Теорема Сарда

В математике , который утверждает , теорема Сарда , также известная как лемма Сарда или теорема Морса-Сарда , является результатом математического анализа что набор критических значений (то есть образ множества критических точек ) гладкой функции f из одного евклидова пространства или многообразия в другое есть нулевое множество , т. е. оно имеет меру Лебега 0. Это делает множество критических значений «малым» в смысле родового свойства . Теорема названа в честь Энтони Морса и Артура Сарда .

Заявление

Более явно, ^{[ 1 ]} позволять

f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}

быть $C^{k}$ , (то есть, $k$ раз непрерывно дифференцируемо ), где $k\geq \max\{n-m+1,1\}$ . Позволять $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ обозначим критический набор $f,$ что представляет собой набор точек $x\in \mathbb {R} ^{n}$ при котором Якобиана матрица $f$ имеет ранг $<m$ . Затем изображение $f(X)$ имеет меру Лебега 0 в $\mathbb {R} ^{m}$ .

Интуитивно говоря, это означает, что, хотя $X$ может быть большим, его образ должен быть малым в смысле меры Лебега: в то время как $f$ может иметь много критических точек в области $\mathbb {R} ^{n}$ , у него должно быть несколько критических значений в изображении $\mathbb {R} ^{m}$ .

В более общем смысле этот результат справедлив и для отображений между дифференцируемыми многообразиями. $M$ и $N$ размеров $m$ и $n$ , соответственно. Критический набор $X$ из $C^{k}$ функция

f:N\rightarrow M

состоит из тех точек, в которых дифференциал

df:TN\rightarrow TM

имеет ранг меньше, чем $m$ как линейное преобразование. Если $k\geq \max\{n-m+1,1\}$ , то теорема Сарда утверждает, что образ $X$ имеет нулевую меру как подмножество $M$ . Эта формулировка результата следует из версии для евклидовых пространств с использованием счетного набора координатных участков. Заключение теоремы является локальным утверждением, поскольку счетное объединение множеств меры нуль является множеством меры нуль, а свойство подмножества координатного участка, имеющего нулевую меру, инвариантно относительно диффеоморфизма .

Варианты

Существует множество вариантов этой леммы, которая играет основную роль в теории особенностей, среди других областей. Дело $m=1$ было доказано Энтони П. Морсом в 1939 году. ^{[ 2 ]} и общий случай Артура Сарда в 1942 году. ^{[ 1 ]}

Версия для бесконечномерных банаховых многообразий была доказана Стивеном Смейлом . ^{[ 3 ]}

Это утверждение весьма убедительно, и доказательство требует анализа. В топологии его часто цитируют — например, в теореме Брауэра о неподвижной точке и некоторых приложениях в теории Морса — чтобы доказать более слабое следствие, что «непостоянное гладкое отображение имеет хотя бы одно регулярное значение».

В 1965 году Сард еще больше обобщил свою теорему, заявив, что если $f:N\rightarrow M$ является $C^{k}$ для $k\geq \max\{n-m+1,1\}$ и если $A_{r}\subseteq N$ это набор точек $x\in N$ такой, что $df_{x}$ имеет ранг строго меньше, чем $r$ , то r -мерная Хаусдорфа мера $f(A_{r})$ равен нулю. ^{[ 4 ]} В частности, Хаусдорфа размерность $f(A_{r})$ не превышает r . Предостережение: измерение Хаусдорфа $f(A_{r})$ может быть сколь угодно близко к r . ^{[ 5 ]}

См. также

Родовое свойство

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Сард, Артур (1942), «Мера критических значений дифференцируемых карт» , Бюллетень Американского математического общества , 48 (12): 883–890, doi : 10.1090/S0002-9904-1942-07811-6 , MR 0007523 , Збл 0063.06720 .
^ Морс, Энтони П. (январь 1939 г.), «Поведение функции на ее критическом множестве», Annals of Mathematics , 40 (1): 62–70, Бибкод : 1939AnMat..40...62M , doi : 10.2307/ 1968544 , JSTOR 1968544 , MR 1503449 .
^ Смейл, Стивен (1965), «Бесконечномерная версия теоремы Сарда», American Journal of Mathematics , 87 (4): 861–866, doi : 10.2307/2373250 , JSTOR 2373250 , MR 0185604 , Zbl 0143.35301 .
^ Сард, Артур (1965), «Хаусдорфовая мера критических изображений на банаховых многообразиях», American Journal of Mathematics , 87 (1): 158–174, doi : 10.2307/2373229 , JSTOR 2373229 , MR 0173748 , Zbl 0137.42501 , а также Сард, Артур (1965), «Ошибки в мерах Хаусдорфа критических образов на банаховых многообразиях », American Journal of Mathematics , 87 (3): 158–174, doi : 10.2307/2373229 , JSTOR 2373074 , MR 0180649 , Zbl 0137.42501 .
^ «Покажите, что f(C) имеет размерность Хаусдорфа не более нуля» , Stack Exchange , 18 июля 2013 г.

Дальнейшее чтение

Хирш, Моррис В. (1976), Дифференциальная топология , Нью-Йорк: Springer, стр. 67–84, ISBN 0-387-90148-5 .
Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл , MR 0193578 , Zbl 0129.13102 .

[Sard1942-1] Jump up to: ^а ^б Сард, Артур (1942), «Мера критических значений дифференцируемых карт» , Бюллетень Американского математического общества , 48 (12): 883–890, doi : 10.1090/S0002-9904-1942-07811-6 , MR 0007523 , Збл 0063.06720 .

[2] Морс, Энтони П. (январь 1939 г.), «Поведение функции на ее критическом множестве», Annals of Mathematics , 40 (1): 62–70, Бибкод : 1939AnMat..40...62M , doi : 10.2307/ 1968544 , JSTOR 1968544 , MR 1503449 .

[3] Смейл, Стивен (1965), «Бесконечномерная версия теоремы Сарда», American Journal of Mathematics , 87 (4): 861–866, doi : 10.2307/2373250 , JSTOR 2373250 , MR 0185604 , Zbl 0143.35301 .

[4] Сард, Артур (1965), «Хаусдорфовая мера критических изображений на банаховых многообразиях», American Journal of Mathematics , 87 (1): 158–174, doi : 10.2307/2373229 , JSTOR 2373229 , MR 0173748 , Zbl 0137.42501 , а также Сард, Артур (1965), «Ошибки в мерах Хаусдорфа критических образов на банаховых многообразиях », American Journal of Mathematics , 87 (3): 158–174, doi : 10.2307/2373229 , JSTOR 2373074 , MR 0180649 , Zbl 0137.42501 .

[5] «Покажите, что f(C) имеет размерность Хаусдорфа не более нуля» , Stack Exchange , 18 июля 2013 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]