Скалярная хромодинамика

В теории поля квантовой скалярная хромодинамика , также известная как скалярная квантовая хромодинамика или скалярная КХД, представляет собой калибровочную теорию, состоящую из калибровочного поля, связанного со скалярным полем. Эта теория используется экспериментально для моделирования сектора Хиггса Стандартной модели .

Оно возникает в результате связи скалярного поля с калибровочными полями. Скалярные поля используются для моделирования определенных частиц в физике элементарных частиц; наиболее важным примером является бозон Хиггса . Калибровочные поля используются для моделирования сил в физике элементарных частиц: они являются носителями силы. Применительно к сектору Хиггса это калибровочные поля, возникающие в электрослабой теории, описываемой теорией Глэшоу – Вайнберга – Салама .

Содержание материи и лагранжиан

Содержание вопроса

В этой статье обсуждается теория плоского пространства-времени. $\mathbb {R} ^{1,3}$, широко известное как пространство Минковского .

Модель состоит из комплексного векторного скалярного поля. $\phi$ минимально связан с калибровочным полем $A_{\mu }$.

Калибровочная группа теории является группой Ли. $G$. Обычно это ${\text{SU}}(N)$ для некоторых $N$, хотя многие детали сохраняются, даже если мы не исправляем конкретно $G$.

Скалярное поле можно рассматривать как функцию $\phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow V$, где $(V,\rho ,G)$ данные представления это $G$. Затем $V$ является векторным пространством. «Скаляр» относится к тому, как $\phi$ преобразуется (тривиально) под действием группы Лоренца , несмотря на $\phi$ векторное значение. Для конкретности представление часто выбирается в качестве фундаментального представления . Для ${\text{SU}}(N)$, это фундаментальное представление $\mathbb {C} ^{N}$. Другое распространенное представление — присоединенное представление . В этом представлении изменение приведенного ниже лагранжиана для нахождения уравнений движения дает уравнение Янга-Миллса-Хиггса .

Каждая компонента калибровочного поля является функцией $A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ где ${\mathfrak {g}}$ является Ли алгеброй $G$ из соответствия группа Ли–алгебра Ли . С геометрической точки зрения, $A_{\mu }$ являются компонентами главной связи при глобальном выборе тривиализации (что может быть сделано благодаря тому, что теория находится в плоском пространстве-времени).

лагранжиан

Плотность лагранжиана возникает в результате минимального связывания лагранжиана Клейна – Гордона (с потенциалом) с лагранжианом Янга – Миллса . Здесь скалярное поле $\phi$ находится в фундаментальном представлении ${\text{SU}}(N)$:

Скалярная плотность лагранжиана КХД

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+(D_{\mu }\phi )^{\dagger }D^{\mu }\phi -V(\phi )$

где

• $F_{\mu \nu }$ – напряженность калибровочного поля, определяемая как $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }]$. В геометрии это форма кривизны .
• $D_{\mu }\phi$ является ковариантной производной $\phi$, определяемый как $D_{\mu }\phi =\partial _{\mu }\phi -ig\rho (A_{\mu })\phi .$
• $g$ – константа связи.
• $V(\phi )$ это потенциал.
• ${\text{tr}}$ является инвариантной билинейной формой на ${\mathfrak {g}}$, например, форма Убийства . — типичное злоупотребление обозначениями. Обозначать это ${\text{tr}}$ поскольку форма часто возникает как след в некотором представлении ${\mathfrak {g}}$.

Это напрямую обобщается на произвольную калибровочную группу. $G$, где $\phi$ принимает значения в произвольном представлении $\rho$ оснащенный инвариантным внутренним произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, заменив $(D_{\mu }\phi )^{\dagger }D^{\mu }\phi \mapsto \langle D_{\mu }\phi ,D^{\mu }\phi \rangle$.

Калибровочная инвариантность

Модель инвариантна относительно калибровочных преобразований, которые на уровне группы являются функцией $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow G$, а на уровне алгебры – функция $\alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}$.

На уровне группы преобразования полей

$\phi (x)\mapsto U(x)\phi (x)$

$A_{\mu }(x)\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }U)U^{-1}.$

С геометрической точки зрения, $U(x)$ это глобальное изменение тривиализации. Вот почему неправильно называть калибровочную симметрию симметрией : на самом деле это избыточность в описании системы.

Искривленное пространство-время

Теория допускает обобщение на искривленное пространство-время. $M$, но это требует более тонких определений для многих объектов, фигурирующих в теории. Например, скалярное поле следует рассматривать как сечение ассоциированного векторного расслоения со слоем $V$. Это по-прежнему верно для плоского пространства-времени, но плоскостность базового пространства позволяет рассматривать сечение как функцию. $M\rightarrow V$, что концептуально проще.

Механизм Хиггса

Если потенциал минимизирован при ненулевом значении $\phi$Эта модель демонстрирует механизм Хиггса . Фактически бозон Хиггса Стандартной модели моделируется этой теорией с выбором $G={\text{SU}}(2)$; Бозон Хиггса также связан с электромагнетизмом.

Примеры

Конкретно выбирая потенциал $V$, некоторые знакомые теории могут быть восстановлены.

принимая $V(\phi )=M^{2}\phi ^{\dagger }\phi$ дает Янга – Миллса, минимально связанного с полем Клейна – Гордона с массой $M$.

принимая $V(\phi )=\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}-\mu _{H}^{2}\phi ^{\dagger }\phi$ дает потенциал бозона Хиггса в Стандартной модели.

См. также

• Скалярная электродинамика
• Квантовая хромодинамика