Сохраняемый ток

В физике — сохраняющийся ток это ток, $j^{\mu }$, удовлетворяющий уравнению неразрывности $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$. Уравнение неразрывности представляет собой закон сохранения, отсюда и название.

Действительно, интегрирование уравнения неразрывности по объему $V$, достаточно большой, чтобы через ее поверхность не было токов, приводит к закону сохранения $${\frac {\partial }{\partial t}}Q=0\;,$$где ${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$ — сохраняющаяся величина .

В калибровочных теориях калибровочные поля связаны с сохраняющимися токами. Например, электромагнитное поле соединяется с сохраняющимся электрическим током .

Сохраняющиеся величины и симметрии

Сохраняющийся ток — это поток канонической сопряженной величины, обладающей непрерывной трансляционной симметрией . Уравнение непрерывности для сохраняющегося тока является формулировкой закона сохранения .Примеры канонических сопряженных величин:

• Время и энергия - непрерывная трансляционная симметрия времени подразумевает сохранение энергии.
• Пространство и импульс - непрерывная трансляционная симметрия пространства подразумевает сохранение импульса.
• Пространство и угловой момент - непрерывная вращательная симметрия пространства подразумевает сохранение углового момента.
• волновой функции Фаза и электрический заряд - непрерывная симметрия фазового угла волновой функции подразумевает сохранение электрического заряда.

Сохраняющиеся токи играют чрезвычайно важную роль в теоретической физике , поскольку теорема Нётер связывает существование сохраняющегося тока с существованием симметрии некоторой величины в изучаемой системе. На практике все сохраняющиеся токи являются токами Нётера , поскольку существование сохраняющегося тока подразумевает существование симметрии. Сохраняющиеся токи играют важную роль в теории уравнений в частных производных , поскольку существование сохраняющихся токов указывает на существование констант движения , которые необходимы для определения слоения и, следовательно, интегрируемой системы . Закон сохранения выражается как исчезновение 4- дивергенции Нётера , где заряд образует нулевую компоненту 4-тока .

Примеры

Электромагнетизм

Сохранение заряда , например, в обозначениях уравнений Максвелла , $${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$$

где

• ρ — плотность свободного электрического заряда (в единицах Кл/м ³ )
• J - плотность тока $$\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$$ где v — скорость зарядов.

Уравнение в равной степени применимо к массам (или другим сохраняющимся величинам), где слово « масса» заменяется приведенными выше словами « электрический заряд» .

Комплексное скалярное поле

Лагранжева плотность $${\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{*}\,\partial ^{\mu }\phi +V(\phi ^{*}\,\phi )$$комплексного скалярного поля $\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\mapsto \mathbb {C}$ инвариантен относительно преобразования симметрии $$\phi \mapsto \phi '=\phi \,e^{i\alpha }\,.$$ Определение $\delta \phi =\phi '-\phi$ находим ток Нётера $$j^{\mu }:={\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi }}\,{\frac {d(\delta \phi )}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi ^{*}}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\partial ^{\mu }\phi )$$которое удовлетворяет уравнению неразрывности.

См. также

• Закон сохранения (физика)
• Теорема Нётер

Ссылки

• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 588–596. ISBN  0-201-02918-9 .

• Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (Третье изд.). Прентис Холл. стр. 356–357 . ISBN  978-0-13-805326-0 .

• Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). «Глава I.2.2. Элементы классической теории поля». Введение в квантовую теорию поля . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-201-50397-5 .