Квазиинвариантная мера

В математике квазиинвариантная мера µ относительно преобразования T из пространства меры X в себя — это мера которая, грубо говоря, умножается на числовую функцию от T. , Важный класс примеров возникает, когда , а µ — любая мера , которая локально X — гладкое многообразие M, T — диффеоморфизм M является мерой с базой меры Лебега в евклидовом пространстве . влияние T на µ локально выражается как умножение на определитель Якоби производной ( вперед ) T. Тогда

Чтобы выразить эту идею более формально в терминах теории меры , идея состоит в том, что производная Радона – Никодима преобразованной меры µ 'по отношению к µ должна существовать повсюду; или что эти две меры должны быть эквивалентны (т.е. взаимно абсолютно непрерывны ):

$\mu '=T_{*}(\mu )\approx \mu .$

Другими словами, это означает, что T сохраняет концепцию множества нулевой меры . Рассматривая весь класс эквивалентности мер ν , эквивалентных µ , это также то же самое, что сказать, что T сохраняет класс в целом, отображая любую такую ​​меру в другую такую. Следовательно, понятие квазиинвариантной меры совпадает с понятием класса инвариантной меры .

В общем, «свобода» перемещения внутри класса меры путем умножения приводит к появлению коциклов при составлении преобразований.

Например, гауссова мера в евклидовом пространстве R ^н не инвариантен относительно трансляции (как мера Лебега), но квазиинвариантен относительно всех сдвигов.

Можно показать, что если E — сепарабельное банахово пространство и µ — локально конечная борелевская мера на E , квазиинвариантная относительно всех сдвигов на элементы E , то либо dim( E ) < +∞, либо µ — тривиальная мера мкм ≡ 0.

См. также

• Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.
• Инвариантная мера