Безмассовые свободные скалярные бозоны в двух измерениях

Безмассовые свободные скалярные бозоны — семейство двумерных конформных теорий поля , симметрия которых описывается абелевой аффинной алгеброй Ли .

Поскольку они свободны , т.е. невзаимодействуют, свободные бозонные КТМ легко решаются точно. С помощью формализма кулоновского газа они приводят к точным результатам во взаимодействующих КТМ, таких как минимальные модели .Более того, они играют важную роль в мировом подходе к теории струн .

В свободной бозонной КТП центральный заряд алгебры Вирасоро может принимать любое комплексное значение. Однако значение $c=1$ иногда предполагается неявно. Для $c=1$, существуют компактифицированные свободные бозонные КТМ с произвольными значениями радиуса компактификации.

Лагранжева формулировка

Действие теории свободного бозона в двух измерениях является функционалом свободного бозона $\phi$,

$S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +QR\phi )\ ,$

где $g_{\mu \nu }$ — метрика двумерного пространства , на котором формулируется теория, $R$ является скаляром Риччи этого пространства. Параметр $Q\in \mathbb {C}$ называется фоновым зарядом .

Особенностью двух измерений является то, что масштабное измерение свободного бозона $\phi$ исчезает. Это допускает наличие неисчезающего фонового заряда и лежит в основе конформной симметрии теории .

В теории вероятностей свободный бозон можно представить как гауссово свободное поле . Это обеспечивает реализацию корреляционных функций как ожидаемых значений случайных величин.

Симметрии

Абелева аффинная алгебра Ли

Алгебра симметрии порождается двумя киральными сохраняющимися токами : левым током и правым током соответственно.

$J=\partial \phi \quad {\text{and}}\quad {\bar {J}}={\bar {\partial }}\phi$

которые подчиняются $\partial {\bar {J}}={\bar {\partial }}J=0$.Каждый ток порождает абелеву аффинную алгебру Ли. ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$. Структура леводвижущейся аффинной алгебры Ли закодирована в само- ОП леводвижущегося тока :

$J(y)J(z)={\frac {-{\frac {1}{2}}}{(y-z)^{2}}}+O(1)$

Эквивалентно, если ток записать в виде ряда Лорана $J(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}z^{-n-1}$ о сути $z=0$абелева аффинная алгебра Ли характеризуется скобкой Ли

$[J_{m},J_{n}]={\frac {1}{2}}n\delta _{m+n,0}$

Центр порождается алгебры $J_{0}$, и алгебра представляет собой прямую сумму взаимно коммутирующих подалгебр размерности 1 или 2:

${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}={\text{Span}}(J_{0})\oplus \bigoplus _{n=1}^{\infty }{\text{Span}}(J_{n},J_{-n})$

Конформная симметрия

Для любого значения $Q\in \mathbb {C}$ абелевой аффинной алгебры Ли универсальная обертывающая алгебра имеет подалгебру Вирасоро с генераторами

${\begin{aligned}L_{n}&=-\sum _{m\in {\mathbb {Z} }}J_{n-m}J_{m}+Q(n+1)J_{n}\ ,\qquad (n\neq 0)\ ,\\L_{0}&=-2\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}J_{m}-J_{0}^{2}+QJ_{0}\ ,\end{aligned}}$

Центральный заряд этой подалгебры Вирасоро равен

$c=1+6Q^{2}$

и коммутационные соотношения генераторов Вирасоро с генераторами аффинной алгебры Ли имеют вид

$[L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}-{\frac {Q}{2}}m(m+1)\delta _{m+n,0}$

Если параметр $Q$ совпадает с фоновым зарядом свободного бозона, то поле $T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}$ свободного бозона совпадает с тензором энергии-импульса . Соответствующая алгебра Вирасоро, следовательно, имеет геометрическую интерпретацию как алгебра бесконечно малых конформных отображений теории и кодирует локальную конформную симметрию .

Дополнительные симметрии

При специальных значениях центрального заряда и/или радиуса компактификации теории свободных бозонов могут иметь не только свои ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$ симметрия, но и дополнительные симметрии. В частности, на $c=1$, для специальных значений радиуса компактификации могут возникнуть неабелевы аффинные алгебры Ли, суперсимметрия и т. д.

Аффинные первичные поля

В свободной бозонной CFT все поля являются либо аффинными первичными полями, либо их аффинными потомками. Благодаря аффинной симметрии корреляционные функции аффинных полей-потомков в принципе могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей.

Определение

Аффинное первичное поле $V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)$ с левым и правым ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$-заряды $\alpha ,{\bar {\alpha }}$ определяется его ОПЭ с токами,

$J(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\alpha }{y-z}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)\quad ,\quad {\bar {J}}(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\bar {\alpha }}{{\bar {y}}-{\bar {z}}}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)$

Эти ОПЭ эквивалентны отношениям

$J_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {J}}_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=0\quad ,\quad J_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=\alpha V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)\quad ,\quad {\bar {J}}_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {\alpha }}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)$

Обвинения $\alpha ,{\bar {\alpha }}$ называются также левым и правым импульсами . Если они совпадают, то аффинное первичное поле называется диагональным и записывается как $V_{\alpha }(z)=V_{\alpha ,\alpha }(z)$.

Нормальноупорядоченные экспоненты свободного бозона являются аффинными первичными полями. В частности, поле $:e^{2\alpha \phi (z)}:$представляет собой диагональное аффинное первичное поле с импульсом $\alpha$. Это поле и аффинные первичные поля в целом иногда называют вершинными операторами .

Аффинное первичное поле также является первичным полем Вирасоро с конформной размерностью.

$\Delta (\alpha )=\alpha (Q-\alpha )$

Два поля $V_{\alpha }(z)$ и $V_{Q-\alpha }(z)$ имеют одинаковые левые и правые конформные размеры, хотя их импульсы различны.

OPE и сохранение импульса

Благодаря аффинной симметрии в свободных бозонных КТМ сохраняется импульс. На уровне правил слияния это означает, что при слиянии любых двух аффинных первичных полей может появиться только одно аффинное первичное поле.

$V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}\times V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}=V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}$

Таким образом, операторные разложения аффинных первичных полей принимают форму

$V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}(z_{1})V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})=C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})(z_{1}-z_{2})^{-2\alpha _{1}\alpha _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{-2{\bar {\alpha }}_{1}{\bar {\alpha }}_{2}}\left(V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})+O(z_{1}-z_{2})\right)$

где $C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})$ - коэффициент OPE, а член $O(z_{1}-z_{2})$ является вкладом аффинных полей-потомков. ОПЭ не имеют явной зависимости от фонового заряда.

Корреляционные функции

Согласно аффинным идентификаторам Уорда для $N$-точечные функции на сфере,

$\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \neq 0\implies \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\bar {\alpha }}_{i}=Q$

Более того, аффинная симметрия полностью определяет зависимость сферы $N$-точечные функции на позициях,

$\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \propto \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{-2\alpha _{i}\alpha _{j}}({\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}_{j})^{-2{\bar {\alpha }}_{i}{\bar {\alpha }}_{j}}$

Однозначность корреляционных функций приводит к ограничениям на импульсы:

$\Delta (\alpha _{i})-\Delta ({\bar {\alpha }}_{i})\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z}$

Модели

Некомпактные свободные бозоны

Свободная бозонная КТМ называется некомпактной, если импульс может принимать непрерывные значения.

Некомпактные свободные бозонные КТМ с $Q\neq 0$ используются для описания некритической теории струн . В этом контексте некомпактная свободная бозонная КТМ называется линейной теорией дилатонов .

Свободная бозонная КТМ с $Q=0$ т.е. $c=1$ представляет собой сигма-модель с одномерным целевым пространством.

• Если целевым пространством является евклидова действительная линия, то импульс мнимый. $\alpha ={\bar {\alpha }}\in i\mathbb {R}$, а конформная размерность положительна $\Delta (\alpha )\geq 0$.
• Если целевым пространством является действительная линия Минковского, то импульс реален. $\alpha ={\bar {\alpha }}\in \mathbb {R}$, а конформная размерность отрицательна $\Delta (\alpha )\leq 0$.
• Если таргет-пространство представляет собой круг, то импульс принимает дискретные значения и мы имеем компактифицированный свободный бозон.

Компактифицированные свободные бозоны

Компактифицированный свободный бозон радиуса $R$ – свободная бозонная КТП, где левый и правый импульсы принимают значения

$(\alpha ,{\bar {\alpha }})=\left({\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right],{\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]\right)\quad {\text{with}}\quad (n,w)\in \mathbb {Z} ^{2}$

Целые числа $n,w$ называются тогда импульсом и числом обмотки . Допустимые значения радиуса компактификации: $R\in \mathbb {C} ^{*}$ если $Q=0$ и $R\in {\frac {1}{iQ}}\mathbb {Z}$ в противном случае.

Если $Q=0$, свободные бозоны с радиусами $R$ и ${\frac {1}{R}}$ опишите ту же ЦФТ. С точки зрения сигма-модели эта эквивалентность называется Т-двойственностью .

Если $Q=0$компактифицированный свободный бозон CFT существует на любой римановой поверхности . Его статистическая сумма на торе ${\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}$ является

$Z_{R}(\tau )=Z_{\frac {1}{R}}(\tau )={\frac {1}{|\eta (\tau )|^{2}}}\sum _{n,w\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right]^{2}}{\bar {q}}^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]^{2}}$

где $q=e^{2\pi i\tau }$, и $\eta (\tau )$ Дедекинда — эта-функция . Эта статистическая сумма представляет собой сумму характеров алгебры Вирасоро по спектру конформных размерностей теории.

Как и во всех свободных бозонных КТМ, корреляционные функции аффинных первичных полей имеют зависимость от положения полей, определяемую аффинной симметрией. Остальные постоянные множители являются знаками, зависящими от импульсов полей и чисел витков.

Граничные условия в случае c=1

Граничные условия Неймана и Дирихле

Из-за $\mathbb {Z} _{2}$ автоморфизм $J\to -J$ абелевой аффинной алгебры Лисуществует два типа граничных условий, сохраняющих аффинную симметрию, а именно:

$J={\bar {J}}\quad {\text{or}}\quad J=-{\bar {J}}$

Если границей является линия $z={\bar {z}}$, эти условия соответствуют соответственно граничным условиям Неймана и граничным условиям Дирихле для свободного бозона $\phi$.

Пограничные государства

В случае компактифицированного свободного бозона каждый тип граничных условий приводит к семейству граничных состояний, параметризованному уравнением $\theta \in {\frac {\mathbb {R} }{2\pi \mathbb {Z} }}$. Соответствующие одноточечные функции в верхней полуплоскости $\{\Im z>0\}$ являются

${\begin{aligned}\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{in\theta }\delta _{w,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {n^{2}}{2R^{2}}}}}\\\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Neumann}},\theta }&={\frac {e^{iw\theta }\delta _{n,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {R^{2}w^{2}}{2}}}}\end{aligned}}$

В случае некомпактного свободного бозона существует только одно граничное состояние Неймана, а граничные состояния Дирихле параметризуются вещественным параметром. Соответствующие одноточечные функции:

${\begin{aligned}\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{\alpha \theta }}{|z-{\bar {z}}|^{2\Delta (\alpha )}}}\\\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{\text{Neumann}}&=\delta (i\alpha )\end{aligned}}$

где $\alpha \in i\mathbb {R}$ и $\theta \in \mathbb {R}$ для евклидова бозона.

Конформные граничные условия

Границы Неймана и Дирихле — единственные границы, сохраняющие аффинную симметрию свободного бозона. Однако существуют дополнительные границы, сохраняющие только конформную симметрию.

Если радиус иррационален, дополнительные граничные состояния параметризуются числом $x\in [-1,1]$. Одноточечные функции аффинных первичных полей с $(n,w)\neq (0,0)$ исчезнуть. Однако первичные поля Вирасоро, являющиеся аффинными потомками аффинного первичного поля с $(n,w)=(0,0)$ имеют нетривиальные одноточечные функции.

Если радиус рационален $R={\frac {p}{q}}$дополнительные граничные состояния параметризуются многообразием ${\frac {SU(2)}{\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{q}}}$.

Конформные граничные условия при произвольном $c$ также изучались под ошибочным названием «граничная теория Лиувилля ».

Связанные теории и обобщения

Множественные бозоны и орбифолды

От $N$ безмассовые свободные скалярные бозоны, можно построить произведение CFT с алгеброй симметрии ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}$. Некоторые или все бозоны могут быть компактифицированы.

В частности, компактификация $N$ бозоны без фонового заряда на $N$-мерный тор (с B-полем Неве – Шварца ) порождает семейство CFT, называемых компактификациями Нараина . Эти КТМ существуют на любой римановой поверхности и играют важную роль в теории пертурбативных струн .

Ввиду существования автоморфизма $J\to -J$ аффинной алгебры Ли ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$и более общих автоморфизмов ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}$, существуют орбифолды свободных бозонных КТМ. Например, $\mathbb {Z} _{2}$ орбифолд компактифицированного свободного бозона с $Q=0$ — критическая двумерная модель Эшкина–Теллера .

Кулоновский газовый формализм

Формализм кулоновского газа — это метод построения взаимодействующих КТМ или некоторых их корреляционных функций из свободных бозонных КТМ. Идея состоит в том, чтобы возмутить свободную ЦФТ с помощью операторов скрининга вида $\textstyle {\int }d^{2}z\,O(z)$, где $O(z)$ представляет собой аффинное первичное поле конформных размерностей $(\Delta ,{\bar {\Delta }})=(1,1)$. Несмотря на пертурбативное определение, этот метод приводит к точным результатам благодаря сохранению импульса.

В случае одиночного свободного бозона с фоновым зарядом $Q$, существуют два оператора диагонального экранирования $\textstyle {\int }V_{b},\textstyle {\int }V_{b^{-1}}$, где $Q=b+b^{-1}$. Корреляционные функции в минимальные модели могут быть вычислены с использованием этих экранирующих операторов, что приводит к интегралам Доценко – Фатеева . Остатки корреляционных функций в теории Лиувилля также можно вычислить, и это привело к оригинальному выводу формулы DOZZ для трехточечной структурной константы.

В случае $N$ Для свободных бозонов введение экранирующих зарядов можно использовать для определения нетривиальных КТМ, включая конформную теорию Тоды . Симметрии этих нетривиальных КТП описываются подалгебрами абелевой аффинной алгебры Ли. В зависимости от скринингов эти подалгебры могут быть или не быть W-алгебрами .

Формализм кулоновского газа также можно использовать в двумерных КТМ, таких как модель Поттса с q-состоянием и модель Поттса с q-состоянием. $O(n)$ модель.

Различные обобщения

В произвольных измерениях существуют конформные теории поля, называемые обобщенными свободными теориями . Однако это не обобщение свободных бозонных КТМ в двух измерениях. В первом случае сохраняется (по модулю целых чисел) конформное измерение. В последнем случае это импульс.

В двух измерениях обобщения включают в себя:

• Безмассовые свободные фермионы.
• Призрачные ЦФТ.
• Суперсимметричные свободные ЦФТ.