Связанное состояние

Связанное состояние — это соединение двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которое ведет себя как единый объект и для его разделения требуется энергия.

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы , подверженное такому потенциалу , что частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства. Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы. Одним из последствий является то, что, учитывая потенциал, исчезающий на бесконечности , состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр множества связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц , которые имеют непрерывный спектр.

Метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но длительным временем затухания, хотя и не являются связанными состояниями в строгом смысле этого слова, часто также считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями». Примеры включают радионуклиды и атомы Ридберга .

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние n частиц с массами $\{m_{k}\}_{k=1}^{n}$ соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс менее $\textstyle \sum _{k}m_{k}$. Неустойчивое . связанное состояние проявляется в виде полюса со сложной энергией центра масс

Примеры

Обзор различных семейств элементарных и составных частиц и теорий, описывающих их взаимодействия.

• Протон ; и электрон могут двигаться отдельно когда они это делают, общая энергия центра масс положительна, и такую ​​пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и связанное состояние, а именно атом водорода образуется . Стабильным является только связанное состояние с наименьшей энергией, основное состояние . Другие возбужденные состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией путем испускания фотона .
• « Атом позитрония » это нестабильное связанное состояние электрона . и позитрона — Он распадается на фотоны .
• Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что $\lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty$ , поэтому приведенное ниже не применимо.
• Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов ( нуклонов ).
• Сам протон верхних представляет собой связанное состояние трех кварков (два и один нижний ; один красный , один зеленый и один синий ). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть изолированы. См . заключение .
• Модели Хаббарда Джейнса-Каммингса- Хаббарда и (JCH) поддерживают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решетке . Гамильтониан JCH также поддерживает двухполяритонные связанные состояния, когда взаимодействие фотона с атомом достаточно сильное.

Определение

Смотрите также: Разложение спектра (функциональный анализ) § Квантовая механика

Пусть σ -конечное пространство с мерой $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ быть вероятностным пространством, связанным с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством $H$. Определите однопараметрическую группу унитарных операторов $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$, оператор плотности $\rho =\rho (t_{0})$ и наблюдаемый $T$ на $H$. Позволять $\mu (T,\rho )$ быть индуцированным распределением вероятностей $T$ относительно $\rho$. Тогда эволюция

$\rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)$

связан по отношению к $T$ если

$\lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0$,

где $\mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace$.

Квантовая частица находится в связанном состоянии , если ни в какой момент времени она не оказывается «слишком далеко» от любой конечной области. $R\subset X$. используя представление волновой функции Например, , это означает

${\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}$

такой, что

$\int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .$

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена. $t\in \mathbb {R}$. Кроме того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра $T$ тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием $T$.

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемого. Для конкретного примера: пусть $H:=L^{2}(\mathbb {R} )$ и пусть $T$ быть оператором позиции . Учитывая компактную поддержку $\rho =\rho (0)\in H$ и $[-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )$.

• Если эволюция состояния $\rho$ «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если $[t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))$ для всех $t\geq 0$, затем $\rho$ не является связанным состоянием по отношению к позиции.
• Если $\rho$ не меняется во времени, т.е. $\rho (t)=\rho$ для всех $t\geq 0$, затем $\rho$ связан относительно позиции.
• В более общем плане: если эволюция состояния $\rho$ "просто движется $\rho$ внутри ограниченной области", то $\rho$ связан относительно позиции.

Свойства

Смотрите также: Спектр (физические науки) § Непрерывный и дискретный спектры

Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чисто точечной части спектра, связанные состояния должны лежать в чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер , энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме .

Состояния, связанные с положением

Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если государство обладает энергией ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$, то волновая функция ψ удовлетворяет для некоторого $X>0$

${\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X$

так что ψ экспоненциально подавляется при больших x . Такое поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где наблюдается колебательное поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение роста/затухания, если оно положительно. Следовательно, состояния с отрицательной энергией связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Невырожденность в

Можно показать, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

showДоказательство

Consider two energy eigenstates states ${\textstyle \Psi _{1}}$ and ${\textstyle \Psi _{2}}$ with same energy eigenvalue. Then since, the Schrodinger equation, which is expressed as: $$E=-{\frac {1}{\Psi _{i}(x,t)}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{i}(x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)$$ is satisfied for i = 1 and 2, subtracting the two equations gives: $${\frac {1}{\Psi _{1}(x,t)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{1}(x,t)}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{\Psi _{2}(x,t)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}}=0$$ which can be rearranged to give the condition: $${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}\Psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}\Psi _{1}\right)=0$$ Since ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)=C}$, taking limit of x going to infinity on both sides, the wavefunctions vanish and gives ${\textstyle C=0}$. Solving for ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)={\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)}$, we get: ${\textstyle \Psi _{1}(x)=k\Psi _{2}(x)}$ which proves that the energy eigenfunction of a 1D bound state is unique. Furthermore it can be shown that these wavefunctions can always be represented by a completely real wavefunction. Define real functions ${\textstyle \rho _{1}(x)}$ and ${\textstyle \rho _{2}(x)}$ such that ${\textstyle \Psi (x)=\rho _{1}(x)+i\rho _{2}(x)}$. Then, from Schrodinger's equation: $$\Psi ''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\Psi$$ we get that, since the terms in the equation are all real values: $$\rho _{i}''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\rho _{i}$$ applies for i = 1 and 2. Thus every 1D bound state can be represented by completely real eigenfunctions. Note that real function representation of wavefunctions from this proof applies for all non-degenerate states in general.

Теорема об узлах

Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, т.е. очки $x=a$ где $\psi (a)=0\neq \psi '(a)$. Из-за формы независимых от времени уравнений Шредингера физическая волновая функция не может иметь $\psi (a)=0=\psi '(a)$ поскольку это соответствует $\psi (x)=0$ решение.

Требования

Бозон опосредующий с массой m _χ, слабосвязанное взаимодействие , создает потенциал взаимодействия типа Юкавы :

$V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}$,

где $\alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi$, g — калибровочная константа связи, ƛ _i = ℏ / m _i c — приведенная комптоновская длина волны . Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как вектор притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как пары. Для двух частиц масс m ₁ и m ₂ боровский радиус системы становится

$a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}$

и дает безразмерное число

$D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}$.

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало, $D\gtrsim 0.8$. Поскольку фотон безмассовый, D бесконечно для электромагнетизма . Для слабого взаимодействия масса Z -бозона равна 91,1876 ± 0,0021 ГэВ/ с. ² , что предотвращает образование связанных состояний между большинством частиц, поскольку оно в 97,2 раза больше в массы массы протона и 000 раз больше электрона 178 .

Обратите внимание, однако, что если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе SU(2) , то слабое взаимодействие стало бы ограничивающим .

См. также

• Уравнение Бете – Солпитера
• Связанное состояние в континууме
• Составное поле
• Купер пара
• Резонанс (физика элементарных частиц)
• Теорема Левинсона

Дальнейшее чтение

• Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эдвард (2015). «Некоторые приложения спектрального представления». Математические методы в физике: распределения, операторы гильбертова пространства, вариационные методы и приложения в квантовой физике (2-е изд.). Швейцария: Международное издательство Springer. п. 431. ИСБН  978-3-319-14044-5 .

• Густафсон, Стивен Дж.; Сигал, Израиль Майкл (2011). «Спектр и динамика». Математические концепции квантовой механики (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 50. ISBN  978-3-642-21865-1 .

• Рюэль, Дэвид (9 января 2016 г.). «Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния» (PDF) . Нуово Чименто А. 61 (июнь 1969 г.): 655–662. дои : 10.1007/BF02819607 . S2CID   56050354 . Проверено 27 декабря 2021 г.