История теории групп

История теории групп , математической области, изучающей группы в их различных формах, развивалась в различных параллельных направлениях. Есть три исторических корня теории групп : теория алгебраических уравнений , теория чисел и геометрия . Жозеф Луи Лагранж , Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа были ранними исследователями в области теории групп.

Начало 19 века

Самое раннее исследование групп как таковых, вероятно, восходит к работам Лагранжа конца XVIII века. Однако эта работа была несколько изолированной, и публикации Огюстена Луи Коши началом теории групп чаще называют и Галуа 1846 года. Теория развивалась не в вакууме, поэтому здесь развиваются три важных направления ее предыстории.

Разработка групп перестановок

Одним из основополагающих корней теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4.

Ранний источник возникает в задаче о формировании уравнения степени m, имеющего в качестве корней m корней данного уравнения степени $n>m$. В простых случаях проблема восходит к Иоганну ван Ваверену Худде (1659 г.). Николас Сондерсон (1740) заметил, что определение квадратичных множителей биквадратного выражения обязательно приводит к секстическому уравнению: и Томас Ле Сёр (1703–1770) (1748) и Эдвард Уоринг (1762–1782) еще больше развил эту идею. Уоринг доказал фундаментальную теорему о симметричных многочленах и специально рассмотрел связь между корнями уравнения четвертой степени и его резольвентной кубикой.

Целью Лагранжа (1770, 1771) было понять, почему уравнения третьей и четвертой степени допускают формулы решений, а ключевым объектом была группа перестановок корней. На этом была построена теория замен. Он обнаружил, что корни всех резольвент Лагранжа ( resolvantes, réduites ), которые он исследовал, являются рациональными функциями корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он изобрел Calcul des Combinaisons . Современная работа Александра-Теофиля Вандермонда (1770) разработала теорию симметричных функций и решения круговых полиномов . Леопольд Кронекер сказал, что новый бум в алгебре начался с первой статьи Вандермонда. Точно так же Коши отдал должное Лагранжу и Вандермонду за изучение симметричных функций и перестановок переменных.

Паоло Руффини (1799) попытался доказать невозможность решения уравнений пятой и высших уравнений. Руффини был первым человеком, который исследовал идеи теории групп перестановок, такие как порядок элемента группы, сопряженность и циклическое разложение элементов групп перестановок. Руффини выделил то, что сейчас называется непереходными и транзитивными , а также импримитивными и примитивными группами, и (1801) использует группу уравнений под названием l'assieme delle permutazioni . Он также опубликовал письмо Пьетро Аббати самому себе, в котором идея группы занимает видное место. Однако он так и не формализовал понятие группы или даже группы перестановок.

Галуа пятнадцати лет, нарисованный одноклассником.

Эварист Галуа почитается как первый математик, связавший теорию групп и теорию поля с теорией, которая сейчас называется теорией Галуа . Галуа также внес вклад в теорию модульных уравнений и в теорию эллиптических функций . Его первая публикация по теории групп была сделана в возрасте восемнадцати лет (1829 г.), но его вклад не привлекал особого внимания до посмертной публикации собрания его статей в 1846 г. (Лиувилль, том XI). Он впервые рассмотрел то, что сейчас называется свойством замыкания группы перестановок, которое он выразил как

если в такой группе есть замены S и T, то есть замена ST.

Галуа обнаружил, что если $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}$ являются n корнями уравнения, всегда существует группа перестановок r такая, что

• каждая функция корней, неизменяемая заменами группы, рационально известна, и
• и наоборот, каждая рационально определимая функция корней инвариантна относительно замен группы.

Говоря современным языком, разрешимость присоединенной к уравнению группы Галуа определяет разрешимость уравнения с радикалами.

Галуа был первым, кто использовал слова группа ( по-французски groupe ) и примитив в их современном значении. Он не использовал примитивную группу , а назвал уравнение примитивным уравнением, группа Галуа которого примитивна . Он открыл понятие нормальных подгрупп и обнаружил, что разрешимую примитивную группу можно отождествить с подгруппой аффинной группы аффинного пространства над конечным полем простого порядка.

Группы, подобные группам Галуа, (сегодня) называются группами перестановок . Дальнейшее далеко идущее развитие теория групп подстановок получила в руках Огюстена Коши и Камиля Жордана как за счет введения новых понятий, так и, прежде всего, благодаря большому богатству результатов о специальных классах групп подстановок и даже некоторых общих теорем. Помимо прочего, Джордан определил понятие изоморфизма , хотя и ограничился контекстом групп перестановок. Именно Джордан ввел в широкое употребление термин «группа» .

Абстрактное . понятие (конечной) группы впервые появилось в статье Артура Кэли 1854 года «О теории групп как зависимости от символического уравнения» $\theta ^{n}=1$. Кэли предположил, что любая конечная группа изоморфна подгруппе группы перестановок, и этот результат известен сегодня как теорема Кэли . В последующие годы Кэли систематически исследовал бесконечные группы и алгебраические свойства матриц , такие как ассоциативность умножения, существование обратных чисел и характеристические многочлены .

Группы, связанные с геометрией

Феликс Кляйн

Софус Ли

Во-вторых, систематическое использование групп в геометрии, главным образом под видом групп симметрии , было инициировано Феликса Клейна 1872 года Эрлангенской программой . Изучение того, что сейчас называется группами Ли , началось систематически в 1884 году с Софуса Ли , за которым последовали работы Вильгельма Киллинга , Эдуарда Стью , Иссаи Шура , Людвига Маурера и Эли Картана . Теория разрывных ( дискретных групп ) была построена Клейном, Ли, Анри Пуанкаре и Шарлем-Эмилем Пикаром , в частности, в связи с модулярными формами и монодромией .

Появление групп в теории чисел

Серьезное горе

Третьим корнем теории групп была теория чисел . Леонард Эйлер рассматривал алгебраические операции над числами по модулю целого числа — модулярную арифметику — в своем обобщении малой теоремы Ферма . Значительно дальше эти исследования пошел Карл Фридрих Гаусс , который рассмотрел строение мультипликативных групп вычетов mod n и установил многие свойства циклических и более общих абелевых групп , возникающих таким путем. В своих исследованиях композиции бинарных квадратичных форм Гаусс явно сформулировал закон ассоциативности композиции форм. В 1870 году Леопольд Кронекер дал определение абелевой группы в контексте групп идеальных классов числового поля, обобщая работу Гаусса. Попытки Эрнста Куммера доказать Великую теорему Ферма привели к работе по введению групп, описывающих факторизацию в простые числа . В 1882 году Генрих М. Вебер осознал связь между группами перестановок и абелевыми группами и дал определение, которое включало свойство двустороннего сокращения , но опускало существование обратного элемента , которого было достаточно в его контексте (конечные группы).

Конвергенция

Камилла Джордан

Теория групп как все более независимый предмет была популяризирована Серре , который посвятил этой теории раздел IV своей алгебры; « Камилла Джордан , чей Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» (1870 г.) является классикой; и Ойгену Нетто (1882 г.), чья теория подстановок и ее приложения к алгебре была переведена на английский язык Коулом (1892 г.). Другими теоретиками групп 19-го века были Жозеф Луи Франсуа Бертран , Шарль Эрмит , Фердинанд Георг Фробениус , Леопольд Кронекер и Эмиль Матье ; а также Уильям Бернсайд , Леонард Юджин Диксон , Отто Гёльдер , Э. Х. Мур , Людвиг Силов и Генрих Мартин Вебер .

Объединение трех вышеупомянутых источников в единую теорию началось с «Трактата» Джордана и Вальтера фон Дейка (1882), которые впервые определили группу в полном современном смысле. Учебники Вебера и Бернсайда помогли утвердить теорию групп как дисциплину. Формулировка абстрактной группы не применима к значительной части теории групп XIX века, и альтернативный формализм был дан в терминах алгебр Ли .

Конец 19 века

Группы в период 1870–1900 гг. описывались как непрерывные группы Ли, разрывные группы, конечные группы замен корней (постепенно называемые перестановками) и конечные группы линейных замен (обычно конечных полей). В период 1880-1920 годов группы, описанные в презентациях, обрели собственную жизнь благодаря работам Кэли, Вальтера фон Дейка , Макса Дена , Якоба Нильсена , Отто Шрайера и продолжились в период 1920-1940 годов работой HSM. Коксетер , Вильгельм Магнус и другие сформировали область комбинаторной теории групп .

Конечные группы в период 1870-1900 годов стали свидетелями таких ярких событий, как теоремы Силова , классификация групп бесквадратного порядка Гёльдера и ранние истоки теории характеров Фробениуса. Уже к 1860 году группы автоморфизмов конечных проективных плоскостей были изучены (Матье), а в 1870-х годах теоретико-групповое видение геометрии Клейна реализовывалось в его программе «Эрланген» . Группы автоморфизмов проективных пространств более высокой размерности были изучены Джорданом в его «Трактате» и включали композиционные ряды для большинства так называемых классических групп , хотя он избегал непростых полей и опускал унитарные группы . Исследование было продолжено Муром и Бернсайдом, а в 1901 году Леонард Диксон обвел его в форму всеобъемлющего учебника. Роль простых групп подчеркивалась Джорданом, а критерии непростоты разрабатывались Гёльдером, пока он не смог классифицировать простые группы. порядка менее 200. Исследование продолжил Фрэнк Нельсон Коул. (до 660) и Бернсайда (до 1092), и, наконец, в раннем «проекте тысячелетия», вплоть до 2001 года, Миллером и Лингом в 1900 году.

Непрерывные группы в период 1870-1900 годов быстро развивались. Были опубликованы основополагающие статьи Киллинга и Ли, теорема Гильберта в теории инвариантов 1882 г. и др.

Начало 20 века

В период 1900–1940 годов бесконечные «разрывные» (теперь называемые дискретными группами ) группы обрели собственную жизнь. Знаменитая проблема Бернсайда положила начало изучению произвольных подгрупп конечномерных линейных групп над произвольными полями и даже над произвольными группами. Фундаментальные группы и группы отражения поощряли разработки Дж. А. Тодда и Кокстера, такие как алгоритм Тодда – Кокстера в комбинаторной теории групп. Алгебраические группы , определяемые как решения полиномиальных уравнений (а не действующие на них, как в предыдущем столетии), получили большую пользу от непрерывной теории Ли. Бернард Нейман и Ханна Нейман провели исследование разновидностей групп , групп, определяемых теоретико-групповыми уравнениями, а не полиномиальными.

Непрерывные группы также имели взрывной рост в период 1900-1940 годов. Топологические группы стали изучаться как таковые. Было много великих достижений в области непрерывных групп: классификация полупростых алгебр Ли Картаном, Германа Вейля теория представлений компактных групп Альфреда Хаара , работы в локально компактном случае.

Конечные группы в 1900-1940 годах чрезвычайно выросли. В этот период зародилась теория характеров Фробениуса, Бернсайда и Шура, которая помогла ответить на многие вопросы XIX века о группах перестановок и открыла путь к совершенно новым методам работы с абстрактными конечными группами. В этот период были опубликованы работы Филипа Холла : по обобщению теоремы Силова на произвольные наборы простых чисел, что произвело революцию в изучении конечных разрешимых групп, а также по степенной коммутаторной структуре p-групп , включая идеи регулярных p-групп и изоклинизм групп , который произвел революцию в изучении p-групп и стал первым крупным результатом в этой области со времен Силова. В этот период была сформулирована Ганса Зассенхауза знаменитая теорема Шура-Зассенхауза о существовании дополнений к обобщению Холла силовских подгрупп, а также его прогресс в области групп Фробениуса и близкая классификация групп Цассенхауза .

Середина 20 века

Впоследствии глубина и широта, а также влияние теории групп возросли. Область начала разветвляться на такие области, как алгебраические группы , расширения групп и теория представлений . Начиная с 1950-х годов благодаря огромным совместным усилиям теоретикам групп удалось классифицировать все конечные простые группы в 1982 году. Завершение и упрощение доказательства классификации являются областями активных исследований.

Анатолий Мальцев За это время также внес важный вклад в теорию групп; его ранние работы были связаны с логикой в ​​1930-х годах, но в 1940-х годах он доказал важные свойства вложения полугрупп в группы, изучил проблему изоморфизма групповых колец, установил соответствие Мальчева для полициклических групп, а в 1960-х годах вернулся к логике, доказывая различные теории. при изучении групп неразрешимы. Ранее Альфред Тарский элементарной теории групп доказал неразрешимость .

Период 1960–1980 годов был периодом оживления во многих областях теории групп.

В конечных группах было много независимых вех. Было открыто 22 новых спорадических группы и завершено первое поколение классификации конечных простых групп . Одна из них имела влиятельную идею подгруппы Картера и последующее создание теории формации и теории классов групп. Грин сделал замечательное расширение теории Клиффорда на неразложимые модули групповых алгебр. В эту эпоху область вычислительной теории групп стала признанной областью исследований, отчасти благодаря ее огромному успеху при классификации первого поколения.

В дискретных группах геометрические методы Жака Титса и наличие сюръективности отображения Сержа Ланга позволили совершить революцию в алгебраических группах. Проблема Бернсайда достигла огромного прогресса: в 1960-х и начале 1980-х годов были созданы лучшие контрпримеры, но последние штрихи «для всех, кроме конечного числа» не были завершены до 1990-х годов. Работа над проблемой Бернсайда повысила интерес к алгебрам Ли с показателем p , и методы Мишеля Лазара начали оказывать более широкое влияние, особенно при изучении p -групп.

Непрерывные группы значительно расширились, и важность приобрели p -адические аналитические вопросы. За это время было высказано множество гипотез, в том числе гипотезы о коклассах.

Конец 20 века

Последние двадцать лет XX века ознаменовались успехами более чем ста лет изучения теории групп.

В конечных группах результаты пост-классификации включали теорему О'Нана-Скотта , классификацию Ашбахера, классификацию кратно транзитивных конечных групп, определение максимальных подгрупп простых групп и соответствующие классификации примитивных групп . В конечной геометрии и комбинаторике теперь можно было решить многие проблемы. Теория модульных представлений вступила в новую эру, когда методы классификации были аксиоматизированы, включая системы слияния, теорию пар Луиса Пуига и нильпотентные блоки. Теория конечных разрешимых групп также была преобразована влиятельной книгой Клауса Дорка и Тревора Хоукса, которая представила теорию проекторов и инжекторов более широкой аудитории.

В дискретных группах несколько областей геометрии объединились, чтобы создать новые захватывающие области. Работы по теории узлов , орбифолдам , гиперболическим многообразиям и группам, действующим на деревьях ( теория Басса–Серра ), значительно оживили изучение гиперболических групп , автоматических групп . Такие вопросы, как Уильяма Терстона 1982 года гипотеза о геометризации , вдохновили совершенно новые методы в геометрической теории групп и низкоразмерной топологии , и он был вовлечен в решение одной из проблем Премии тысячелетия , гипотезы Пуанкаре .

Непрерывные группы увидели решение проблемы слуха формы барабана в 1992 году с помощью групп симметрии оператора Лапласа . Непрерывные методы применялись ко многим аспектам теории групп с использованием функциональных пространств и квантовых групп . Многие проблемы 18-го и 19-го веков теперь пересматриваются в этой более общей постановке, и на многие вопросы теории представлений групп есть ответы.

Сегодня

Теория групп продолжает оставаться интенсивно изучаемым вопросом. Ее важность для современной математики в целом можно увидеть на примере премии Абеля 2008 года , присужденной Джону Григгсу Томпсону и Жаку Титсу за их вклад в теорию групп.

Ссылки

• Исторически важные публикации по теории групп .
• Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2677-5
• Галуа, Эварист (1908), Таннери, Жюль (редактор), Рукописи Эвариста Галуа , Париж: Готье-Виллар
• Кляйнер, Израиль (1986), «Эволюция теории групп: краткий обзор», Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi : 10.2307/2690312 , ISSN   0025-570X , JSTOR   2690312 , MR   0863090
• Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4685-1 . ISBN  978-0-8176-4685-1 .
• Смит, Дэвид Юджин (1906), История современной математики , Математические монографии, № 1
• Вуссинг, Ханс (2007), Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-45868-7
• дю Сотуа, Маркус (2008), В поисках самогона , Лондон: Четвертое сословие , ISBN  978-0-00-721461-7