Полный набор коммутирующих наблюдаемых

В квантовой механике полный набор коммутирующих наблюдаемых (CSCO) — это набор коммутирующих операторов , общие собственные векторы которых можно использовать в качестве основы для выражения любого квантового состояния . В случае операторов с дискретным спектром CSCO представляет собой набор коммутирующих наблюдаемых, чьи одновременные собственные пространства охватывают гильбертово пространство, так что собственные векторы однозначно определяются соответствующими наборами собственных значений.

В некоторых простых случаях, таких как задачи о связанных состояниях в одном измерении, энергетический спектр невырожден, и энергию можно использовать для однозначной маркировки собственных состояний. В более сложных задачах энергетический спектр вырождается , и для различения собственных состояний необходимы дополнительные наблюдаемые.

Поскольку каждая пара наблюдаемых в наборе коммутирует, все наблюдаемые совместимы, так что измерение одной наблюдаемой не влияет на результат измерения другой наблюдаемой в наборе. Поэтому нет необходимости указывать порядок измерения различных наблюдаемых величин. Измерение полного набора наблюдаемых представляет собой полное измерение в том смысле, что оно проецирует квантовое состояние системы на уникальный и известный вектор в базисе, определяемом набором операторов. То есть, чтобы подготовить полностью заданное состояние, мы должны произвольно взять любое состояние, а затем выполнить последовательность измерений, соответствующую всем наблюдаемым в наборе, пока оно не станет однозначно заданным вектором в гильбертовом пространстве (с точностью до фазового ).

Теорема совместимости

Рассмотрим две наблюдаемые: $A$ и $B$, представленный операторами ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. $A$ и $B$ являются совместимыми наблюдаемыми.
2. ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ имеют общий собственный базис.
3. Операторы ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ ездить на работу , это означает, что $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=0$.

Доказательства

Доказательство того, что общий собственный базис влечет за собой коммутацию.

Позволять $\{|\psi _{n}\rangle \}$ быть набором ортонормированных состояний (т.е. $\langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =\delta _{m,n}^{\,}$), которые образуют полный собственный базис для каждой из двух совместимых наблюдаемых $A$ и $B$ представленные самосопряженными операторами ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ с соответствующими (действительными) собственными значениями $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$, соответственно. Это означает, что

${\hat {A}}{\hat {B}}|\psi _{n}\rangle ={\hat {A}}b_{n}|\psi _{n}\rangle =a_{n}b_{n}|\psi _{n}\rangle =b_{n}a_{n}|\psi _{n}\rangle ={\hat {B}}{\hat {A}}|\psi _{n}\rangle ,$

для каждого взаимного собственного состояния $|\psi _{n}\rangle$. Поскольку собственный базис полон, мы можем расширить произвольное состояние $|\Psi \rangle$ в соответствии с

$|\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|\psi _{n}\rangle ,$

где $c_{n}=\langle \psi _{n}|\Psi \rangle$. Приведенные выше результаты подразумевают, что

$({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\psi _{n}\rangle =0,$

для любого государства $|\Psi \rangle$. Таким образом, ${\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$, что означает, что два оператора коммутируют.

Доказательство того, что коммутирующие наблюдаемые обладают полным набором общих собственных функций.

---

Когда $A$ имеет невырожденные собственные значения:

---

Позволять $\{|\psi _{n}\rangle \}$ — полный набор ортонормированных собственных кетов самосопряженного оператора $A$ соответствующий набору действительных собственных значений $\{a_{n}\}$.Если самосопряженные операторы $A$ и $B$ ездим на работу, мы можем написать

$A(B|\psi _{n}\rangle )=BA|\psi _{n}\rangle =a_{n}(B|\psi _{n}\rangle )$

Итак, если $B|\psi _{n}\rangle \neq 0$, мы можем сказать, что $B|\psi _{n}\rangle$ является собственным $A$ соответствующее собственному значению $a_{n}$. Поскольку оба $B|\psi _{n}\rangle$ и $|\psi _{n}\rangle$ являются собственными кетками, связанными с одним и тем же невырожденным собственным значением $a_{n}$, они могут отличаться не более чем на мультипликативную константу. Мы называем эту константу $b_{n}$. Так,

$B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle$ ,

что означает $|\psi _{n}\rangle$ является собственным $B$, и таким образом $A$ и $B$ одновременно . В случае $B|\psi _{n}\rangle =0$, ненулевой вектор $|\psi _{n}\rangle$ является собственным $B$ с собственным значением $b_{n}=0$.

---

Когда $A$ имеет вырожденные собственные значения:

---

Предположим, каждый $a_{n}$ является $g$ -кратно вырожден. Пусть соответствующие ортонормированные собственные кетоны будут $|\psi _{nr}\rangle ,r\in \{1,2,\dots ,g\}$.С $[A,B]=0$, мы рассуждаем, как указано выше, и находим, что $B|\psi _{nr}\rangle$ является собственным $A$ соответствующее вырожденному собственному значению $a_{n}$. Итак, мы можем расширить $B|\psi _{nr}\rangle$ на основе вырожденных собственных сетей $a_{n}$:

$B|\psi _{nr}\rangle =\sum _{s=1}^{g}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle$

The $c_{rs}$ являются коэффициентами расширения. Коэффициенты $c_{rs}$ образуют самосопряженную матрицу, поскольку $\langle \psi _{ns}|B|\psi _{nr}\rangle =c_{rs}$. Следующим шагом будет диагонализация матрицы $c_{rs}$. Для этого суммируем все $r$ с $g$ константы $d_{r}$. Так,

$B\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle =\sum _{r=1}^{g}\sum _{s=1}^{g}d_{r}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle$

Так, $\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ будет собственным $B$ с собственным значением $b_{n}$ если у нас есть

$\sum _{r=1}^{g}d_{r}c_{rs}=b_{n}d_{s},s=1,2,...g$

Это представляет собой систему $g$ линейные уравнения для констант $d_{r}$. Нетривиальное решение существует, если

$\det[c_{rs}-b_{n}\delta _{rs}]=0$

Это уравнение порядка $g$ в $b_{n}$и имеет $g$ корни. Для каждого корня $b_{n}=b_{n}^{(k)},k=1,2,...g$ у нас есть нетривиальное решение $d_{r}$, сказать, $d_{r}^{(k)}$. Ввиду самосопряжения $c_{rs}$, все решения линейно независимы. Поэтому они образуют новую основу

$|\phi _{n}^{(k)}\rangle =\sum _{r=1}^{g}d_{r}^{(k)}|\psi _{nr}\rangle$

$|\phi _{n}^{(k)}\rangle$ одновременно является собственным $A$ и $B$ с собственными значениями $a_{n}$ и $b_{n}^{(k)}$ соответственно.

Обсуждение

Мы рассматриваем две приведенные выше наблюдаемые $A$ и $B$. Предположим, существует полный набор кетов $\{|\psi _{n}\rangle \}$ каждый элемент которого одновременно является собственным $A$ и $B$. Тогда мы говорим, что $A$ и $B$ совместимы ​ . Если обозначить собственные значения $A$ и $B$ соответствующий $|\psi _{n}\rangle$ соответственно $a_{n}$ и $b_{n}$, мы можем написать

$A|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle$

$B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle$

Если система находится в одном из собственных состояний, скажем, $|\psi _{n}\rangle$, то оба $A$ и $B$ можно одновременно измерить с любой произвольной степенью точности, и мы получим результаты $a_{n}$ и $b_{n}$ соответственно. Эту идею можно распространить на более чем две наблюдаемые.

Примеры совместимых наблюдаемых

Декартовы компоненты оператора позиции $\mathbf {r}$ являются $x$, $y$ и $z$. Все эти компоненты совместимы. Аналогично, декартовы компоненты оператора импульса $\mathbf {p}$, то есть $p_{x}$, $p_{y}$ и $p_{z}$ также совместимы.

Формальное определение

Набор наблюдаемых $A,B,C...$ называется CSCO, если:

1. Все наблюдаемые коммутируют парами.
2. Если мы укажем собственные значения всех операторов в CSCO, мы идентифицируем уникальный собственный вектор (с точностью до фазы) в гильбертовом пространстве системы.

Если нам дана CSCO, мы можем выбрать базис пространства состояний, составленный из общих собственных векторов соответствующих операторов. Мы можем однозначно идентифицировать каждый собственный вектор (с точностью до фазы) по набору собственных значений, которым он соответствует.

Обсуждение

Пусть у нас будет оператор ${\hat {A}}$ наблюдаемого $A$, который имеет все невырожденные собственные значения $\{a_{n}\}$. В результате каждому собственному значению соответствует одно уникальное собственное состояние, что позволяет нам маркировать их соответствующими собственными значениями. Например, собственное состояние ${\hat {A}}$ соответствующее собственному значению $a_{n}$ может быть обозначен как $|a_{n}\rangle$. Такая наблюдаемая сама по себе является самодостаточной CSCO.

Однако если некоторые из собственных значений $a_{n}$ вырождены вырожденные (например, имеют уровни энергии ), то приведенный выше результат больше не выполняется. В таком случае нам необходимо различать собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению. Для этого вводится вторая наблюдаемая (назовем ее $B$), который совместим с $A$. Теорема совместимости говорит нам, что общий базис собственных функций ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ можно найти. Теперь, если каждая пара собственных значений $(a_{n},b_{n})$ однозначно определяет вектор состояния этого базиса, мы утверждаем, что сформировали CSCO: множество $\{A,B\}$. Вырождение в ${\hat {A}}$ полностью удаляется.

Тем не менее может случиться так, что вырождение не будет снято полностью. То есть существует хотя бы одна пара $(a_{n},b_{n})$ который не идентифицирует однозначно один собственный вектор. В этом случае мы повторяем описанный выше процесс, добавляя еще одну наблюдаемую $C$, который совместим с обоими $A$ и $B$. Если в основе общих собственных функций ${\hat {A}}$, ${\hat {B}}$ и ${\hat {C}}$ уникален, то есть однозначно задается набором собственных значений $(a_{n},b_{n},c_{n})$, то мы сформировали CSCO: $\{A,B,C\}$. Если нет, мы добавляем еще одну совместимую наблюдаемую и продолжаем процесс до получения CSCO.

Одно и то же векторное пространство может иметь разные полные наборы коммутирующих операторов.

Предположим, нам дан конечный CSCO $\{A,B,C,...,\}$. Тогда мы можем разложить любое общее состояние в гильбертовом пространстве как

$|\psi \rangle =\sum _{i,j,k,...}{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$

где $|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$ являются собственными сетями операторов ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}$, и образуют базисное пространство. То есть,

${\hat {A}}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle =a_{i}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$, и т. д

Если мы измерим $A,B,C,...$ в штате $|\psi \rangle$ тогда вероятность того, что мы одновременно измеряем $a_{i},b_{j},c_{k},...$ дается $|{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}$.

Для полного набора коммутирующих операторов мы можем найти унитарное преобразование, которое одновременно диагонализирует их все.

Примеры

Атом водорода без спина электрона или протона

Основная статья: Водородоподобный атом

Две компоненты оператора углового момента $\mathbf {L}$ не коммутируют, а удовлетворяют коммутационным соотношениям:

$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}$

Таким образом, любая CSCO не может включать более одного компонента $\mathbf {L}$. Можно показать, что квадрат оператора углового момента $L^{2}$, ездит с $\mathbf {L}$.

$[L_{x},L^{2}]=0,[L_{y},L^{2}]=0,[L_{z},L^{2}]=0$

Кроме того, гамильтониан ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {Ze^{2}}{r}}$ является функцией $r$ только и имеет вращательную инвариантность, где $\mu$ – приведенная масса системы. Поскольку компоненты $\mathbf {L}$ являются генераторами вращения, можно показать, что

$[\mathbf {L} ,H]=0,[L^{2},H]=0$

Следовательно, коммутирующее множество состоит из $L^{2}$, один из компонентов $\mathbf {L}$ (что принято считать $L_{z}$) и $H$. Решение задачи говорит нам о том, что без учета спина электронов множество $\{H,L^{2},L_{z}\}$ образует CSCO. Позволять $|E_{n},l,m\rangle$ быть любым базисным состоянием в гильбертовом пространстве водородного атома. Затем

$H|E_{n},l,m\rangle =E_{n}|E_{n},l,m\rangle$

$L^{2}|E_{n},l,m\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|E_{n},l,m\rangle$

$L_{z}|E_{n},l,m\rangle =m\hbar |E_{n},l,m\rangle$

То есть набор собственных значений $\{E_{n},l,m\}$ или проще говоря, $\{n,l,m\}$ полностью определяет уникальное собственное состояние атома водорода.

Свободная частица

Основная статья: Свободная частица § Нерелятивистская квантовая свободная частица

Для свободной частицы гамильтониан $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$ инвариантен относительно трансляций. Перевод коммутирует с гамильтонианом: $[H,\mathbf {\hat {T}} ]=0$. Однако если мы выразим гамильтониан через оператор перевода, то обнаружим, что $H$ имеет двукратно вырожденные собственные значения. Можно показать, что для создания CSCO в этом случае нам нужен еще один оператор, называемый четности . оператором $\Pi$, такой, что $[H,\Pi ]=0$. $\{H,\Pi \}$ образует CSCO.

Опять же, пусть $|k\rangle$ и $|-k\rangle$ быть вырожденными собственными состояниями $H$соответствующее собственному значению $H_{k}={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}$, то есть

$H|k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|k\rangle$

$H|-k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|-k\rangle$

Вырождение в $H$ удаляется оператором импульса $\mathbf {\hat {p}}$.

$\mathbf {\hat {p}} |k\rangle =k|k\rangle$

$\mathbf {\hat {p}} |-k\rangle =-k|-k\rangle$

Так, $\{\mathbf {\hat {p}} ,H\}$ образует CSCO.

Сложение угловых моментов

Мы рассматриваем случай двух систем 1 и 2 с соответствующими операторами углового момента $\mathbf {J_{1}}$ и $\mathbf {J_{2}}$. Мы можем написать собственные состояния $J_{1}^{2}$ и $J_{1z}$ как $|j_{1}m_{1}\rangle$ и из $J_{2}^{2}$ и $J_{2z}$ как $|j_{2}m_{2}\rangle$.

$J_{1}^{2}|j_{1}m_{1}\rangle =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2}|j_{1}m_{1}\rangle$

$J_{1z}|j_{1}m_{1}\rangle =m_{1}\hbar |j_{1}m_{1}\rangle$

$J_{2}^{2}|j_{2}m_{2}\rangle =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}|j_{2}m_{2}\rangle$

$J_{2z}|j_{2}m_{2}\rangle =m_{2}\hbar |j_{2}m_{2}\rangle$

Тогда базисными состояниями полной системы будут $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ данный

$|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle$

Следовательно, для полной системы набор собственных значений $\{j_{1},m_{1},j_{2},m_{2}\}$ полностью определяет уникальное базовое состояние и $\{J_{1}^{2},J_{1z},J_{2}^{2},J_{2z}\}$ образует CSCO.Эквивалентно, существует другой набор базисных состояний системы в терминах оператора полного углового момента $\mathbf {J} =\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}}$. Собственные значения $J^{2}$ являются $j(j+1)\hbar ^{2}$ где $j$ принимает значения $j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,...,|j_{1}-j_{2}|$и те из $J_{z}$ являются $m$ где $m=-j,-j+1,...j-1,j$. Базовые состояния операторов $J^{2}$ и $J_{z}$ являются $|j_{1}j_{2};jm\rangle$. Таким образом, мы также можем указать уникальное базисное состояние в гильбертовом пространстве полной системы с помощью набора собственных значений $\{j_{1},j_{2},j,m\}$, а соответствующий CSCO $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$.

См. также

• Квантовое число
  • Хорошее квантовое число
• Вырожденные уровни энергии
• Математическая структура квантовой механики
• Операторы в квантовой механике
• Каноническое коммутационное соотношение
• Измерение в квантовой механике
• Коллапс волновой функции
• Угловой момент (квантовая механика)

Дальнейшее чтение

• Гасиорович, Стивен (1974), Квантовая физика , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-29281-4 .
• Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . Том. 1. Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-0-471-16433-3 . ОСЛК   2089460 .
• Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . Том. 2. Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-0-471-16435-7 . ОСЛК   45727993 .
• Дирак, ПАМ (1958). Принципы квантовой механики . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-851208-0 . OCLC   534829 .
• Р. П. Фейнман, Р.Б. Лейтон и М. Сэндс: Фейнмановские лекции по физике , Аддисон-Уэсли, 1965 г.
• Р. Шанкар, Принципы квантовой механики , второе издание, Springer (1994).
• Дж. Дж. Сакурай, Современная квантовая механика , исправленное издание, Pearson (1994).
• Б. Х. Брансден и К. Дж. Джоахейн, Квантовая механика , второе издание, Pearson Education Limited, 2000.
• Для обсуждения теоремы совместимости, Конспекты лекций Школы физики и астрономии Эдинбургского университета. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf .
• Слайд о CSCO в конспектах лекций профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
• Раздел о свободной частице в конспектах лекций профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf