Трансляционная симметрия

Для функций трансляционного инварианта $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ это $f(A)=f(A+t)$. Мера Лебега является примером такой функции.

В физике и математике непрерывная трансляционная симметрия — это инвариантность системы уравнений при любом сдвиге (без вращения ). Дискретная трансляционная симметрия инвариантна относительно дискретной трансляции.

Аналогично оператор A на функциях называется трансляционно-инвариантным относительно оператора перевода $T_{\delta }$если результат после применения A не изменится, если функция аргумента будет переведена. Точнее, оно должно заключаться в том, что

$$\forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).$$

Законы физики трансляционно-инвариантны относительно пространственного перемещения, если они не различают разные точки в пространстве. Согласно теореме Нётер , пространственная трансляционная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения импульса .

Трансляционная симметрия объекта означает, что конкретный перевод не меняет объект. Для данного объекта переводы, к которым это применимо, образуют группу, группу симметрии объекта или, если объект имеет больше видов симметрии, подгруппу группы симметрии.

Геометрия

Трансляционная инвариантность подразумевает, что, по крайней мере, в одном направлении объект бесконечен: для любой данной точки p множество точек с одинаковыми свойствами из-за трансляционной симметрии образует бесконечное дискретное множество { p + n a | п ∈ Z } знак равно п + Z а . Фундаментальными областями являются, например, H + [0, 1] a для любой гиперплоскости H , для которой a имеет независимое направление. В 1D это отрезок линии , в 2D — бесконечная полоса, а в 3D — плита, такая, что вектор, начинающийся с одной стороны, заканчивается на другой стороне. Обратите внимание, что полоса и плита не обязательно должны быть перпендикулярны вектору и, следовательно, могут быть уже или тоньше длины вектора.

В пространствах с размерностью больше 1 может существовать множественная трансляционная симметрия. Для каждого набора из k независимых векторов сдвига группа симметрии изоморфна Z ^к . В частности, кратность может быть равна размерности. Это означает, что объект бесконечен во всех направлениях. В этом случае совокупность всех переводов образует решетку . Различные базисы векторов сдвига порождают одну и ту же решетку тогда и только тогда, когда один преобразуется в другой матрицей целых коэффициентов, абсолютное значение определителя определителя которой равно 1. Абсолютное значение матрицы , образованной набором Векторы сдвига — это гиперобъем n -мерного параллелепипеда, который представляет собой множество (также называемый кообъемом решетки). Этот параллелепипед является фундаментальной областью симметрии: на нем или внутри него возможен любой узор, и это определяет весь объект. См. также решетка (группа) .

Например, в 2D вместо a и b мы также можем взять a и a − b и т. д. В общем, в 2D мы можем взять p a + q b и r a + s b для целых чисел p , q , r и s. такой, что ps − qr равно 1 или −1. Это гарантирует, что a и b сами по себе являются целочисленными линейными комбинациями двух других векторов. В противном случае не все переводы возможны с другой парой. Каждая пара a , b определяет параллелограмм, все с одинаковой площадью, величиной векторного произведения . Один параллелограмм полностью определяет весь объект. Без дальнейшей симметрии этот параллелограмм является фундаментальной областью. Векторы a и b могут быть представлены комплексными числами. Для двух заданных точек решетки эквивалентность выбора третьей точки для создания формы решетки представлена ​​модульной группой , см. решетка (группа) .

Альтернативно, например, прямоугольник может определять весь объект, даже если векторы перемещения не перпендикулярны, если он имеет две стороны, параллельные одному вектору перемещения, в то время как другой вектор перемещения, начинающийся с одной стороны прямоугольника, заканчивается на противоположной стороне.

Например, рассмотрим мозаику, состоящую из равных прямоугольных плиток с асимметричным узором на них, одинаково ориентированных в рядах, со сдвигом для каждой строки на долю, а не на половину плитки, всегда одинаковой, тогда мы имеем только трансляционная симметрия, группа обоев р 1 (то же самое относится и без сдвига). При вращательной симметрии второго порядка рисунка на плитке имеем p 2 (большая симметрия рисунка на плитке этого не меняет из-за расположения плиток). Прямоугольник — более удобную единицу, которую можно рассматривать как фундаментальную область (или набор из двух из них), чем параллелограмм, состоящий из части плитки и части другой.

В 2D может существовать трансляционная симметрия в одном направлении для векторов любой длины. Одна линия, идущая не в одном направлении, полностью определяет весь объект. Аналогично, в 3D может существовать трансляционная симметрия в одном или двух направлениях для векторов любой длины. Одна плоскость ( сечение ) или линия соответственно полностью определяют весь объект.

Примеры

Отношение «меньше чем» к действительным числам инвариантно при переводе.

• Все фризы имеют поступательную симметрию, а иногда и другие виды.
• с Преобразование Фурье последующим вычислением абсолютных значений является трансляционно-инвариантным оператором.
• Отображение полиномиальной функции в полиномиальную степень является трансляционно-инвариантным функционалом.
• Мера Лебега является полной трансляционно-инвариантной мерой .

См. также

• Скольжение отражения
• Смещение
• Периодическая функция
• Решетка (групповая)
• Оператор перевода (квантовая механика)
• Вращательная симметрия
• Лоренц симметрия
• Тесселяция
• Список циклов § Математика волн и циклов

Ссылки

• Стенджер, Виктор Дж. (2000 г.) и Махоу Широ, США (2007 г.). Вечная реальность . Книги Прометея. Особенно чпт. 12. Нетехническое.