Хронология коллекторов

Это временная шкала многообразий , одной из основных геометрических концепций математики. Для получения дополнительной информации см. историю многообразий и разновидностей .

Предыстория

Многообразия в современной математике бывают нескольких типов. К ним относятся:

• гладкие многообразия, являющиеся основными в исчислении многих переменных, математическом анализе и дифференциальной геометрии ;
• кусочно-линейные многообразия;
• топологические многообразия .

Существуют также родственные классы, такие как многообразия гомологии и орбифолды , которые напоминают многообразия. Потребовалось поколение, чтобы после первоначальной работы Анри Пуанкаре появилась ясность в отношении фундаментальных определений; и следующее поколение, которое будет более точно различать три основных класса. Топология низкой размерности (т. е. на практике размерности 3 и 4) оказалась более устойчивой, чем топология более высокого измерения, при выяснении наследия Пуанкаре. Дальнейшие разработки привели к появлению свежих геометрических идей, концепций квантовой теории поля и интенсивному использованию теории категорий.

Участники первой фазы аксиоматизации находились под влиянием Давида Гильберта : с аксиомами Гильберта в качестве образцовых, третьей проблемой Гильберта , решенной Деном, одним из действующих лиц, пятнадцатой проблемой Гильберта из потребностей геометрии XIX века. Предметом многообразий является направление, общее для алгебраической топологии , дифференциальной топологии и геометрической топологии .

Хронология 1900 года

Год	Авторы	Событие
18-ый век	Леонард Эйлер	Теорема Эйлера о многогранниках, «триангулирующих» 2-сферу. Деление выпуклого многоугольника с n сторонами на n треугольников с помощью любой внутренней точки добавляет n ребер, одну вершину и n — 1 грани, сохраняя результат. Итак, случай собственно триангуляции влечет за собой общий результат.
1820–3	Янош Бояи	Развивает неевклидову геометрию , в частности гиперболическую плоскость .
1822	Жан-Виктор Понселе	Восстанавливает реальную проективную геометрию , включая реальную проективную плоскость .
около 1825 г.	Жозеф Диез Жергонн , Жан-Виктор Понселе	Геометрические свойства комплексной проективной плоскости .
1840	Герман Грассманн	Общие n -мерные линейные пространства.
1848	Карл Фридрих Гаусс Пьер Оссиан Бонне	Теорема Гаусса–Бонне для дифференциальной геометрии замкнутых поверхностей.
1851	Бернхард Риман	Введение римановой поверхности в теорию аналитического продолжения . Римановы поверхности представляют собой комплексные многообразия размерности 1, в этом случае представленные как разветвленные накрывающие пространства римановой сферы ( комплексная проективная линия ).
1854	Бернхард Риман	Римановы метрики дают представление о внутренней геометрии многообразий любой размерности.
1861	Результат фольклора с 1850 г.	Первая традиционная публикация теоремы Кельвина – Стокса в трех измерениях, связывающая интегралы по объему с интегралами на его границе.
1870-е годы	Софус Ли	формул . Разработана концепция группы Ли с использованием локальных
1872	Феликс Кляйн	Кляйна в Программа Эрлангене уделяет особое внимание однородным пространствам для классических групп как классу многообразий, являющемуся основой геометрии.
позже 1870-х годов	Улисс Дини	Дини развивает теорему о неявной функции , основной инструмент для локального построения многообразий как нулевых множеств гладких функций .
с 1890-х годов	Эли Картан	Формулировка гамильтоновой механики в терминах кокасательного расслоения многообразия, конфигурационного пространства .
1894	Анри Пуанкаре	Фундаментальная группа топологического пространства. . гипотезу Пуанкаре Теперь можно сформулировать
1895	Анри Пуанкаре	Симплициальная гомология .
1895	Анри Пуанкаре	Фундаментальный труд «Анализ ситуса» , начало алгебраической топологии . Основная форма двойственности Пуанкаре для ориентируемого многообразия (компактного) формулируется как центральная симметрия чисел Бетти .

1900–1920 гг.

Год	Авторы	Событие
1900	Дэвид Хилберт	Пятая проблема Гильберта поставила вопрос о характеристике групп Ли среди групп преобразований , проблема, частично решенная в 1950-х годах. Пятнадцатая проблема Гильберта требовала строгого подхода к исчислению Шуберта — разделу теории пересечений , имеющему место на комплексных грассмановых многообразиях.
1902	Дэвид Хилберт	Предварительная аксиоматизация ( топологические пространства еще не определены) двумерных многообразий.
1905	Макс Ден	В качестве гипотезы используются уравнения Дена-Сомервилля , связывающие численно триангулированные многообразия и симплициальные многогранники .
1907	Анри Пуанкаре, Поль Кебе	Теорема об униформизации односвязных римановых поверхностей.
1907	Макс Ден, Пол Хигор	Обзорная статья Analysis Situs в энциклопедии Клейна дает первое доказательство классификации поверхностей, обусловленной существованием триангуляции, и закладывает основы комбинаторной топологии . Работа также содержала комбинаторное определение «топологического многообразия», которое до 1930-х годов постоянно менялось.
1908	Генрих Франц Фридрих Титце	Habilitationschrift Венского университета предлагает еще одно предварительное определение, комбинаторными средствами, «топологического многообразия».
1908	Эрнст Стейниц , Титце	Hauptvermutung — гипотеза о существовании общего уточнения двух триангуляций. До 1961 года это была открытая проблема для многообразий.
1910	ЛЭЙ Брауэр	Из теоремы Брауэра об инвариантности области следует, что связное непустое многообразие имеет определенную размерность. Этот результат был открытой проблемой в течение трех десятилетий. В том же году Брауэр приводит первый пример топологической группы , не являющейся группой Ли .
1912	ЛЭЙ Брауэр	Брауэр публикует работы о степени непрерывного отображения , предвосхищая классов фундаментальную концепцию ориентируемых многообразий .
1913	Герман Вейль	Идея римановой поверхности дает модельное определение идеи многообразия в одномерном комплексном случае.
1915	Освальд Веблен	«Метод резания», комбинаторный подход к поверхностям, представленный на семинаре в Принстоне. Он используется для доказательства классификации поверхностей Генри Роя Браханы в 1921 году .

Аксиомы гомологии с 1920

Год	Авторы	Событие
1923	Герман Кюннет	Формула Кюннета для гомологии произведения пространств.
1926	Хельмут Кнезер	Определяет «топологическое многообразие» как второе счетное пространство Хаусдорфа с точками, имеющими окрестности, гомеоморфные открытым шарам; и «комбинаторное многообразие» индуктивным способом в зависимости от определения клеточного комплекса и Hauptvermutung .
1926	Эли Картан	Классификация симметрических пространств , класс однородных пространств.
1926	Тибор Радо	Двумерные топологические многообразия имеют триангуляции.
1926	Хайнц Хопф	теореме Пуанкаре–Хопфа сумма индексов векторного поля с изолированными нулями на компактном дифференциальном многообразии M равна эйлеровой характеристике M. По
1926−7	Отто Шрайер	Определения топологической группы и «непрерывной группы» (традиционный термин, в конечном итоге группа Ли ) как локально евклидовой топологической группы. он также вводит универсальное прикрытие . В этом контексте
1928	Леопольд Виеторис	Определение h-многообразия комбинаторными средствами с помощью анализа доказательства, примененного к двойственности Пуанкаре.
1929	Эгберт ван Кампен	В своей диссертации с помощью звездных комплексов для симплициальных комплексов он восстанавливает двойственность Пуанкаре в комбинаторной ситуации.
1930	Бартель Леендерт ван дер Варден	Преследуя цель создания основ исчисления Шуберта в перечислительной геометрии Пуанкаре-Лефшеца , он исследовал теорию пересечений для ее версии числа пересечений в статье 1930 года (учитывая триангулируемость алгебраических многообразий ). В том же году он опубликовал заметку Kombinatorische Topologie о докладе в Deutsche Mathematiker-Vereinigung , в которой он рассмотрел определения «топологического многообразия», данные на данный момент восемью авторами.
около 1930 г.	Эмми Нётер	Теория модулей и общие цепные комплексы разрабатываются Нётер и ее учениками, а алгебраическая топология начинается как аксиоматический подход, основанный на абстрактной алгебре .
1931	Жорж де Рам	Теорема Де Рама : для компактного дифференциального многообразия цепной комплекс дифференциальных форм вычисляет вещественные группы (ко) гомологий.
1931	Хайнц Хопф	Вводит расслоение Хопфа , $S^{1}\to S^{3}\to S^{2}$.
1931–2	Освальд Веблен , Джей ХК Уайтхед	Диссертация Уайтхеда 1931 года « Представление проективных пространств» , написанная под руководством Веблена, дает внутренний и аксиоматический взгляд на многообразия как на хаусдорфовые пространства, подчиняющиеся определенным аксиомам. За ним последовала совместная книга « Основы дифференциальной геометрии» (1932). Концепция «карты» Пуанкаре, локальной системы координат, организована в атлас ; в этом случае к функциям перехода могут быть применены условия регулярности. Эта основополагающая точка зрения допускает ограничение псевдогруппы на функции перехода, например, для введения кусочно-линейных структур .
1932	Эдуард Чех	Чешские когомологии .
1933	Соломон Лефшец	Сингулярные гомологии топологических пространств.
1934	Марстон Морс	Теория Морса связывает действительные гомологии компактных дифференциальных многообразий с критическими точками функции Морса .
1935	Хасслер Уитни	Доказательство теоремы вложения , утверждающей, что гладкое многообразие размерности n может быть вложено в евклидово пространство размерности 2 n .
1941	Витольд Гуревич	Первая фундаментальная теорема гомологической алгебры: для короткой точной последовательности пространств существует связующий гомоморфизм такой, что длинная последовательность групп когомологий пространств точна.
1942	Лев Понтрягин	Опубликовав полную версию в 1947 году, Понтрягин основал новую теорию кобордизмов , в результате которой замкнутое многообразие, являющееся границей, имеет нулевые числа Штифеля-Уитни . По теореме Стокса классы кобордизмов подмногообразий инвариантны для интегрирования замкнутых дифференциальных форм ; введение алгебраических инвариантов открыло возможности для вычислений с отношением эквивалентности как чем-то внутренним.
1943	Вернер Гайсин	Последовательность Гайзина и гомоморфизм Гайзина .
1943	Норман Стинрод	Гомологии с локальными коэффициентами .
1944	Сэмюэл Эйленберг	«Современное» определение сингулярных гомологии и сингулярных когомологий.
1945	Бено Экманн	Определяет построение колец когомологий по Хайнца Хопфа работе . В случае многообразий существует несколько интерпретаций кольцевого произведения, включая клиновое произведение дифференциальных форм и чашечное произведение, представляющее пересекающиеся циклы.

1945 по 1960 год

Терминология : К этому периоду обычно предполагается, что многообразия являются многообразиями Веблена-Уайтхеда, то есть локально евклидовыми пространствами Хаусдорфа , но применение аксиом счетности также становилось стандартом. Веблен-Уайтхед не предполагал, как ранее Кнезер, что многообразия являются вторыми счетными . Термин «сепарабельное многообразие», обозначающий вторые счетные многообразия, сохранился до конца 1950-х годов.

Год	Авторы	Событие
1945	Сондерс Мак Лейн — Сэмюэл Эйленберг	Основы теории категорий : аксиомы категорий , функторы и естественные преобразования .
1945	Норман Стинрод — Сэмюэл Эйленберг	Аксиомы Эйленберга – Стинрода для гомологии и когомологии.
1945	Жан Лерэ	Основал теорию снопов . Для Лере пучок был отображением, ставящим в соответствие модуль или кольцо замкнутому подпространству топологического пространства. Первым примером был пучок, присваивающий замкнутому подпространству его p -ю группу когомологий.
1945	Жан Лерэ	Определяет когомологии пучка .
1946	Жан Лерэ	Изобретает спектральные последовательности — метод итеративной аппроксимации групп когомологий.
1948	Расписание семинаров	Пишет теорию снопов .
около 1949 г.	Норман Стинрод	Проблема Стинрода о представлении классов гомологии фундаментальными классами многообразий может быть решена с помощью псевдомногообразий (а позже сформулирована с помощью теории кобордизмов).
1950	Анри Картан	В заметках по теории пучков на семинаре Картана он определяет: пространство пучков (этальное пространство), носитель пучков аксиоматически, когомологии пучков с носителем. «Наиболее естественное доказательство двойственности Пуанкаре получается с помощью теории пучков».
1950	Сэмюэл Эйленберг – Джозеф А. Зильбер	Симплициальные множества как чисто алгебраическая модель топологических пространств с хорошим поведением.
1950	Чарльз Эресманн	Теорема Эресмана о слоении утверждает, что гладкое, собственное, сюръективное погружение между гладкими многообразиями является локально тривиальным расслоением.
1951	Анри Картан	Определение теории пучков , где пучок определяется с использованием открытых подмножеств (а не закрытых подмножеств) топологического пространства. Пучки связывают локальные и глобальные свойства топологических пространств.
1952	Рене Том	Изоморфизм Тома вводит кобордизм многообразий в область гомотопической теории .
1952	Эдвин Э. Мозес	Теорема Мойзе установила, что трехмерное компактное связное топологическое многообразие является PL-многообразием (ранее терминология «комбинаторное многообразие»), имеющим уникальную PL-структуру. В частности, оно треугольное. Теперь известно, что этот результат не распространяется дальше на более высокие измерения.
1956	Джон Милнор	Первые экзотические сферы были построены Милнором в измерении 7. $S^{3}$-связывается $S^{4}$. Он показал, что на 7-сфере имеется по крайней мере 7 дифференцируемых структур.
1960	John Milnor and Sergei Novikov	Кольцо классов кобордизмов стабильно комплексных многообразий является кольцом полиномов от бесконечного числа образующих положительных четных степеней.

1961 по 1970 год

Год	Авторы	Событие
1961	Стивен Смейл	Доказательство обобщенной гипотезы Пуанкаре в размерностях больше четырех.
1962	Стивен Смейл	Доказательство теоремы h -кобордизма в размерностях больше четырех, основанное на трюке Уитни .
1963	Мишель Кервер — Джон Милнор	Классификация экзотических сфер: моноид гладких структур на n -сфере представляет собой совокупность ориентированных гладких n -многообразий, гомеоморфных $S^{n}$, сведенная к диффеоморфизму, сохраняющему ориентацию, со связной суммой в качестве операции моноида. Для $n\neq 4$, этот моноид является группой и изоморфен группе $\Theta _{n}$ классов h -кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер, который конечен и абелев.
1965	Деннис Барден	Завершает классификацию односвязных компактных 5-многообразий , начатую Смейлом в 1962 году.
1967	Фридхельм Вальдхаузен	Определяет и классифицирует трехмерные графические многообразия .
1968	Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн	В размерности не менее пяти класс Кирби – Зибенмана является единственным препятствием для топологического многообразия, имеющего PL-структуру.
1969	Лоран К. Зибенманн	Пример двух гомеоморфных PL-многообразий, не являющихся кусочно-линейно гомеоморфными. Подход максимального атласа к структурам на многообразиях прояснил Hauptvermutung для топологического многообразия M как трихотомии. M может не иметь триангуляции, а значит, и кусочно-линейного максимального атласа; он может иметь уникальную структуру PL; или у него может быть более одного максимального атласа и, следовательно, более одной структуры PL. Статус гипотезы о том, что второй вариант всегда имеет место, прояснился в этот момент в форме того, что каждый из трех случаев может быть применим в зависимости от M . «Гипотеза комбинаторной триангуляции» утверждала, что первый случай не может иметь место для M компактного. Результат Кирби – Зибенмана развеял эту гипотезу. Пример Зибенмана показал, что возможен и третий случай.
1970	Джон Конвей	Теория мотков узлов: вычисление инвариантов узлов с помощью модулей мотков . Модули Skein могут быть основаны на квантовых инвариантах .

1971–1980

Год	Авторы	Событие
1974	Шиинг-Шен Черн — Джеймс Саймонс	Теория Черна – Саймонса : особая TQFT, описывающая инварианты узлов и многообразий, в то время только в 3D.
1978	Франсуа Байен – Моше Флато – Крис Фронсдал – Андре Лихнерович – Даниэль Штернхаймер	Квантование деформации , позже ставшее частью категориального квантования.

1981–1990

Год	Авторы	Событие
около 1983 года	Саймон Дональдсон	Саймон Дональдсон вводит самодуальные связи в теорию гладких 4-многообразий, совершая революцию в 4-мерной геометрии и связывая ее с математической физикой. Многие из его результатов были позже опубликованы в его совместной с Кронхаймером монографии в 1990 году. Подробнее см. в разделе « Теория Дональдсона» .
около 1983 года	Уильям Терстон	Уильям Терстон доказывает, что все 3-многообразия Хакена гиперболичны, что дает доказательство теоремы Терстона о гиперболизации, тем самым начиная революцию в изучении 3-многообразий. См. также разделы «Теорема гиперболизации» и «Гипотеза геометризации».
1984	Vladimir Bazhanov–Razumov Stroganov	Бажанова–Строганова, d -симплексное уравнение обобщающее уравнение Янга–Бакстера и уравнение Замолодчикова
около 1985 года	Эндрю Кассон	Эндрю Кассон вводит инвариант Кассона для гомологических 3-сфер, привнося совершенно новый набор идей в 3-мерную топологию и связывая геометрию 3-многообразий с геометрией пространств представления фундаментальной группы 2-многообразия. Это приводит к прямой связи с математической физикой. Дополнительную информацию см. в разделе «Инвариант Кассона» .
1986	Йоахим Ламбек — Фил Скотт	Так называемая Фундаментальная теорема топологии : секционный функтор Γ и ростковый функтор Λ устанавливают двойственное соединение между категорией предпучков и категорией расслоений (в одном и том же топологическом пространстве), которое ограничивается двойственной эквивалентностью категорий (или двойственность) между соответствующими полными подкатегориями пучков и этальных расслоений
1986	Питер Фрейд — Дэвид Йеттер	Создает (компактную плетеную) моноидальную категорию клубков.
1986	Владимир Дринфельд — Мичио Джимбо	Квантовые группы : Другими словами, квазитреугольные алгебры Хопфа . Дело в том, что категории представлений квантовых групп являются тензорными категориями с дополнительной структурой. Они используются, среди прочего, при построении квантовых инвариантов узлов и связей и многообразий низкой размерности.
1987	Владимир Тураев	Начинает квантовую топологию с использования квантовых групп и R-матриц для алгебраического объединения большинства известных полиномов узлов . Особенно важной была Воана Джонса и Эдварда Виттена работа над полиномом Джонса .
около 1988 года	Андреас Флоер	Андреас Флоер вводит инстантонную гомологию .
1988	Грэм Сигал	Эллиптические объекты : функтор, который представляет собой категоризированную версию векторного расслоения, оснащенную соединением. Это двумерный параллельный транспорт для строк.
1988	Грэм Сигал	Конформная теория поля : симметричный моноидальный функтор $Z\colon \operatorname {nCob} _{\mathbb {C} }\to \operatorname {Hilb}$ удовлетворение некоторых аксиом
1988	Эдвард Виттен	Топологическая квантовая теория поля ( TQFT ): моноидальный функтор. $Z\colon \operatorname {nCob} \to \operatorname {Hilb}$ удовлетворение некоторых аксиом
1988	Эдвард Виттен	Топологическая теория струн
1989	Эдвард Виттен	Понимание полинома Джонса с использованием теории Черна – Саймонса , ведущее к инвариантам для 3-многообразий.
1990	Николай Решетихин – Владимир Тураев – Эдвард Виттен	Инварианты Решетихина–Тураева–Виттена узлов из модулярных тензорных категорий представлений квантовых групп .

1991–2000

Год	Авторы	Событие
1991	Андре Жойял — Росс Стрит	Формализация струнных диаграмм Пенроуза для вычислений с помощью абстрактных тензоров в различных моноидальных категориях с дополнительной структурой. Исчисление теперь зависит от связи с топологией малой размерности .
1992	Владимир Тураев	Модульные тензорные категории . Специальные тензорные категории , возникающие при построении инвариантов узлов , при построении ТКПФ и КТП , как усечение (полупростое частное) категории представлений квантовой группы (в корнях из единицы), как категории представлений слабых алгебр Хопфа , как категории представительства РКФТ .
1992	Vladimir Turaev – Oleg Viro	Модели суммы состояний Тураева–Виро, основанные на сферических категориях (первые модели суммы состояний) и инвариантах суммы состояний Тураева–Виро для 3-многообразий.
1992	Владимир Тураев	Теневой мир ссылок: Тени ссылок дают теневые инварианты ссылок по суммам теневых состояний .
1993	Рут Лоуренс	Расширенные TQFT
1993	Дэвид Йеттер — Луис Крейн	Модели суммы состояний Крейна – Йеттера, основанные на ленточных категориях и инвариантах суммы состояний Крейна – Йеттера для 4-многообразий.
1993	Кенджи Фукая	A ∞ -категории и A ∞ -фунторы . A ∞ -категории также можно рассматривать как некоммутативные формальные dg-многообразия с замкнутой отмеченной подсхемой объектов.
1993	Джон Баррет — Брюс Вестбери	Сферические категории : моноидальные категории с двойственными категориями для диаграмм на сфере, а не на плоскости.
1993	Maxim Kontsevich	Инварианты Концевича для узлов (являются интегралами Фейнмана разложения возмущений для функционального интеграла Виттена ), определяемые интегралом Концевича. Это универсальные инварианты Васильева для узлов.
1993	Дэниел Фрид	Новый взгляд на TQFT с использованием модульных тензорных категорий , который объединяет 3 подхода к TQFT (модульные тензорные категории из интегралов по путям).
1994	Питер Кронхаймер , Томаш Мрувка	Кронхаймер и Мровка вводят идею «канонических классов» в когомологиях простых гладких 4-многообразий, которые гипотетически позволяют вычислять инварианты Дональдсона гладких 4-многообразий. Дополнительную информацию см. в разделе « Базовый класс Кронхаймера – Мровки» .
1994	Натан Зайберг и Эдвард Виттен	Натан Зайберг и Эдвард Виттен вводят новые инварианты для гладких ориентированных 4-многообразий. Как и Дональдсон, они основаны на математической физике, но с их инвариантами легче работать, чем с инвариантами Дональдсона. Дополнительную информацию см. в разделах «Инварианты Зайберга–Виттена» и «Теория Зайберга–Виттена» .
1994	Maxim Kontsevich	Формулирует гипотезу гомологической зеркальной симметрии : X — компактное симплектическое многообразие с первым классом Черна c 1 ( X ) = 0 и Y — компактное многообразие Калаби–Яу — являются зеркальными парами тогда и только тогда, когда D (Fuk X ) (производная категория триангулированного Фукая категория X , составленная из лагранжевых циклов с локальными системами), эквивалентна подкатегории D б (Coh Y ) (ограниченная производная категория когерентных пучков на Y ).
1994	Луис Крейн — Игорь Френкель	Категории Хопфа четырехмерных КТПФ и построение по ним . Идентифицирует k -кратные моноидальные n -категории . Она отражает таблицу гомотопических групп сфер .
1995	Джон Баэз – Джеймс Долан	Нарисуйте программу, в которой n -мерные TQFT описываются как представления n-категорий .
1995	Джон Баэз – Джеймс Долан	Предлагает n -мерное деформационное квантование .
1995	Джон Баэз – Джеймс Долан	Гипотеза клубка : n -категория обрамленных n -клубков в $n+k$ размеры $(n+k)$-эквивалентен свободной слабой k -кратно моноидальной n -категории с двойственными на одном объекте.
1995	Джон Баэз – Джеймс Долан	Гипотеза кобордизма (гипотеза I расширенной TQFT): n -мерные расширенные TQFT которой -категория, n являются представлениями nCob, является свободной стабильной слабой n- категорией с двойниками на одном объекте.
1995	Джон Баэз – Джеймс Долан	Гипотеза II расширенной TQFT: n -мерная унитарная расширенная TQFT представляет собой слабый n -функтор, сохраняющий все уровни двойственности, от свободной стабильной слабой n -категории с двойственными на одном объекте до nHilb.
1995	Валентин Лычагин	Категориальное квантование
1997	Maxim Kontsevich	формальной Теорема квантования деформации : каждое многообразие Пуассона допускает дифференцируемое звездное произведение , и они классифицируются с точностью до эквивалентности с помощью формальных деформаций структуры Пуассона.
1998	Ричард Томас	Томас, ученик Саймона Дональдсона , вводит инварианты Дональдсона–Томаса, которые представляют собой системы числовых инвариантов комплексно ориентированных 3-многообразий X , аналогичные инвариантам Дональдсона в теории 4-многообразий.
1998	Maxim Kontsevich	Категории Калаби – Яу : линейная категория с картой следов для каждого объекта категории и связанным с ней симметричным (по отношению к объектам) невырожденным паром к карте следов. Если X — гладкое проективное многообразие Калаби–Яу размерности d , то $D^{b}(\operatorname {Coh} (X))$является унитарной A ∞ -категорией Калаби–Яу размерности Калаби–Яу d . Категория Калаби–Яу с одним объектом является алгеброй Фробениуса .
1999	Йозеф Бернштейн – Игорь Френкель – Михаил Хованов	Категории Темперли – Либа : объекты нумеруются неотрицательными целыми числами. Множество гомоморфизмов объекта n в объект m представляет собой свободный R -модуль с базисом над кольцом $R$, где $R$ задается изотопическими классами систем $(n|+|m|)/2$простые попарно непересекающиеся дуги внутри горизонтальной полосы на плоскости, попарно соединяющиеся | п | точки внизу и | м | точки сверху в некотором порядке. Морфизмы составляются путем объединения их диаграмм. Категории Темперли–Либа представляют собой классифицированные алгебры Темперли–Либа .
1999	Мойра Час – Деннис Салливан	Строит топологию струн по когомологиям. Это теория струн на общих топологических многообразиях.
1999	Mikhail Khovanov	Гомологии Хованова : теория гомологии узлов, в которой размерности групп гомологии являются коэффициентами полинома Джонса узла.
1999	Владимир Тураев	Гомотопическая квантовая теория поля ( HQFT )
1999	Рональд Браун – Георгий Джанелидзе	Двумерная теория Галуа.
2000	Яков Элиашберг – Александр Гивенталь – Хельмут Хофер	Симплектическая теория поля SFT : функтор $Z$ от геометрической категории оснащенных гамильтоновых структур и оснащенных кобордизмов между ними к алгебраической категории некоторых дифференциальных D-модулей и интегральных операторов Фурье между ними и удовлетворяющих некоторым аксиомам.

2001 – настоящее время

Год	Авторы	Событие
2003	Григорий Перельман	Доказательство Перельмана гипотезы Пуанкаре в размерности 3 с использованием потока Риччи . Доказательство более общее.
2004	Стивен Штольц – Питер Тейхнер	Определение nD квантовой теории поля степени p, параметризованной многообразием.
2004	Стивен Штольц – Питер Тейхнер	Программа для построения топологических модулярных форм как пространства модулей суперсимметричных евклидовых теорий поля. Они выдвинули гипотезу о картине (аналогии) Штольца–Тейхнера между классифицирующими пространствами теорий когомологий в хроматической фильтрации (когомологии де Рама, K-теория, K-теории Моравы) и пространствами модулей суперсимметричных КТП, параметризованных многообразием (доказано в 0D и 1D ).
2005	Петер Ожват - Золтан Сабо	Гомология узла Флоера
2008	Брюс Бартлетт	Примат точечной гипотезы: n -мерная унитарная расширенная КТПФ полностью описывается n -гильбертовым пространством, которое оно присваивает точке. Это переформулировка гипотезы кобордизма .
2008	Майкл Хопкинс — Джейкоб Лурье	Эскиз доказательства гипотезы клубка Баэза-Долана Баэза-Долана и гипотезы кобордизма , которые классифицируют расширенную TQFT во всех измерениях.
2016	Чиприан Манолеску	Опровержение «гипотезы триангуляции» с доказательством того, что в размерности не менее пяти существует компактное топологическое многообразие, не гомеоморфное симплициальному комплексу.

См. также

• дифференцируемый стек
• гомология факторизации
• Теория Кураниши
• Гомологии Флоера
• Глоссарий алгебраической топологии
• Хронология бордизма