Гипотеза кобордизма

В математике гипотеза кобордизма , предложенная Джоном К. Баэзом и Джеймсом Доланом, ^[1] касается классификации расширенных топологических квантовых теорий поля (TQFT). В 2008 году Джейкоб Лурье изложил доказательство гипотезы кобордизма, хотя по состоянию на 2022 год детали его подхода еще не появлялись в литературе. ^[2]^[3]^[4] В 2021 году Дэниел Грейди и Дмитрий Павлов заявили о полном доказательстве гипотезы кобордизмов, а также об обобщении ее на бордизмы с произвольными геометрическими структурами. ^[4]

Формулировка [ править ]

Для симметричного моноида $(\infty ,n)$ -категория ${\mathcal {C}}$ которое полностью дуализуемо и каждое $k$ -морфизм которого присоединен, при этом $1\leq k\leq n-1$ , существует биекция между ${\mathcal {C}}$ -значные симметричные моноидальные функторы категории кобордизмов и объекты ${\mathcal {C}}$ .

Мотивация [ править ]

Симметричные моноидальные функторы из категории кобордизмов соответствуют топологическим квантовым теориям поля . Гипотеза кобордизма для топологических квантовых теорий поля является аналогом аксиом Эйленберга – Стинрода для теорий гомологии. Аксиомы Эйленберга-Стинрода утверждают, что теория гомологии однозначно определяется ее значением для точки, поэтому аналогично тому, что утверждает гипотеза кобордизма, заключается в том, что топологическая квантовая теория поля однозначно определяется ее значением для точки. Другими словами, биекция между ${\mathcal {C}}$ -значные симметричные моноидальные функторы и объекты ${\mathcal {C}}$ однозначно определяется своим значением для точки.

См. также [ править ]

Кобордизм

Ссылки [ править ]

^ Баэз, Джон К.; Долан, Джеймс (1995). «Высшая размерная алгебра и топологическая квантовая теория поля». Журнал математической физики . 36 (11): 6073–6105. arXiv : q-alg/9503002 . Бибкод : 1995JMP....36.6073B . дои : 10.1063/1.531236 . ISSN 0022-2488 . S2CID 14908618 .
^ Хишам Сати; Урс Шрайбер (2011). Математические основы квантовой теории поля и теории пертурбативных струн . Американское математическое соц. п. 18. ISBN 978-0-8218-5195-1 .
^ Айяла, Дэвид; Фрэнсис, Джон (05 мая 2017 г.). «Гипотеза кобордизма». arXiv : 1705.02240 [ math.AT ].
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Грейди, Дэниел; Павлов, Дмитрий (01 ноября 2021 г.). «Гипотеза геометрического кобордизма». arXiv : 2111.01095 [ math.AT ].