История многообразий и разновидностей

Изучение многообразий объединяет многие важные области математики : оно обобщает такие понятия, как кривые и поверхности , а также идеи линейной алгебры и топологии . Некоторые специальные классы многообразий также имеют дополнительную алгебраическую структуру; они могут вести себя как группы например, . В этом случае их называют группами Ли . Альтернативно они могут быть описаны полиномиальными уравнениями , и в этом случае они называются алгебраическими многообразиями , а если они дополнительно несут групповую структуру, их называют алгебраическими группами .

Номенклатура

Термин «многообразие» происходит от немецкого Mannigfaltigkeit Бернхарда Римана .

В английском языке « многообразие » относится к пространствам с дифференцируемой или топологической структурой, а «разнообразие» относится к пространствам с алгебраической структурой, как в алгебраических многообразиях .

На романских языках слово «многообразие» переводится как «разнообразие» — такие пространства с дифференцируемой структурой буквально переводятся как «аналитические многообразия», а пространства с алгебраической структурой называются «алгебраическими многообразиями». Так, например, французское слово « variété topologique » означает топологическое многообразие . Точно так же японское слово « 多様体 » (тайотай) также включает в себя как многообразие, так и разнообразие. (« 多様 » (тайо) означает «различный».)

Предыстория

Предшественниками современной концепции многообразия были несколько важных результатов математики 18 и 19 веков. Старейшей из них была неевклидова геометрия , которая рассматривает пространства, в которых не Евклида постулат параллельности работает. Саккери впервые изучил эту геометрию в 1733 году. Лобачевский , Бояи и Риман развили эту тему 100 лет спустя. Их исследования выявили два типа пространств, геометрическая структура которых отличается от классической евклидовой структуры ; они называются гиперболической геометрией и эллиптической геометрией . В современной теории многообразий этим понятиям соответствуют многообразия постоянной, отрицательной и положительной кривизны соответственно.

Карл Фридрих Гаусс, возможно, был первым, кто рассматривал абстрактные пространства как самостоятельные математические объекты. Его теорема egregium дает метод вычисления кривизны поверхности , без учета окружающего пространства в котором находится поверхность. Говоря современным языком, теорема доказала, что кривизна поверхности является внутренним свойством. Теория многообразий сосредоточилась исключительно на этих внутренних свойствах (или инвариантах), в значительной степени игнорируя внешние свойства окружающего пространства.

Другим, более топологическим примером внутреннего свойства многообразия является эйлерова характеристика . Для непересекающегося графа на евклидовой плоскости с V вершинами (или углами), E ребер и F граней (считая внешнюю) Эйлер показал, что V - E + F = 2. Таким образом, 2 называется эйлеровой характеристикой плоскости. . Напротив, в 1813 году Антуан-Жан Люилье показал, что эйлерова характеристика тора равна 0, поскольку полный граф из семи точек можно вложить в тор. Эйлерова характеристика других поверхностей является полезным топологическим инвариантом , который был расширен до более высоких измерений с использованием чисел Бетти . В середине девятнадцатого века теорема Гаусса-Бонне связала эйлерову характеристику с гауссовой кривизной .

Лагранжева механика и гамильтонова механика , если рассматривать их геометрически, естественно являются теориями многообразия. Все они используют понятие нескольких характерных осей или размеров (известных как обобщенные координаты в последних двух случаях), но эти измерения не лежат вдоль физических измерений ширины, высоты и ширины.

В начале 19 века теория эллиптических функций сумела дать основу теории эллиптических интегралов , и это открыло очевидный путь для исследований. Стандартные формы эллиптических интегралов включали квадратные корни из кубических и четвертых полиномов . если их заменить полиномами более высокой степени, скажем, квинтиками Что произойдет, ?

В работе Нильса Хенрика Абеля и Карла Якоби ответ был сформулирован: в результирующем интеграле будут участвовать функции двух комплексных переменных , имеющие четыре независимых периода (т.е. векторы периодов). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 ( абелева поверхность ): то, что теперь будет называться якобианом гиперэллиптической кривой рода 2 .

Риман

Бернхард Риман был первым, кто проделал обширную работу, обобщив идею поверхности на более высокие измерения. Название «многообразие» Римана происходит от оригинального немецкого термина Mannigfaltigkeit , который Уильям Кингдон Клиффорд перевел как «многообразие». В своей вступительной лекции в Гёттингене Риман описал набор всех возможных значений переменной с определёнными ограничениями как Mannigfaltigkeit , поскольку переменная может иметь много значений. Он различает stetige Mannigfaltigkeit и дискретную Mannigfaltigkeit ( непрерывную многообразность и прерывистую многообразность ), в зависимости от того, меняется ли значение непрерывно или нет. В качестве непрерывных примеров Риман приводит не только цвета и расположение предметов в пространстве, но и возможные формы пространственной фигуры. Используя индукцию , Риман строит n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ( n-кратно расширенное многообразие или n-мерное многообразие ) как непрерывный стек (n−1) мерных многообразий. Интуитивное представление Римана о Mannigfaltigkeit превратился в то, что сегодня формализовано как многообразие. Римановы многообразия и римановы поверхности названы в честь Бернхарда Римана.

В 1857 году Риман ввел понятие римановых поверхностей как часть исследования процесса аналитического продолжения ; Римановы поверхности теперь признаны одномерными комплексными многообразиями. Он также способствовал изучению абелевых и других комплексных функций со многими переменными.

Современники Римана

Иоганн Бенедикт Листинг , изобретатель слова « топология », в 1847 году написал статью «Vorstudien zur Topologie», в которой дал определение понятию « комплекс ». Он впервые определил ленту Мёбиуса в 1861 году (переоткрытую Мёбиусом четыре года спустя ) как пример неориентируемой поверхности .

После Абеля, Якоби и Римана одними из наиболее важных авторов теории абелевых функций были Вейерштрасс , Фробениус , Пуанкаре и Пикард . В то время эта тема была очень популярна, и уже существовала большая литература. К концу XIX века математики начали использовать геометрические методы при изучении абелевых функций.

Пуанкаре

В статье Анри Пуанкаре 1895 года «Анализ Ситус» изучались трехмерные и более многообразия (которые он называл «многообразиями»), давались строгие определения гомологии, гомотопии и чисел Бетти , а также поднимался вопрос, сегодня известный как гипотеза Пуанкаре , основанная на его новая концепция фундаментальной группы . В 2003 году Григорий Перельман доказал эту гипотезу, используя Ричарда С. Гамильтона , поток Риччи и это после почти столетних усилий многих математиков.

Дальнейшие события

Герман Вейль дал внутреннее определение дифференцируемых многообразий в 1912 году. В 1930-х годах Хасслер Уитни и другие прояснили фундаментальные аспекты предмета, и, таким образом, интуиция, относящаяся ко второй половине XIX века, стала точной и развилась посредством дифференциальной геометрии и теории Ли. теория групп .

Теорема вложения Уитни показала, что многообразия, внутренне определенные картами, всегда могут быть вложены в евклидово пространство, как и во внешнем определении, показывая, что два понятия многообразия эквивалентны. Говорят, что благодаря этому объединению это первое полное изложение современной концепции многообразия.

В конце концов, в 1920-х годах Лефшец заложил основу для изучения абелевых функций в терминах комплексных торов. Он также, по-видимому, был первым, кто использовал название « абелева разновидность »; в романских языках слово «разнообразие» использовалось для перевода термина Римана «Mannigfaltigkeit». Именно Вейль в 1940-х годах дал этому предмету современные основы на языке алгебраической геометрии.

Источники

• Риман, Бернхард , Основы общей теории функций переменной комплексной величины .
  • Докторская диссертация 1851 года, в которой слово «многообразие» ( Mannigfaltigkeit ). впервые появляется
• Риман, Бернхард, О гипотезах, лежащих в основе геометрии .
  • Знаменитая вступительная лекция в Гёттингене (кандидатская диссертация) 1854 года.
• Ранняя история теории узлов на веб-сайте истории математики Сент-Эндрюса
• Ранняя история топологии Сент-Эндрюса
• Х. Ланге и Ч. Биркенхаке, Сложные абелевы разновидности , 1992, ISBN   0-387-54747-9
  • Комплексное рассмотрение теории абелевых многообразий с обзором истории предмета.
• Андре Вейль : Алгебраические кривые и абелевы многообразия , 1948 г.
  • Первый современный текст об абелевых многообразиях. На французском.
• Анри Пуанкаре , Analysis Situs , Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895), страницы 1–123.
• Анри Пуанкаре, Дополнение к анализу ситуации , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 13 (1899), страницы 285–343.
• Анри Пуанкаре, Второе дополнение к «Анализ ситуации» , Труды Лондонского математического общества , 32 (1900), страницы 277–308.
• Анри Пуанкаре, О некоторых алгебраических поверхностях; третье дополнение к Analysis Situs , Бюллетень Математического общества Франции, 30 (1902), страницы 49–70.
• Анри Пуанкаре, О циклах алгебраических поверхностей; четвертое приложение к Analysis Situs , Журнал чистой и прикладной математики, 5-я серия, 8 (1902), страницы 169–214.
• Анри Пуанкаре, Пятое приложение к анализу места , Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 18 (1904), страницы 45–110.
• Эрхард Шольц , История концепции разнообразия от Римана до Пуанкаре , Биркхойзер, 1980.
  • Исследование происхождения понятия многообразия. По авторской диссертации, режиссёр Эгберт Брискорн.