Топологическая квантовая теория поля

В калибровочной теории и математической физике топологическая квантовая теория поля (или топологическая теория поля или TQFT ) представляет собой квантовую теорию поля , которая вычисляет топологические инварианты .

Хотя TQFT были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, поскольку связаны, среди прочего, с теорией узлов и теорией четырехмногообразий в алгебраической топологии , а также с теорией пространств модулей в алгебраической геометрии . Дональдсон , Джонс , Виттен и Концевич получили медали Филдса за математические работы, связанные с топологической теорией поля.

В физике конденсированного состояния топологические квантовые теории поля представляют собой низкоэнергетические эффективные теории топологически упорядоченных состояний, таких как дробные квантовые состояния Холла, конденсированные состояния струнной сети и другие сильно коррелированные квантовые жидкие состояния.

Обзор [ править ]

В топологической теории поля корреляционные функции не зависят от метрики времени пространства- . Это означает, что теория нечувствительна к изменениям формы пространства-времени; если пространство-время искажается или сжимается, корреляционные функции не меняются. Следовательно, они являются топологическими инвариантами.

Топологические теории поля не очень интересны в плоском пространстве-времени Минковского, используемом в физике элементарных частиц. Пространство Минковского можно сжать до точки , поэтому ТКТФ, примененная к пространству Минковского, приводит к тривиальным топологическим инвариантам. Следовательно, ТКТФ обычно применяются к искривленным пространствам-временям, таким как, например, римановы поверхности . Большинство известных топологических теорий поля определены в пространствах-временях размерности меньше пяти. Кажется, что существует несколько теорий более высоких измерений, но они не очень хорошо изучены. ^{[ нужна ссылка ]}.

Считается, что квантовая гравитация не зависит от фона (в некотором подходящем смысле), а TQFT предоставляют примеры независимых от фона квантовых теорий поля. Это побудило к постоянным теоретическим исследованиям этого класса моделей.

(Предупреждение: часто говорят, что TQFT имеют лишь конечное число степеней свободы. Это не фундаментальное свойство. Это верно в большинстве примеров, которые изучают физики и математики, но это не обязательно. Топологическая сигма-модель нацелена на бесконечномерное проективное пространство, и если бы такую вещь можно было определить, она имела бы счетное бесконечное число степеней свободы.)

Конкретные модели [ править ]

Известные топологические теории поля делятся на два общих класса: ТКПФ типа Шварца и ТКТП типа Виттена. ТКТВ Виттена также иногда называют когомологическими теориями поля. См. ( Шварц 2000 ).

TQFT типа Шварца [ править ]

В TQFT типа Шварца корреляционные функции или статистические суммы системы вычисляются с помощью интеграла по пути от метрически независимых функционалов действия. Например, в модели БФ пространство-время представляет собой двумерное многообразие M, наблюдаемые строятся из двухформ F, вспомогательного скаляра B и их производных. Действие (которое определяет интеграл по путям) равно

S=\int \limits _{M}BF

Метрика пространства-времени нигде в теории не встречается, поэтому теория явно топологически инвариантна. Первый пример появился в 1977 г. и принадлежит А. Шварцу ; его функционал действия:

S=\int \limits _{M}A\wedge dA.

Другой, более известный пример, — теория Черна-Саймонса , которую можно применить к инвариантам узлов . В общем, статистические суммы зависят от метрики, но приведенные выше примеры не зависят от метрики.

TQFT типа Виттена [ править ]

Первый пример TQFT виттеновского типа появился в статье Виттена в 1988 году ( Witten 1988a ), т.е. топологическая теория Янга-Миллса в четырех измерениях. Хотя его функционал действия содержит метрику пространства-времени g _αβ , после топологического поворота он оказывается метрически независимым. Независимость тензора энергии-импульса T ^аб системы от метрики зависит от того, ли BRST-оператор замкнут . Следуя примеру Виттена, в теории струн можно найти множество других примеров .

TQFT виттеновского типа возникают при выполнении следующих условий:

Действие $S$ TQFT имеет симметрию, т.е. если $\delta$ обозначает преобразование симметрии (например, производную Ли ), тогда $\delta S=0$ держит.
Преобразование симметрии является точным , т.е. $\delta ^{2}=0$
Существуют существующие наблюдаемые $O_{1},\dots ,O_{n}$ которые удовлетворяют $\delta O_{i}=0$ для всех $i\in \{1,\dots ,n\}$ .
Тензор энергии-напряжения (или аналогичные физические величины) имеет вид $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ для произвольного тензора $G^{\alpha \beta }$ .

В качестве примера ( Linker 2015 ): Учитывая поле с двумя формами $B$ с дифференциальным оператором $\delta$ который удовлетворяет $\delta ^{2}=0$ , то действие $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ имеет симметрию, если $\delta B\wedge \delta B=0$ с

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

.

Далее имеет место (при условии, что $\delta$ не зависит от $B$ и действует аналогично функциональной производной ):

{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=-2\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B

.

Выражение ${\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S$ пропорционально $\delta G$ с другой 2-формой $G$ .

Теперь любые средние значения наблюдаемых $\left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ для соответствующей меры Хаара $\mu$ независимы от «геометрического» поля $B$ и поэтому топологичны:

{\frac {\delta }{\delta B}}\left\langle O_{i}\right\rangle =\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta \left(\int d\mu O_{i}Ge^{iS}\right)=0

.

Третье равенство использует тот факт, что $\delta O_{i}=\delta S=0$ и инвариантность меры Хаара относительно преобразований симметрии. С $\int d\mu O_{i}Ge^{iS}$ является всего лишь числом, его производная Ли обращается в нуль.

Математические формулировки [ править ]

Оригинальные аксиомы Сигала – Атьи

Атья предложил набор аксиом топологической квантовой теории поля, вдохновленный предложенными Сигалом аксиомами конформной теории поля (впоследствии идея Сигала была резюмирована в Сигале (2001) ), а также геометрическим смыслом суперсимметрии Виттена в Виттене (1982) . Аксиомы Атьи строятся путем склеивания границы с помощью дифференцируемого (топологического или непрерывного) преобразования, а аксиомы Сигала предназначены для конформных преобразований. Эти аксиомы оказались относительно полезными для математической обработки КТП типа Шварца, хотя неясно, отражают ли они всю структуру КТП типа Виттена. что TQFT является функтором из определенной категории кобордизмов Основная идея состоит в том , в категорию векторных пространств .

На самом деле существует два разных набора аксиом, которые можно было бы с полным основанием назвать аксиомами Атьи. Эти аксиомы в основном различаются тем, применимы ли они к TQFT, определенной на одном фиксированном n -мерном римановом/лоренцевом пространстве-времени M , или к TQFT, определенному на всех n -мерных пространствах-временях одновременно.

Пусть Λ — коммутативное кольцо с 1 (почти для всех реальных целей мы будем иметь Λ = Z , R или C ). Первоначально Атья предложил аксиомы топологической квантовой теории поля (ТКТП) в размерности d, определенной над основным кольцом Λ, следующим образом:

Конечно порожденный Λ-модуль Z (Σ), ассоциированный с каждым ориентированным замкнутым гладким d-мерным многообразием Σ (соответствующий аксиоме гомотопии ),
Элемент Z ( M ) ∈ Z ( ∂M ), ассоциированный с каждым ориентированным гладким ( d + 1)-мерным многообразием (с краем) M (соответствующим аддитивной аксиоме).

Эти данные подчиняются следующим аксиомам (4 и 5 были добавлены Атьей):

Z функториален M относительно сохраняющих ориентацию Σ и диффеоморфизмов ,
Z является инволютивным , т.е. Z (Σ*) = Z (Σ)*, где Σ* — это Σ с противоположной ориентацией, а Z (Σ)* обозначает двойственный модуль,
Z мультипликативен .
С ( $\emptyset$ ) = Λ для d-мерного пустого многообразия и Z ( $\emptyset$ ) = 1 для ( d + 1)-мерного пустого многообразия.
Z ( M* ) = Z ( M ) ( эрмитова аксиома). Если $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ так что Z ( M ) можно рассматривать как линейное преобразование между эрмитовыми векторными пространствами, то это эквивалентно тому, что Z ( M* ) является сопряженным к Z ( M ).

Замечание. Если для замкнутого многообразия M мы рассматриваем Z ( M ) как числовой инвариант, то для многообразия с краем мы должны думать о Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) как «относительном» инварианте. Пусть f : Σ → Σ — диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию, и отождествляем противоположные концы Σ × I с помощью f . Это дает многообразие Σ _f, и из наших аксиом следует, что

Z(\Sigma _{f})=\operatorname {Trace} \ \Sigma (f)

где Σ( f ) — индуцированный автоморфизм Z (Σ).

Замечание. Для многообразия M с краем Σ всегда можно образовать дубль $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ которое представляет собой замкнутое многообразие. Пятая аксиома показывает, что

Z\left(M\cup _{\Sigma }M^{*}\right)=|Z(M)|^{2}

где справа мы вычисляем норму в эрмитовой (возможно, неопределенной) метрике.

Отношение к физике [ править ]

Физически (2) + (4) связаны с релятивистской инвариантностью, а (3) + (5) указывают на квантовую природу теории.

Σ предназначен для обозначения физического пространства (обычно d = 3 для стандартной физики), а дополнительное измерение в Σ × I представляет собой «мнимое» время. Пространство Z (Σ) является гильбертовым пространством квантовой теории, а физическая теория с гамильтонианом H будет иметь оператор эволюции во времени e ^этоХ или оператор «мнимого времени» e ^−tH. Основной особенностью топологических КТП является то, что H = 0, что означает отсутствие реальной динамики или распространения вдоль цилиндра Σ × I . Однако может иметь место нетривиальное «распространение» (или туннелирование амплитуд) от Σ ₀ до Σ ₁ через промежуточное многообразие M с $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ ; это отражает топологию M .

Если ∂ M = Σ, то выделенный вектор Z ( M ) в гильбертовом пространстве Z (Σ) рассматривается как вакуумное состояние, определенное M . Для замкнутого многообразия M число Z ( M ) является вакуумным математическим ожиданием . По аналогии со статистической механикой ее еще называют статистической суммой .

Причина, по которой теория с нулевым гамильтонианом может быть разумно сформулирована, кроется в подходе Фейнмана к КТП на основе интеграла по путям . Это включает в себя релятивистскую инвариантность (которая применяется к общему ( d + 1)-мерному «пространству-времени»), и теория формально определяется подходящим лагранжианом — функционалом классических полей теории. Лагранжиан, который включает только первые производные по времени, формально приводит к нулевому гамильтониану, но сам лагранжиан может иметь нетривиальные особенности, связанные с топологией M .

Примеры Атьи [ править ]

В 1988 году М. Атья опубликовал статью, в которой описал множество новых примеров топологической квантовой теории поля, которые рассматривались в то время ( Атья 1988а ) ( Атья 1988b ). Он содержит некоторые новые топологические инварианты, а также некоторые новые идеи: инвариант Кассона , инвариант Дональдсона , теория Громова , гомологии Флоера и теория Джонса-Виттена .

д = 0 [ править ]

В этом случае Σ состоит из конечного числа точек. Одной точке мы сопоставляем векторное пространство V = Z (точка), а n -точкам - n -кратное тензорное произведение: V ^{⊗ n} знак равно V ⊗ … ⊗ V . Симметричная группа Sn _{действует} на V ^{⊗ n}. Стандартный способ получить квантовое гильбертово пространство — начать с классического симплектического многообразия (или фазового пространства ), а затем проквантовать его. Расширим Sn _группы до компактной группы Ли G которых симплектическая структура возникает из линейного расслоения , тогда квантование приводит к неприводимым представлениям V G. и рассмотрим «интегрируемые» орбиты , для Это физическая интерпретация теоремы Бореля–Вейля или теоремы Бореля–Вейля–Ботта . Лагранжианом этих теорий является классическое действие ( голономия линейного расслоения). Таким образом, топологические КТП с d = 0 естественным образом относятся к классической теории представлений групп Ли и группы симметрии .

д = 1 [ править ]

Нам следует рассмотреть периодические граничные условия, заданные замкнутыми петлями в компактном симплектическом многообразии X . Наряду с голономией Виттена (1982) такие петли, которые используются в случае d = 0 в качестве лагранжиана, затем используются для модификации гамильтониана. Для замкнутой поверхности M инвариантом Z ( M ) теории является число псевдоголоморфных отображений f : M → X в смысле Громова (они являются обычными голоморфными отображениями, если X — кэлерово многообразие ). . если существуют «модули», то мы должны зафиксировать дополнительные данные о М. Если это число становится бесконечным, т. е Это можно сделать, выбрав несколько точек Pi _, а затем просмотрев голоморфные отображения f : M → X , где f ( P _i ) ограничена тем, что лежит на фиксированной гиперплоскости. Виттен (1988b) записал соответствующий лагранжиан для этой теории. Флоер дал строгую трактовку, т.е. гомологию Флоера Виттена теории Морса , основанную на идеях ; для случая, когда граничные условия действуют на интервале, а не являются периодическими, начальная и конечная точки пути лежат на двух фиксированных лагранжевых подмногообразиях . Эта теория была развита как инвариантов Громова – Виттена теория .

Другой пример — голоморфная конформная теория поля . В то время это, возможно, не считалось строго топологической квантовой теорией поля, поскольку гильбертовы пространства бесконечномерны. Конформные теории поля также связаны с компактной группой Ли G , в которой классическая фаза состоит из центрального расширения группы петель (LG) . Квантование их приводит к гильбертовым пространствам теории неприводимых (проективных) представлений LG . Группа Diff ₊ ( S ¹) теперь заменяет симметричную группу и играет важную роль. В результате статистическая сумма в таких теориях зависит от сложной структуры и не является чисто топологической.

д = 2 [ править ]

Теория Джонса-Виттена является наиболее важной теорией в этом случае. Здесь классическое фазовое пространство, ассоциированное с замкнутой поверхностью Σ, является пространством модулей плоского G -расслоения над Σ. Лагранжиан является целым кратным функции Черна – Саймонса -связности G на 3-многообразии (которое должно быть «оснащено»). Целочисленное кратное k , называемое уровнем, является параметром теории, а k → ∞ дает классический предел. Эту теорию можно естественным образом объединить с теорией d = 0, чтобы создать «относительную» теорию. Детали были описаны Виттеном, который показывает, что статистическая сумма для (оформленной) ссылки в 3-сфере представляет собой просто значение полинома Джонса для подходящего корня из единицы. Теорию можно определить по соответствующему круговому полю , см. Atiyah (1988). . Рассматривая риманову поверхность с границей, мы можем связать ее с конформной теорией d = 1 вместо того, чтобы связывать d теорию = 2 с d = 0. Это развилось в теорию Джонса-Виттена и привело к открытию глубоких связей между теория узлов и квантовая теория поля.

д = 3 [ править ]

Дональдсон определил целочисленный инвариант гладких 4-многообразий, используя пространства модулей SU(2)-инстантонов. Эти инварианты являются полиномами второй гомологии. Таким образом, 4-многообразия должны иметь дополнительные данные, состоящие из симметрической алгебры H ₂ . Виттен (1988a) разработал суперсимметричный лагранжиан, который формально воспроизводит теорию Дональдсона. Формулу Виттена можно понимать как бесконечномерный аналог теоремы Гаусса–Бонне . Позднее эта теория получила дальнейшее развитие и стала калибровочной теорией Зайберга – Виттена , которая сводит SU (2) к U (1) в N = 2, d калибровочной теории = 4. Гамильтонова версия теории была развита Флоером в терминах пространства связностей трехмерного многообразия. Флоер использует функцию Черна-Саймонса , которая является лагранжианом теории Джонса-Виттена, для модификации гамильтониана. Подробности см. в Atiyah (1988) . Виттен (1988a) также показал, как можно объединить теории d = 3 и d = 1: это совершенно аналогично взаимодействию между d = 2 и d = 0 в теории Джонса – Виттена.

Теперь топологическая теория поля рассматривается как функтор не в фиксированном измерении, а во всех измерениях одновременно.

Случай фиксированного пространства-времени [ править ]

Пусть Bord _M — категория, морфизмы которой являются n -мерными подмногообразиями M , а объекты — компоненты связности границ таких подмногообразий. Считайте два морфизма эквивалентными, если они гомотопны через подмногообразия M и таким образом образуют фактор-категорию hBord _M : объекты в hBord _M являются объектами Bord _M , а морфизмы hBord _M являются классами гомотопической эквивалентности морфизмов в Bord _M. . ТКПФ на M — это симметричный моноидальный функтор из hBord _M в категорию векторных пространств.

Обратите внимание, что кобордизмы, если их границы совпадают, могут быть сшиты вместе, образуя новый бордизм. Это закон композиции морфизмов категории кобордизмов. Поскольку для сохранения композиции необходимы функторы, это говорит о том, что линейное отображение, соответствующее сшитому морфизму, представляет собой просто композицию линейного отображения для каждой части.

Существует эквивалентность категорий между категорией двумерных топологических квантовых теорий поля и категорией коммутативных алгебр Фробениуса .

Все n -мерные пространства-времени одновременно [ править ]

Чтобы рассмотреть все пространства-времени сразу, необходимо заменить hBord _M на более крупную категорию. Итак, пусть Bord _n — категория бордизмов, т. е. категория, морфизмами которой являются n -мерные многообразия с краем, а объектами — компоненты связности границ n-мерных многообразий. (Обратите внимание, что любое ( n −1)-мерное многообразие может появиться как объект в Bord _n .) Как и выше, считайте два морфизма в Bord _n эквивалентными, если они гомотопны, и образуют фактор-категорию hBord _n . Bord _n — моноидальная категория относительно операции, переводящей два бордизма в бордизм, полученный из их непересекающегося объединения. Тогда TQFT на n -мерных многообразиях является функтором из hBord _n в категорию векторных пространств, который отображает дизъюнктные объединения бордизмов в их тензорное произведение.

Например, для (1 + 1)-мерных бордизмов (2-мерных бордизмов между одномерными многообразиями) отображение, связанное с парой штанов, дает произведение или копроизведение, в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты, что является коммутативным. или кокоммутативно, тогда как отображение, связанное с диском, дает единицу (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки граничных компонентов, и, таким образом, (1 + 1)-мерные TQFT соответствуют алгебрам Фробениуса .

Более того, мы можем одновременно рассматривать 4-мерные, 3-мерные и 2-мерные многообразия, связанные указанными выше бордизмами, и получать из них обширные и важные примеры.

Разработка позднее [ править ]

Глядя на развитие топологической квантовой теории поля, мы должны рассмотреть ее многочисленные приложения к калибровочной теории Зайберга-Виттена , топологической теории струн , взаимосвязи между теорией узлов и квантовой теорией поля, а также инвариантам квантовых узлов . Более того, он породил темы, представляющие большой интерес как в математике, так и в физике. Также в последнее время важный интерес представляют нелокальные операторы в TQFT ( Гуков и Капустин (2013) ). Если теорию струн рассматривать как фундаментальную, то нелокальные TQFT можно рассматривать как нефизические модели, обеспечивающие эффективное в вычислительном отношении приближение к локальной теории струн.

TQFT типа Виттена динамические и системы

Стохастические (частные) дифференциальные уравнения (СДУ) являются основой для моделей всего в природе, превышающей масштаб квантового вырождения и когерентности, и, по сути, представляют собой ТКТВ Виттеновского типа. Все СДУ обладают топологической или БРСТ-суперсимметрией . $\delta$ , а в операторном представлении стохастической динамики – это внешняя производная , коммутативная с оператором стохастической эволюции. Эта суперсимметрия сохраняет непрерывность фазового пространства непрерывными потоками, а явление суперсимметричного спонтанного разрушения глобальным несуперсимметричным основным состоянием охватывает такие устоявшиеся физические концепции, как хаос , турбулентность , 1/f и потрескивающие шумы, самоорганизованная критичность. и т. д. Топологический сектор теории для любого СДУ можно признать ТКПФ виттеновского типа.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Атья, Майкл (1988a). «Новые инварианты трехмерных и четырехмерных многообразий» . Математическое наследие Германа Вейля . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 48. Американское математическое общество. стр. 285–299 . дои : 10.1090/pspum/048/974342 . ISBN 9780821814826 .
Атья, Майкл (1988b). «Топологические квантовые теории поля» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 68 (68): 175–186. дои : 10.1007/BF02698547 . МР 1001453 . S2CID 121647908 .
Гуков, Сергей; Капустин, Антон (2013). «Топологическая квантовая теория поля, нелокальные операторы и фазы с щелями калибровочных теорий». arXiv : 1307.4793 [ шестнадцатый ].
Линкер, Патрик (2015). «Топологическая теория дипольного поля» (PDF) . Веялка . 2 : e144311.19292. дои : 10.15200/winn.144311.19292 .
Лурье, Джейкоб (2009). «О классификации топологических теорий поля». arXiv : 0905.0465 [ math.CT ].
Шварц, Альберт (2000). «Топологические квантовые теории поля». arXiv : hep-th/0011260 .
Сигал, Грэм (2001). «Топологические структуры в теории струн». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А: Математические, физические и технические науки . 359 (1784): 1389–1398. Бибкод : 2001RSPTA.359.1389S . дои : 10.1098/rsta.2001.0841 . S2CID 120834154 .
Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (4): 661–692. дои : 10.4310/jdg/1214437492 .
Виттен, Эдвард (1988a). «Топологическая квантовая теория поля» . Связь в математической физике . 117 (3): 353–386. Бибкод : 1988CMaPh.117..353W . дои : 10.1007/BF01223371 . МР 0953828 . S2CID 43230714 .
Виттен, Эдвард (1988b). «Топологические сигма-модели» . Связь в математической физике . 118 (3): 411–449. Бибкод : 1988CMaPh.118..411W . дои : 10.1007/bf01466725 . S2CID 34042140 .