Jump to content

Безмассовые свободные скалярные бозоны в двух измерениях

Безмассовые свободные скалярные бозоны — семейство двумерных конформных теорий поля , симметрия которых описывается абелевой аффинной алгеброй Ли .

Поскольку они свободны , т.е. невзаимодействуют, свободные бозонные КТМ легко решаются точно. С помощью формализма кулоновского газа они приводят к точным результатам во взаимодействующих КТМ, таких как минимальные модели .Более того, они играют важную роль в мировом подходе к теории струн .

В свободной бозонной КТП центральный заряд алгебры Вирасоро может принимать любое комплексное значение. Однако значение иногда предполагается неявно. Для , существуют компактифицированные свободные бозонные КТМ с произвольными значениями радиуса компактификации.

Лагранжева формулировка

[ редактировать ]

Действие теории свободного бозона в двух измерениях является функционалом свободного бозона ,

где метрика двумерного пространства , на котором формулируется теория, является скаляром Риччи этого пространства. Параметр называется фоновым зарядом .

Особенностью двух измерений является то, что масштабное измерение свободного бозона исчезает. Это допускает наличие неисчезающего фонового заряда и лежит в основе конформной симметрии теории .

В теории вероятностей свободный бозон можно представить как гауссово свободное поле . Это обеспечивает реализацию корреляционных функций как ожидаемых значений случайных величин.

Симметрии

[ редактировать ]

Абелева аффинная алгебра Ли

[ редактировать ]

Алгебра симметрии порождается двумя киральными сохраняющимися токами : левым током и правым током соответственно.

которые подчиняются .Каждый ток порождает абелеву аффинную алгебру Ли. . Структура леводвижущейся аффинной алгебры Ли закодирована в само- ОП леводвижущегося тока :

Эквивалентно, если ток записать в виде ряда Лорана о сути абелева аффинная алгебра Ли характеризуется скобкой Ли

Центр порождается алгебры , и алгебра представляет собой прямую сумму взаимно коммутирующих подалгебр размерности 1 или 2:

Конформная симметрия

[ редактировать ]

Для любого значения абелевой аффинной алгебры Ли универсальная обертывающая алгебра имеет подалгебру Вирасоро с генераторами [1]

Центральный заряд этой подалгебры Вирасоро равен

и коммутационные соотношения генераторов Вирасоро с генераторами аффинной алгебры Ли имеют вид

Если параметр совпадает с фоновым зарядом свободного бозона, то поле свободного бозона совпадает с тензором энергии-импульса . Соответствующая алгебра Вирасоро, следовательно, имеет геометрическую интерпретацию как алгебра бесконечно малых конформных отображений теории и кодирует локальную конформную симметрию .

Дополнительные симметрии

[ редактировать ]

При специальных значениях центрального заряда и/или радиуса компактификации теории свободных бозонов могут иметь не только свои симметрия, но и дополнительные симметрии. В частности, на , для специальных значений радиуса компактификации могут возникнуть неабелевы аффинные алгебры Ли, суперсимметрия и т. д. [2]

Аффинные первичные поля

[ редактировать ]

В свободной бозонной CFT все поля являются либо аффинными первичными полями, либо их аффинными потомками. Благодаря аффинной симметрии корреляционные функции аффинных полей-потомков в принципе могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей.

Определение

[ редактировать ]

Аффинное первичное поле с левым и правым -заряды определяется его ОПЭ с токами, [1]

Эти ОПЭ эквивалентны отношениям

Обвинения называются также левым и правым импульсами . Если они совпадают, то аффинное первичное поле называется диагональным и записывается как .

Нормальноупорядоченные экспоненты свободного бозона являются аффинными первичными полями. В частности, поле представляет собой диагональное аффинное первичное поле с импульсом . Это поле и аффинные первичные поля в целом иногда называют вершинными операторами . [3]

Аффинное первичное поле также является первичным полем Вирасоро с конформной размерностью.

Два поля и имеют одинаковые левые и правые конформные размеры, хотя их импульсы различны.

OPE и сохранение импульса

[ редактировать ]

Благодаря аффинной симметрии в свободных бозонных КТМ сохраняется импульс. На уровне правил слияния это означает, что при слиянии любых двух аффинных первичных полей может появиться только одно аффинное первичное поле.

Таким образом, операторные разложения аффинных первичных полей принимают форму

где - коэффициент OPE, а член является вкладом аффинных полей-потомков. ОПЭ не имеют явной зависимости от фонового заряда.

Корреляционные функции

[ редактировать ]

Согласно аффинным идентификаторам Уорда для -точечные функции на сфере, [1]

Более того, аффинная симметрия полностью определяет зависимость сферы -точечные функции на позициях,

Однозначность корреляционных функций приводит к ограничениям на импульсы:

Некомпактные свободные бозоны

[ редактировать ]

Свободная бозонная КТМ называется некомпактной, если импульс может принимать непрерывные значения.

Некомпактные свободные бозонные КТМ с используются для описания некритической теории струн . В этом контексте некомпактная свободная бозонная КТМ называется линейной теорией дилатонов .

Свободная бозонная КТМ с т.е. представляет собой сигма-модель с одномерным целевым пространством.

  • Если целевым пространством является евклидова действительная линия, то импульс мнимый. , а конформная размерность положительна .
  • Если целевым пространством является действительная линия Минковского, то импульс реален. , а конформная размерность отрицательна .
  • Если таргет-пространство представляет собой круг, то импульс принимает дискретные значения и мы имеем компактифицированный свободный бозон.

Компактифицированные свободные бозоны

[ редактировать ]

Компактифицированный свободный бозон радиуса – свободная бозонная КТП, где левый и правый импульсы принимают значения

Целые числа называются тогда импульсом и числом обмотки . Допустимые значения радиуса компактификации: если и в противном случае. [1]

Если , свободные бозоны с радиусами и опишите ту же ЦФТ. С точки зрения сигма-модели эта эквивалентность называется Т-двойственностью .

Если компактифицированный свободный бозон CFT существует на любой римановой поверхности . Его статистическая сумма на торе является [3]

где , и Дедекинда — эта-функция . Эта статистическая сумма представляет собой сумму характеров алгебры Вирасоро по спектру конформных размерностей теории.

Как и во всех свободных бозонных КТМ, корреляционные функции аффинных первичных полей имеют зависимость от положения полей, определяемую аффинной симметрией. Остальные постоянные множители являются знаками, зависящими от импульсов полей и чисел витков. [4]

Граничные условия в случае c=1

[ редактировать ]

Граничные условия Неймана и Дирихле

[ редактировать ]

Из-за автоморфизм абелевой аффинной алгебры Лисуществует два типа граничных условий, сохраняющих аффинную симметрию, а именно:

Если границей является линия , эти условия соответствуют соответственно граничным условиям Неймана и граничным условиям Дирихле для свободного бозона .

Пограничные государства

[ редактировать ]

В случае компактифицированного свободного бозона каждый тип граничных условий приводит к семейству граничных состояний, параметризованному уравнением . Соответствующие одноточечные функции в верхней полуплоскости являются [5]

В случае некомпактного свободного бозона существует только одно граничное состояние Неймана, а граничные состояния Дирихле параметризуются вещественным параметром. Соответствующие одноточечные функции:

где и для евклидова бозона.

Конформные граничные условия

[ редактировать ]

Границы Неймана и Дирихле — единственные границы, сохраняющие аффинную симметрию свободного бозона. Однако существуют дополнительные границы, сохраняющие только конформную симметрию.

Если радиус иррационален, дополнительные граничные состояния параметризуются числом . Одноточечные функции аффинных первичных полей с исчезнуть. Однако первичные поля Вирасоро, являющиеся аффинными потомками аффинного первичного поля с имеют нетривиальные одноточечные функции. [5]

Если радиус рационален дополнительные граничные состояния параметризуются многообразием . [6]

Конформные граничные условия при произвольном также изучались под ошибочным названием «граничная теория Лиувилля ». [7]

[ редактировать ]

Множественные бозоны и орбифолды

[ редактировать ]

От безмассовые свободные скалярные бозоны, можно построить произведение CFT с алгеброй симметрии . Некоторые или все бозоны могут быть компактифицированы.

В частности, компактификация бозоны без фонового заряда на -мерный тор (с B-полем Неве – Шварца ) порождает семейство CFT, называемых компактификациями Нараина . Эти КТМ существуют на любой римановой поверхности и играют важную роль в теории пертурбативных струн . [8] [9]

Ввиду существования автоморфизма аффинной алгебры Ли и более общих автоморфизмов , существуют орбифолды свободных бозонных КТМ. [10] Например, орбифолд компактифицированного свободного бозона с — критическая двумерная модель Эшкина–Теллера . [4]

Кулоновский газовый формализм

[ редактировать ]

Формализм кулоновского газа — это метод построения взаимодействующих КТМ или некоторых их корреляционных функций из свободных бозонных КТМ. Идея состоит в том, чтобы возмутить свободную ЦФТ с помощью операторов скрининга вида , где представляет собой аффинное первичное поле конформных размерностей . Несмотря на пертурбативное определение, этот метод приводит к точным результатам благодаря сохранению импульса. [3]

В случае одиночного свободного бозона с фоновым зарядом , существуют два оператора диагонального экранирования , где . Корреляционные функции в минимальные модели могут быть вычислены с использованием этих экранирующих операторов, что приводит к интегралам Доценко – Фатеева . [11] Остатки корреляционных функций в теории Лиувилля также можно вычислить, и это привело к оригинальному выводу формулы DOZZ для трехточечной структурной константы. [12] [13]

В случае Для свободных бозонов введение экранирующих зарядов можно использовать для определения нетривиальных КТМ, включая конформную теорию Тоды . Симметрии этих нетривиальных КТП описываются подалгебрами абелевой аффинной алгебры Ли. В зависимости от скринингов эти подалгебры могут быть или не быть W-алгебрами . [14]

Формализм кулоновского газа также можно использовать в двумерных КТМ, таких как модель Поттса с q-состоянием и модель Поттса с q-состоянием. модель. [15]

Различные обобщения

[ редактировать ]

В произвольных измерениях существуют конформные теории поля, называемые обобщенными свободными теориями . Однако это не обобщение свободных бозонных КТМ в двух измерениях. В первом случае сохраняется (по модулю целых чисел) конформное измерение. В последнем случае это импульс.

В двух измерениях обобщения включают в себя:

  • Безмассовые свободные фермионы.
  • Призрачные ЦФТ. [3]
  • Суперсимметричные свободные ЦФТ.
  1. ^ Jump up to: а б с д Рибо, Сильвен (17 июня 2014 г.). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv : 1406.4290v5 [ hep-th ].
  2. ^ Гинспарг, Пол (11 ноября 1988 г.). «Прикладная конформная теория поля». arXiv : hep-th/9108028 .
  3. ^ Jump up to: а б с д Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). «Конформная теория поля». Тексты для аспирантов по современной физике . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-1-4612-2256-9 . ISBN  978-1-4612-7475-9 . ISSN   0938-037X .
  4. ^ Jump up to: а б Немков, Никита; Рибо, Сильвен (29 июня 2021 г.). «Аналитический конформный бутстреп и первичные поля Вирасоро в модели Эшкина-Теллера». arXiv : 2106.15132v1 [ hep-th ].
  5. ^ Jump up to: а б Яник, Ромуальд А. (4 сентября 2001 г.). «Исключительные граничные состояния при c=1». Ядерная физика Б . 618 (3): 675–688. arXiv : hep-th/0109021 . дои : 10.1016/S0550-3213(01)00486-2 . S2CID   9079750 .
  6. ^ Габердиэль, MR; Рекнагель, А. (31 августа 2001 г.). «Конформные граничные состояния для свободных бозонов и фермионов». Журнал физики высоких энергий . 2001 (11): 016. arXiv : hep-th/0108238 . дои : 10.1088/1126-6708/2001/11/016 . S2CID   5444861 .
  7. ^ Реми, Гийом; Чжу, Тунан (23 августа 2022 г.). «Интегрируемость граничной конформной теории поля Лиувилля». Связь в математической физике . 395 (1). Спрингер: 179–268. arXiv : 2002.05625 . дои : 10.1007/s00220-022-04455-1 . ISSN   0010-3616 .
  8. ^ Мэлони, Александр; Виттен, Эдвард (08.06.2020). «Усреднение по пространству модулей Нараина». Журнал физики высоких энергий . 2020 (10). arXiv : 2006.04855v2 . дои : 10.1007/JHEP10(2020)187 . S2CID   219558763 .
  9. ^ Полчински, Джозеф (13 октября 1998 г.). Теория струн . Том. 95. Издательство Кембриджского университета. стр. 11039–11040. дои : 10.1017/cbo9780511816079 . ISBN  978-0-521-67227-6 . ПМК   33894 . ПМИД   9736684 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
  10. ^ Дейкграаф, Робберт; Вафа, Камрун; Верлинде, Эрик; Верлинде, Герман (1989). «Операторная алгебра орбифолдных моделей» . Связь в математической физике . 123 (3). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 485–526. дои : 10.1007/bf01238812 . ISSN   0010-3616 . S2CID   120111368 .
  11. ^ Доценко, Вл.С.; Фатеев, В.А. (1984). «Конформная алгебра и многоточечные корреляционные функции в двумерных статистических моделях». Ядерная физика Б . 240 (3). Эльзевир Б.В.: 312–348. дои : 10.1016/0550-3213(84)90269-4 . ISSN   0550-3213 .
  12. ^ Замолодчиков А.; Замолодчиков, Ал. (1996). «Конформный бутстрап в теории поля Лиувилля». Ядерная физика Б . 477 (2): 577–605. arXiv : hep-th/9506136 . Бибкод : 1996НуФБ.477..577Z . дои : 10.1016/0550-3213(96)00351-3 . S2CID   204929527 .
  13. ^ Дорн, Х.; Отто, Х.-Й. (1992). «О корреляционных функциях для некритических строк с c⩽1, но d⩾1». Буквы по физике Б. 291 (1–2): 39–43. arXiv : hep-th/9206053 . Бибкод : 1992PhLB..291...39D . дои : 10.1016/0370-2693(92)90116-L . S2CID   15413971 .
  14. ^ Литвинов, Алексей; Сподынейко, Лев (20 сентября 2016 г.). «О W-алгебрах, коммутирующих с множеством экранировок». Журнал физики высоких энергий . 2016 (11). arXiv : 1609.06271v1 . дои : 10.1007/JHEP11(2016)138 . S2CID   29261029 .
  15. ^ ди Франческо, П.; Салер, Х.; Зубер, Дж. Б. (1987). «Связь между картиной кулоновского газа и конформной инвариантностью двумерных критических моделей». Журнал статистической физики . 49 (1–2). Спрингер: 57–79. дои : 10.1007/bf01009954 . ISSN   0022-4715 . S2CID   56053143 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a9e0870e38ff4a24e1f2a04ccdf1c1f5__1714927020
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a9/f5/a9e0870e38ff4a24e1f2a04ccdf1c1f5.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Massless free scalar bosons in two dimensions - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)