Модель Солера

Модель Солера представляет собой квантовой теории поля модель , в которой фермионы Дирака взаимодействуют посредством четырех фермионных взаимодействий в трех пространственных и одном временном измерениях. Его представил в 1938 году Дмитрий Иваненко. и повторно представлен и исследован в 1970 году Марио Солером. как игрушечную модель самодействующего электрона .

Эта модель описывается лагранжевой плотностью

${\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{2}$

где $g$ — константа связи , $\partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$ в обозначениях Фейнмана с косой чертой , ${\overline {\psi }}=\psi ^{*}\gamma ^{0}$.Здесь $\gamma ^{\mu }$, $0\leq \mu \leq 3$, являются гамма-матрицами Дирака .

Соответствующее уравнение можно записать в виде

$i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-i\sum _{j=1}^{3}\alpha ^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\psi +m\beta \psi -g({\overline {\psi }}\psi )\beta \psi$,

где $\alpha ^{j}$, $1\leq j\leq 3$,и $\beta$ являются матрицами Дирака .В одном измерении,эта модель известна как массивная модель Гросса – Невё .

Обобщения

Обычно рассматриваемым обобщением является

${\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +g{\frac {\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{k+1}}{k+1}}$

с $k>0$или даже

${\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +F\left({\overline {\psi }}\psi \right)$,

где $F$ является гладкой функцией.

Функции

Внутренняя симметрия

Помимо унитарной симметрии U(1) ,в измерениях 1, 2 и 3уравнение имеет SU(1,1) глобальную внутреннюю симметрию .

Перенормируемость

Модель Солера перенормируема путем подсчета степеней $k=1$ и только в одном измерении,и неперенормируемым для более высоких значений $k$ и в более высоких измерениях.

Уединенные волновые решения

Модель Солера допускает уединенно-волновые решения. формы $\phi (x)e^{-i\omega t},$где $\phi$ локализован (становится малым при $x$ большой)и $\omega$ это действительное число .

Редукция к массивной модели Тирринга

В пространственном измерении 2 модель Солера совпадает с массивной моделью Тирринга:из-за отношения $({\bar {\psi }}\psi )^{2}=J_{\mu }J^{\mu }$,с ${\bar {\psi }}\psi =\psi ^{*}\sigma _{3}\psi$релятивистский скаляри $J^{\mu }=(\psi ^{*}\psi ,\psi ^{*}\sigma _{1}\psi ,\psi ^{*}\sigma _{2}\psi )$плотность зарядного тока.Соотношение следует из тождества $(\psi ^{*}\sigma _{1}\psi )^{2}+(\psi ^{*}\sigma _{2}\psi )^{2}+(\psi ^{*}\sigma _{3}\psi )^{2}=(\psi ^{*}\psi )^{2}$,для любого $\psi \in \mathbb {C} ^{2}$.

См. также

• Уравнение Дирака
• Модель Гросса – Невё
• Нелинейное уравнение Дирака
• Модель Тирринга