0, 1) обозначают веса с θ ₁ + ... + θ _n = 1 . Определим $p$ как взвешенное гармоническое среднее , то есть

${\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.$

Даны измеримые действительные или комплексные функции. $f_{k}$ на S , то приведенное выше обобщение неравенства Гёльдера дает

$\left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.$

В частности, взяв $f_{1}=\cdots =f_{n}=:f$ дает

$\|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.$

Указав дополнительно θ ₁ = θ и θ ₂ = 1- θ , в случае $n=2,$ получаем интерполяции результат

Неравенство Литтлвуда — для $\theta \in (0,1)$ и ${\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}$,

$$\|f\|_{p_{\theta }}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta }\cdot \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta },$$

Приложение Гельдера дает

Неравенство Ляпунова — Если $p=(1-\theta )p_{0}+\theta p_{1},\qquad \theta \in (0,1),$ затем

$$\left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta )}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1}\theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\|f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }$$

и в частности

$$\|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }.$$

И Литтлвуд, и Ляпунов подразумевают, что если $f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}$ затем $f\in L^{p}$ для всех $p_{0}<p<p_{1}.$

Обратные неравенства Гёльдера

Две функции

Предположим, что p ∈ (1, ∞) и что пространство с мерой ( S , Σ, µ ) удовлетворяет условию µ ( S ) > 0 . Тогда для всех измеримых действительных или комплекснозначных функций f и g на S таких, что g ( s ) ≠ 0 для µ -почти всех s ∈ S ,

$\|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.$

Если

$\|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,$

то обратное неравенство Гёльдера является равенством тогда и только тогда, когда

$\exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.$

Примечание. Выражения:

$\|f\|_{\frac {1}{p}}$ и $\|g\|_{\frac {-1}{p-1}},$

не являются нормами, это просто компактные обозначения для

$\left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.$

показывать

Доказательство обратного неравенства Гельдера (скрыто, нажмите «Показать», чтобы открыть).

Note that p and

$q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )$

are Hölder conjugates. Application of Hölder's inequality gives

${\begin{aligned}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1}{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1}{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\|_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac {p-1}{p}}\end{aligned}}$

Raising to the power p gives us:

$\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.$

Therefore:

$\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.$

Now we just need to recall our notation.

Since g is not almost everywhere equal to the zero function, we can have equality if and only if there exists a constant α ≥ 0 such that |fg| = α |g|^−q/p almost everywhere. Solving for the absolute value of f gives the claim.

Несколько функций

Обратное неравенство Гельдера (см. выше) можно обобщить на случай нескольких функций, если все сопряженные функции, кроме одной, отрицательны. То есть,

Позволять $p_{1},...,p_{m-1}<0$ и $p_{m}\in \mathbb {R}$ быть таким, что $\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{p_{k}}}=1$ (следовательно $0<p_{m}<1$). Позволять $f_{k}$ быть измеримыми функциями для $k=1,...,m$. Затем

$\left\|\prod _{k=1}^{m}f_{k}\right\|_{1}\geq \prod _{k=1}^{m}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}.$

Это следует из симметричной формы неравенства Гёльдера (см. ниже).

Симметричные формы неравенства Гёльдера

Это наблюдали Ачель и Беккенбах. что неравенство Гёльдера можно представить в более симметричной форме ценой введения дополнительного вектора (или функции):

Позволять $f=(f(1),\dots ,f(m)),g=(g(1),\dots ,g(m)),h=(h(1),\dots ,h(m))$ быть векторами с положительными элементами и такими, что $f(i)g(i)h(i)=1$ для всех $i$. Если $p,q,r$ являются ненулевыми действительными числами такими, что ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=0$, затем:

• $\|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\geq 1$ если все, кроме одного $p,q,r$ являются положительными;
• $\|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\leq 1$ если все, кроме одного $p,q,r$ являются отрицательными.

Стандартное неравенство Гёльдера непосредственно следует из этой симметричной формы (и, как легко видеть, оно эквивалентно ей). Из симметричного утверждения следует также обратное неравенство Гёльдера (см. выше).

Результат можно распространить на несколько векторов:

Позволять $f_{1},\dots ,f_{n}$ быть $n$ векторы в $\mathbb {R} ^{m}$ с положительными входами и такие, что $f_{1}(i)\dots f_{n}(i)=1$ для всех $i$. Если $p_{1},\dots ,p_{n}$ являются ненулевыми действительными числами такими, что ${\frac {1}{p_{1}}}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}=0$, затем:

• $\|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\geq 1$ если все числа, кроме одного $p_{i}$ являются положительными;
• $\|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\leq 1$ если все числа, кроме одного $p_{i}$ являются отрицательными.

Как и в стандартных неравенствах Гёльдера, существуют соответствующие утверждения для бесконечных сумм и интегралов.

Условное неравенство Гельдера

Пусть (Ω, F , $\mathbb {P}$) — вероятностное пространство, G ⊂ F и — под -σ-алгебра p , q ∈ ( 1, ∞) сопряжены по Гёльдеру, что означает, что 1/ p + 1/ q = 1 . для всех вещественных или комплексных случайных величин X и Y на Ω Тогда

$\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}$

Примечания:

• Если неотрицательная случайная величина Z имеет бесконечное математическое ожидание , то ее условное математическое ожидание определяется формулой

$\mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}$

• В правой части условного неравенства Гельдера 0 раз ∞, а также ∞ раз 0 означает 0. Умножение a > 0 на ∞ дает ∞.

Доказательство условного неравенства Гёльдера:

Доказательство

Определите случайные величины

$U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}$

и заметим, что они измеримы относительно под-σ-алгебры . С

$\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,$

отсюда следует, что | Х | = 0 как на множестве { U = 0} . Точно так же | Ю | = 0, как на множестве { V = 0} , следовательно

$\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}$

и на этом множестве выполнено условное неравенство Гёльдера. На съемочной площадке

$\{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}$

правая часть бесконечна и выполнено условное неравенство Гёльдера. Поэтому, разделив на правую часть, остается показать, что

${\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{a.s. on the set }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}.$

Это делается путем проверки того, что неравенство выполняется после интегрирования по произвольному значению.

$G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.$

Используя измеримость U, V, 1 _G относительно под-σ-алгебры , правила условного ожидания, неравенство Гёльдера и 1/ p + 1/ q = 1 , видим, что

${\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}$

Неравенство Гёльдера для возрастающих полунорм

Пусть S — множество и пусть $F(S,\mathbb {C} )$ — пространство всех комплекснозначных функций на S . Пусть N — возрастающая полунорма на $F(S,\mathbb {C} ),$ это означает, что для всех действительных функций $f,g\in F(S,\mathbb {C} )$ имеем следующее импликацию (полунорме также разрешено достигать значения ∞):

$\forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).$

Затем:

$\forall f,g\in F(S,\mathbb {C} )\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl (}N(|f|^{p}){\bigr )}^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},$

где цифры $p$ и $q$ являются гельдеровскими сопряжениями.

Замечание: если ( S , Σ, µ ) — пространство с мерой и $N(f)$ — верхний интеграл Лебега $|f|$ тогда ограничение N на все Σ -измеримые функции дает обычную версию неравенства Гёльдера.

Расстояния на основе неравенства Гёльдера

Неравенство Гёльдера можно использовать для определения показателей статистического различия. между распределениями вероятностей. Эти гельдеровы расходимости проективны: они не зависят от нормировочного коэффициента плотностей.

См. также

• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Минковского
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Юнга для продуктов
• Неравенства Кларксона
• Неравенство Браскапа – Либа

Ссылки

• Гриншпан, А.З. (2010), «Взвешенные неравенства и отрицательные биномы», Успехи в прикладной математике , 45 (4): 564–606, doi : 10.1016/j.aam.2010.04.004
• Харди, штат Джорджия ; Литтлвуд, JE ; Полиа, Г. (1934), Неравенства , Издательство Кембриджского университета , стр. XII + 314, ISBN  0-521-35880-9 , JFM   60.0169.01 , Збл   0010.10703 .
• Гёльдер, О. (1889), «О теореме о среднем значении» , Новости из Кенигля. Общество наук и Геттингенский университет имени Георга Августа , том (на немецком языке), 1889 (2): 38–47, JFM   21.0260.07 . Доступно в журналах Digi .
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Неравенство Гёльдера» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Роджерс, LJ (февраль 1888 г.), «Расширение некоторой теоремы в неравенствах» , Messenger of Mathematics , New Series, XVII (10): 145–150, JFM   20.0254.02 , заархивировано из оригинала 21 августа 2007 г.
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5
• Тревес, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Чистая и прикладная математика. Серия монографий и учебников, вып. 25, Нью-Йорк, Лондон: Academic Press, MR   0225131 , Zbl   0171.10402 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Внешние ссылки

• Чен, Эван (2015), Краткое введение в олимпийское неравенство (PDF) .
• Каттлер, Кеннет (2007), Введение в линейную алгебру (PDF) , электронная онлайн-книга в формате PDF, Университет Бригама Янга, заархивировано из оригинала (PDF) 7 августа 2008 г. , получено 26 марта 2008 г.
• Лоуотер, Артур (1982), Введение в неравенство (PDF) .
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : Тисделл, Крис (2012), Неравенство Холдера , YouTube .