Оператор перевода (квантовая механика)

В квантовой механике оператор перевода определяется как оператор , который сдвигает частицы и поля на определенную величину в определенном направлении. Это частный случай оператора сдвига из функционального анализа.

Точнее, для любого вектора смещения $\mathbf {x}$, существует соответствующий оператор перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ который смещает частицы и поля на величину $\mathbf {x}$.

Например, если ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ действует на частицу, находящуюся в положении $\mathbf {r}$, результатом является частица в позиции $\mathbf {r} +\mathbf {x}$.

Операторы перевода унитарны .

Операторы перевода тесно связаны с оператором импульса ; например, оператор перевода, который перемещается на бесконечно малую величину в $y$ направление имеет простое отношение к $y$-компонента оператора импульса. Благодаря этому соотношению сохранение импульса имеет место, когда операторы сдвига коммутируют с гамильтонианом, т. е. когда законы физики трансляционно-инвариантны. Это пример теоремы Нётер .

Действие на собственные элементы положения и волновые функции

Оператор перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ перемещает частицы и поля на величину $\mathbf {x}$. Следовательно, если частица находится в собственном состоянии $|\mathbf {r} \rangle$ оператора позиции (т. е. находится точно в позиции $\mathbf {r}$), затем после ${\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int \!d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |$ на него действует, частица находится в положении $\mathbf {r} +\mathbf {x}$: $${\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle .$$

Альтернативный (и эквивалентный) способ описания того, что определяет оператор перевода, основан на волновых функциях позиционного пространства . Если частица имеет волновую функцию в позиционном пространстве $\psi (\mathbf {r} )$, и ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ действует на частицу, новая волновая функция в позиционном пространстве равна $\psi '(\mathbf {r} )={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )$ определяется $$\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).$$

Это соотношение легче запомнить как $\psi '(\mathbf {r} +\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {r} ),$ что можно прочитать так: «Значение новой волновой функции в новой точке равно значению старой волновой функции в старой точке».

Вот пример, показывающий, что эти два описания эквивалентны. Государство $|\mathbf {a} \rangle$ соответствует волновой функции $\psi (\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {a} )$ (где $\delta$ – дельта-функция Дирака ), а состояние ${\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {a} \rangle =|\mathbf {a} +\mathbf {x} \rangle$ соответствует волновой функции $\psi '(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -(\mathbf {a} +\mathbf {x} )).$ Они действительно удовлетворяют $\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).$

Импульс как генератор переводов

См. также: Оператор сдвига и оператор импульса.

В вводной физике импульс обычно определяется как произведение массы на скорость. Однако существует более фундаментальный способ определения импульса с точки зрения операторов перевода. Более конкретно это называется каноническим импульсом , и он обычно, но не всегда, равен массе, умноженной на скорость; один контрпример — заряженная частица в магнитном поле. Это определение импульса особенно важно, поскольку закон сохранения импульса применим только к каноническому импульсу и не является универсальным, если вместо этого импульс определяется как произведение массы на скорость (так называемый «кинетический импульс») по причинам, объясненным ниже.

(Канонический) оператор импульса определяется как градиент операторов сдвига вблизи начала координат:

$\mathbf {\hat {p}} =i\hbar \left(\nabla {\hat {T}}(\mathbf {x} )\right)_{{\text{at }}\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка . Например, каков будет результат, если ${\hat {p}}_{x}$ оператор действует на квантовое состояние? Чтобы найти ответ, переведите состояние на бесконечно малую величину в $x$-направлении, вычислите скорость изменения состояния и умножьте ее на $i\hbar$. Например, если состояние вообще не меняется при его переводе в $x$-направление, то его $x$-компонента импульса равна 0.

Более явно, $\mathbf {\hat {p}}$ является векторным оператором (т.е. вектором, состоящим из трех операторов $({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})$), определяемый: $${\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {{\hat {T}}(a\mathbf {\hat {x}} )-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}$$где ${\hat {\mathbb {I} }}$ является оператором идентификации и $\mathbf {\hat {x}}$ - единичный вектор в $x$-направление. ( ${\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}$ определяются аналогично.)

Приведенное выше уравнение является наиболее общим определением $\mathbf {\hat {p}}$. В частном случае одиночной частицы с волновой функцией $\psi (\mathbf {r} )$, $\mathbf {\hat {p}}$ можно записать в более конкретной и полезной форме. В одном измерении: $${\begin{aligned}({\hat {p}}\psi )(r)&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {({\hat {T}}(a)\psi )(r)-\psi (r)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {\psi (r-a)-\psi (r)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial r}}\psi (r)\end{aligned}}$$или в трех измерениях, $$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$как оператор, действующий на волновые функции позиционного пространства. Это знакомое квантовомеханическое выражение для $\mathbf {\hat {p}}$, но мы вывели его здесь из более простой отправной точки.

Теперь мы определили $\mathbf {\hat {p}}$ с точки зрения операторов перевода. Также возможно написать оператор перевода как функцию $\mathbf {\hat {p}}$. Метод заключается в представлении заданного перевода в виде огромного числа $N$ последовательных крошечных переводов, а затем использовать тот факт, что бесконечно малые переводы можно записать в терминах $\mathbf {\hat {p}}$: $${\begin{aligned}{\hat {T}}(\mathbf {x} )&=\lim _{N\to \infty }({\hat {T}}(\mathbf {x} /N))^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}$$что дает окончательное выражение:

${\hat {T}}(\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)=1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}-{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\frac {i(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{3}}{6\hbar ^{3}}}+\cdots$

где $\exp$ — операторная экспонента , а правая часть — разложение в ряд Тейлора . Для очень маленького $\mathbf {x}$, можно использовать приближение: $${\hat {T}}(\mathbf {x} )\approx 1-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} /\hbar$$

Следовательно, оператор импульса называется генератором перевода .

Хороший способ дважды проверить правильность этих соотношений — выполнить разложение Тейлора оператора перевода, действующего на волновую функцию в позиционном пространстве. Разлагая экспоненту на все порядки, оператор перевода генерирует в точности полное разложение Тейлора тестовой функции: $${\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )&={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )\\&=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\psi (\mathbf {r} )-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{2}\psi (\mathbf {r} )-\dots \end{aligned}}$$Таким образом, каждый оператор перевода генерирует в точности ожидаемый сдвиг тестовой функции, если функция аналитична в некоторой области комплексной плоскости.

Характеристики

Последовательные переводы

$${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})$$

Другими словами, если частицы и поля перемещаются на величину $\mathbf {x} _{2}$ а затем на сумму $\mathbf {x} _{1}$, всего они были перемещены на сумму $\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}$. Для математического доказательства можно посмотреть, что эти операторы делают с частицей в собственном состоянии: $${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})|\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle$$Поскольку операторы ${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})$ и ${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})$ оказывают одинаковое влияние на каждое состояние собственного базиса, отсюда следует, что операторы равны.

Обратный

Операторы перевода обратимы, а их обратные: $$({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )$$

Это следует из свойства «последовательных переводов», упомянутого выше, и того факта, что ${\hat {T}}(\mathbf {0} )={\hat {\mathbb {I} }}$, т.е. сдвиг на расстояние 0 аналогичен тождественному оператору, который оставляет все состояния неизменными.

Операторы перевода добираются друг до друга

$${\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {T}}(\mathbf {y} )={\hat {T}}(\mathbf {y} ){\hat {T}}(\mathbf {x} )$$потому что обе стороны равны ${\hat {T}}(\mathbf {x} +\mathbf {y} )$.

Операторы перевода унитарные

Если $\psi (\mathbf {r} )$ и $\phi (\mathbf {r} )$ две волновые функции в позиционном пространстве, то продукт внутренний $\psi$ с $\phi$ является: $$\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )$$в то время как внутренний продукт ${\hat {T}}(\mathbf {a} )\psi$ с ${\hat {T}}(\mathbf {a} )\phi$ является: $$\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {a} )\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} )$$Благодаря замене переменных эти два внутренних продукта совершенно одинаковы. Следовательно, операторы перевода унитарные , а именно: $$({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}.$$

Тот факт, что операторы перевода унитарны, означает, что оператор импульса является эрмитовым .

Оператор-переводчик, работающий с бюстгальтером

Оператор перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |$ работа с бюстгальтером в положении собственного основания дает: $$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |$$

Доказательство

$${\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle$$Его сопряженное выражение: $$\langle \mathbf {r} |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |$$Используя результаты, приведенные выше, $({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )$: $$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(-\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |$$Замена $\mathbf {x}$ к $-\mathbf {x}$, $$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |$$

Разбиение перевода на составляющие

Согласно свойству «последовательные переводы», указанному выше, перевод вектором $\mathbf {x} =(x,y,z)$ можно записать как произведение переводов по компонентам: $${\hat {T}}(\mathbf {x} )={\hat {T}}(x\mathbf {\hat {x}} )\,{\hat {T}}(y\mathbf {\hat {y}} )\,{\hat {T}}(z\mathbf {\hat {z}} )$$где $\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}}$ являются единичными векторами.

Коммутатор с оператором положения

Предполагать $|\mathbf {r} \rangle$ является собственным вектором оператора положения $\mathbf {\hat {r}}$ с собственным значением $\mathbf {r}$. У нас есть $${\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} |\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle$$пока $$\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle ={\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle =(\mathbf {x} +\mathbf {r} )|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle$$

Следовательно, коммутатор между оператором перевода и оператором положения: $$[\mathbf {\hat {r}} ,{\hat {T}}(\mathbf {x} )]\equiv \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )-{\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {x} {\hat {T}}(\mathbf {x} )$$Это также можно записать (используя приведенные выше свойства) как: $$({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {x} {\hat {\mathbb {I} }}$$где ${\hat {\mathbb {I} }}$ является идентификационным оператором .

Коммутатор с оператором импульса

Поскольку все операторы перевода коммутируют друг с другом (см. выше) и поскольку каждый компонент оператора импульса представляет собой сумму двух масштабированных операторов перевода (например, ${\hat {p}}_{y}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {i\hbar }{\varepsilon }}\left({\hat {T}}((0,\varepsilon ,0))-{\hat {T}}((0,0,0))\right)$), отсюда следует, что все операторы перевода коммутируют с оператором импульса, т.е. $${\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {p} }}{\hat {T}}(\mathbf {x} )$$Эта коммутация с оператором импульса в целом справедлива, даже если система не изолирована, где энергия или импульс не могут сохраняться.

Группа переводов

Набор ${\mathfrak {T}}$ операторов перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ для всех $\mathbf {x}$, при этом операция умножения определяется как результат последовательных переводов (т.е. композиция функций ), удовлетворяет всем аксиомам группы :

Закрытие

Когда два перевода выполняются последовательно, в результате получается один другой перевод. (См. свойство «последовательные переводы» выше.)

Наличие личности

Перевод по вектору $\mathbf {0}$ — это идентификационный оператор , т.е. оператор, который ни на что не влияет. Он функционирует как элемент идентичности группы.

Каждый элемент имеет обратный

Как доказано выше, любой оператор перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ является обратным обратному переводу ${\hat {T}}(-\mathbf {x} )$.

Ассоциативность

Это утверждение, что ${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})\right)=\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})\right){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})$. Это верно по определению, как и в случае любой группы, основанной на композиции функций .

Следовательно, набор ${\mathfrak {T}}$ операторов перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ для всех $\mathbf {x}$ образует группу . Поскольку существует непрерывно бесконечное число элементов, группа перевода является непрерывной группой. При этом операторы трансляции коммутируют между собой, т.е. произведение двух трансляций (за одним переводом следует другой) не зависит от их порядка. Следовательно, группа трансляции является абелевой группой .

Группа сдвигов, действующая в гильбертовом пространстве собственных состояний положения, изоморфна группе векторных сложений в евклидовом пространстве .

Ожидаемые значения положения и импульса в переведенном состоянии

Рассмотрим одну частицу в одном измерении. В отличие от классической механики , в квантовой механике частица не имеет ни четко определенного положения, ни четко определенного импульса. В квантовой формулировке средние значения играют роль классических переменных. Например, если частица находится в состоянии $|\psi \rangle$, то математическое ожидание позиции равно $\langle \psi |\mathbf {\hat {r}} |\psi \rangle$, где $\mathbf {\hat {r}}$ является оператором позиции.

Если оператор перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ действует на государство $|\psi \rangle$, создание нового государства $|\psi _{2}\rangle$ тогда математическое ожидание позиции для $|\psi _{2}\rangle$ равно математическому ожиданию позиции для $|\psi \rangle$ плюс вектор $\mathbf {x}$. Этот результат соответствует тому, что можно было бы ожидать от операции, сдвигающей частицу на такую ​​величину.

Доказательство того, что оператор перевода меняет математическое ожидание позиции так, как вы ожидаете.

Предполагать $|\psi _{2}\rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle$ как сказано выше. $${\begin{aligned}\langle \psi _{2}|{\hat {\mathbf {r} }}|\psi _{2}\rangle &=(\langle \psi |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }){\hat {\mathbf {r} }}({\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle )\\&=\langle \psi |{\hat {\mathbf {r} }}|\psi \rangle +\mathbf {x} \end{aligned}}$$используя условие нормировки $\langle \psi |\psi \rangle =1$и результат коммутатора, доказанный в предыдущем разделе.

С другой стороны, когда оператор перевода воздействует на состояние, математическое ожидание импульса не изменяется. Это можно доказать аналогично предыдущему, но используя тот факт, что операторы перевода коммутируют с оператором импульса. Этот результат снова соответствует ожиданиям: перемещение частицы не меняет ее скорости или массы, поэтому ее импульс не должен меняться.

Трансляционная инвариантность

В квантовой механике гамильтониан представляет собой энергию и динамику системы. Позволять $|\mathbf {r} _{T}\rangle \equiv {\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle$быть вновь переведенным состоянием (аргумент ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ здесь не имеет значения и временно опущено для краткости). Гамильтониан называется инвариантным, если $$\langle \mathbf {r} _{T}|{\hat {H}}|\mathbf {r} _{T}\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle$$или $$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle$$Это означает, что $${\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}={\hat {H}}$$$${\hat {H}}{\hat {T}}-{\hat {T}}{\hat {H}}=[{\hat {H}},{\hat {T}}]=0$$

Таким образом, если гамильтониан инвариантен относительно перевода, он коммутирует с оператором перевода (грубо говоря, если мы переводим систему, затем измеряем ее энергию, а затем переводим ее обратно, это равнозначно тому же, что просто непосредственное измерение ее энергии) .

Непрерывная трансляционная симметрия

Смотрите также: теорема Нётер

Сначала рассмотрим случай, когда все операторы сдвига являются симметриями системы. Как мы увидим, в этом случае сохранение импульса происходит .

Например, если ${\hat {H}}$ - гамильтониан, описывающий все частицы и поля во Вселенной, и ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ — это оператор перевода, который сдвигает все частицы и поля во Вселенной одновременно на одну и ту же величину, то это всегда симметрия: ${\hat {H}}$ описывает полные законы физики в нашей Вселенной, которые не зависят от местоположения. Как следствие, закон сохранения импульса универсален.

С другой стороны, возможно ${\hat {H}}$ и ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ относятся только к одной частице. Тогда операторы перевода ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ являются точными симметриями только в том случае, если частица находится одна в вакууме. Соответственно, импульс одиночной частицы обычно не сохраняется (он меняется при столкновении частицы с другими объектами), но сохраняется, если частица находится одна в вакууме.

Поскольку гамильтониан коммутирует с оператором перевода, когда сдвиг инвариантен $$\left[{\hat {H}},{\hat {T}}(\mathbf {x} )\right]=0\,,$$он также коммутирует с оператором бесконечно малого перевода $${\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{N\hbar }}\right]=0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\end{aligned}}$$Таким образом, всякий раз, когда гамильтониан системы остается инвариантным при непрерывном сдвиге, система сохраняет импульс , а это означает, что математическое ожидание оператора импульса остается постоянным. Это пример теоремы Нётер .

Дискретная трансляционная симметрия

Смотрите также: теорема Блоха

Существует еще один частный случай, когда гамильтониан может быть трансляционно-инвариантным. Этот тип трансляционной симметрии наблюдается всякий раз, когда потенциал является периодическим : $$V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})$$В общем, гамильтониан не инвариантен ни при каком сдвиге, представленном формулой ${\hat {T}}_{j}(x_{j})$ с $x_{j}$ произвольный, где ${\hat {T}}_{j}(x_{j})$ имеет свойство: $${\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle$$и, $$({\hat {T}}_{j}(x_{j}))^{\dagger }{\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}$$(где ${\hat {\mathbb {I} }}$ — идентификационный оператор ; см. доказательство выше).

Но всякий раз, когда $x_{j}$ совпадает с периодом потенциального $a$, $$({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})$$Поскольку кинетическая часть гамильтониана ${\hat {H}}$ уже инвариантен относительно любого произвольного перевода, будучи функцией $\mathbf {\hat {p}}$, весь гамильтониан удовлетворяет $$({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}$$Теперь гамильтониан коммутирует с оператором сдвига, т. е. их можно одновременно диагонализовать . Следовательно, гамильтониан инвариантен относительно такого переноса (который уже не остается непрерывным). Трансляция становится дискретной с периодом потенциала.

Дискретный перевод в периодическом потенциале: теорема Блоха

Основная статья: теорема Блоха

Ионы в идеальном кристалле расположены в регулярном периодическом порядке. Итак, мы подошли к проблеме электрона в потенциале. $V(\mathbf {r} )$ с периодичностью базовой решетки Браве $$V(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=V(\mathbf {r} )$$ для всех векторов решетки Браве $\mathbf {R}$

Однако идеальная периодичность — это идеализация. Реальные твердые тела никогда не бывают абсолютно чистыми, и вблизи атомов примесей твердое тело не такое, как в других частях кристалла. Более того, ионы на самом деле не стационарны, а постоянно испытывают тепловые колебания около своего положения равновесия. Они разрушают идеальную трансляционную симметрию кристалла. Для решения задач такого типа основная проблема искусственно разделена на две части: (а) идеальный фиктивный совершенный кристалл, в котором потенциал действительно периодический, и (б) влияние на свойства гипотетического идеального кристалла всех отклонения от идеальной периодичности рассматриваются как небольшие возмущения.

Хотя проблема электронов в твердом теле в принципе является многоэлектронной задачей, в приближении независимых электронов каждый электрон подчиняется одноэлектронному уравнению Шредингера с периодическим потенциалом и известен как блоховский электрон. (в отличие от свободных частиц , в которые уменьшаются блоховские электроны, когда периодический потенциал тождественно равен нулю.)

Для каждого вектора решетки Браве $\mathbf {R}$ мы определяем оператор перевода ${\hat {T}}_{\mathbf {R} }$ который при работе с какой-либо функцией $f(\mathbf {r} )$ сдвигает аргумент на $\mathbf {R}$: $${\hat {T}}_{\mathbf {R} }f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$$Поскольку все переводы образуют абелеву группу, результат применения двух последовательных переводов не зависит от порядка их применения, т.е. $${\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}$$Кроме того, поскольку гамильтониан периодический, имеем: $${\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} }$$Следовательно, ${\hat {T}}_{\mathbf {R} }$ для всех векторов решетки Браве $\mathbf {R}$ и гамильтониан ${\hat {H}}$ образуют набор коммутирующих операторов . Следовательно, собственные состояния ${\hat {H}}$ могут быть выбраны как одновременные собственные состояния всех ${\hat {T}}_{\mathbf {R} }$: $${\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi$$$${\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi$$

Собственные значения $c(\mathbf {R} )$ операторов перевода связаны из-за условия: $${\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}$$У нас есть, $${\begin{aligned}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi &=c(\mathbf {R} _{1}){\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi \\&=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})\psi \end{aligned}}$$И, $${\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }\psi =c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})\psi$$Следовательно, отсюда следует, что $$c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})$$Теперь позвольте $\mathbf {a} _{i}$это три примитивных вектора решетки Браве. Путем подходящего выбора $x_{i}$, мы всегда можем написать $c(\mathbf {a} _{i})$ в форме $$c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}$$Если $\mathbf {R}$ - общий вектор решетки Браве, определяемый формулой $$\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$$тогда следует, $${\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1})c(n_{2}\mathbf {a} _{2})c(n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}}\end{aligned}}$$Замена $c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}$ человек получает, $${\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\end{aligned}}$$где $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}$ и $\mathbf {b} _{i}$'s - векторы обратной решетки, удовлетворяющие уравнению $\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}$

Следовательно, можно выбрать одновременные собственные состояния $\psi$ гамильтониана ${\hat {H}}$ и ${\hat {T}}_{\mathbf {R} }$ так что для любого вектора решетки Браве $\mathbf {R}$, $${\begin{aligned}\psi (\mathbf {r+R} )&={\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\\&=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\end{aligned}}$$Так,

$\psi (\mathbf {r+R} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )$

Этот результат известен как теорема Блоха .

Временная эволюция и трансляционная инвариантность

Основная статья: Симметрия перевода времени

Трансляционная инвариантность: временная эволюция волновых функций.

В картине пассивного преобразования трансляционная инвариантность требует: $$[{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {H}}]=0$$Отсюда следует, что $$[{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {U}}(t)]=0$$где ${\hat {U}}(t)$ — унитарный оператор временной эволюции. Когда гамильтониан не зависит от времени , $${\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\right)$$Если гамильтониан зависит от времени, указанное выше коммутационное соотношение выполняется, если ${\hat {p}}$ или ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ ездит с ${\hat {H}}(t)$ для всех т.

Пример

Предположим, в $t=0$ два наблюдателя A и B готовят идентичные системы в $x=0$ и $x=a$ (рис. 1) соответственно. Если $|\psi (0)\rangle$ быть вектором состояния системы, подготовленной A, тогда вектор состояния системы, подготовленной B, будет иметь вид $${\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle$$Обе системы выглядят одинаково для наблюдателей, которые их подготовили. Спустя время $t$, векторы состояния превращаются в ${\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle$ и ${\hat {U}}(t){\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle$ соответственно.Используя вышеупомянутое коммутационное соотношение, последнее можно записать как: $${\hat {T}}(\mathbf {a} ){\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle$$это просто переведенная версия системы, подготовленная А в свое время $t$. Таким образом, две системы, различавшиеся лишь переводом на $t=0$, отличаются только одним и тем же переводом в любой момент времени. Временная эволюция обеих систем кажется одинаковой наблюдателям, которые их подготовили. Можно сделать вывод, что трансляционная инвариантность гамильтониана подразумевает, что один и тот же эксперимент, повторенный в двух разных местах, даст один и тот же результат (как видят местные наблюдатели).

См. также

• состояние Блоха
• Группа
• Периодическая функция
• Оператор смены
• Симметрии в квантовой механике
• Симметрия перевода времени
• Трансляционная симметрия