Фрактон (подпространственная частица)

Не путать с фрактоном , фрактальным аналогом фонона.

Фрактон возбуждение , — это возникающее топологическое квазичастичное которое в изоляции неподвижно. Было предложено множество теоретических систем, в которых фрактоны существуют как элементарные возбуждения. Такие системы известны как фрактонные модели. Фрактоны были идентифицированы в различных кодах CSS , а также в симметричных тензорных калибровочных теориях.

Модели фрактонов с разрывами часто характеризуются вырождением топологического основного состояния, которое растет экспоненциально и субэкстенсивно с увеличением размера системы. Среди пропущенных фаз фрактонных моделей существует нестрогая феноменологическая классификация на «тип I» и «тип II». Модели фрактонов типа I обычно имеют фрактонные возбуждения, которые полностью неподвижны, а также другие возбуждения, включая связанные состояния, с ограниченной подвижностью. Модели фрактонов типа II обычно имеют фрактонные возбуждения и не имеют подвижных частиц какой-либо формы. Кроме того, изолированные фрактонные частицы в моделях типа II связаны с нелокальными операторами со сложной фрактальной структурой.

Модели

Тип I

Парадигматическим примером модели фрактона типа I является модель X-куба. Другие примеры фрактонных моделей типа I включают семионическую модель X-куба, модель шахматной доски, модель шахматной доски Майораны, сложенную модель X-куба Кагоме, модель X-куба гиперкагоме и другие.

Модель X-куба

Модель X-куба построена на кубической решетке с кубитами на каждом ребре решетки.

Гамильтониан определяется выражением

$H=-\sum _{c}A_{c}-\sum _{{\textrm {}}v}(B_{v,x}+B_{v,y}+B_{v,z})$

Здесь суммы бегут по кубическим ячейкам и вершинам. Для любой кубической элементарной ячейки $c$, оператор $A_{c}$ равен произведению Паули $X$ оператор на всех 12 ребрах этого единичного куба. Для любой вершины решетки $v$, оператор $B_{v,\mu }$ равен произведению Паули $Z$ оператор на всех четырех ребрах, прилегающих к вершине $v$ и перпендикулярно $\mu$ ось. Другие соглашения об обозначениях в литературе могут взаимозаменять друг друга. $X$ и $Z$.

Помимо подчинения общему $Z_{2}\times Z_{2}$ симметрия, определяемая генераторами глобальной симметрии $\prod _{\ell }X_{\ell }$ и $\prod _{\ell }Z_{\ell }$ где произведение пробегает все ребра решетки, этот гамильтониан подчиняется симметрии подсистемы, действующей на отдельных плоскостях.

Все члены этого гамильтониана коммутируют и принадлежат алгебре Паули. Это делает гамильтониан точно решаемым. Можно одновременно диагонализировать все члены гамильтониана, и одновременные собственные состояния являются собственными энергетическими состояниями гамильтониана. Основным состоянием этого гамильтониана является состояние $|\mathrm {GS} \rangle$ это удовлетворяет $A_{c}|\mathrm {GS} \rangle =1$ и $B_{v,\mu }|\mathrm {GS} \rangle =1$ для всех $c,v,\mu$. Можно явно записать основное состояние, используя операторы проектирования. ${\frac {1+A_{c}}{2}}$ и ${\frac {1+B_{v,\mu }}{2}}$.

Ограничения, налагаемые $A_{c}=1$ и $B_{v,\mu }=1$ не все линейно независимы, когда модель X-куба вложена в компактное многообразие. Это приводит к значительному вырождению основного состояния, которое увеличивается с размером системы. На торе с размерностями $L_{x},L_{y},L_{z}$, вырождение основного состояния в точности равно $2^{2L_{x}+2L_{y}+2L_{z}-3}$ . Аналогичное масштабирование вырождения, $\log \mathrm {GSD} \propto L$, наблюдается на других многообразиях, а также в термодинамическом пределе.

Возбуждения с ограниченной подвижностью

Модель X-куба содержит два типа элементарных возбуждений: фрактон и линеон (также известный как одномерная частица).

Если квантовое состояние таково, что собственное значение $A_{c}=-1$ для некоторого единичного куба $c$, то мы говорим, что в этом квантовом состоянии существует фрактон, расположенный в позиции $c$. Например, если $|\mathrm {GS} \rangle$ является основным состоянием гамильтониана, то для любого ребра $\ell$, государство $X_{\ell }|\mathrm {GS} \rangle$ содержит четыре фрактона, по одному на кубиках, прилегающих к $\ell$.

Дан прямоугольник $R$ на плоскости можно определить «мембранный» оператор как $Z_{R}\equiv \prod _{\ell \in R}Z_{\ell }$ где продукт проходит через все края $\ell$ перпендикулярно прямоугольнику, которые проходят через этот прямоугольник. Тогда государство $Z_{R}|\mathrm {GS} \rangle$ состоит из четырех фрактонов, каждый из которых расположен в кубах рядом с углами прямоугольника. Таким образом, изолированный фрактон может появиться в пределе взятия длины и ширины прямоугольника $R$ до бесконечности. Тот факт, что нелокальный мембранный оператор воздействует на основное состояние, создавая изолированный фрактон, аналогичен тому, как в системах меньшего размера нелокальные строковые операторы могут создавать изолированный фрактон. $\pi$ частицы потока и доменные границы.

Эта конструкция показывает, что изолированный фрактон не может двигаться ни в каком направлении. Другими словами, не существует локального оператора, с помощью которого можно воздействовать на изолированный фрактон и переместить его в другое место. Чтобы переместить отдельный изолированный фрактон, нужно будет применить в высшей степени нелокальный оператор для перемещения всей связанной с ним мембраны.

Если квантовое состояние таково, что собственное значение $B_{v,x}=B_{v,y}=-1$ для некоторой вершины $v$, то мы говорим, что в этом квантовом состоянии существует линеон, расположенный в позиции $v$ это мобильно в $z$ направление. Аналогичное определение справедливо и для линеонов, подвижных в $x$ направление и линеоны, подвижные в $y$ направление. Чтобы создать изолированный $z$ линеон в вершине $v$, надо действовать на основное состояние длинной цепочкой Паули $X$ операторы, действующие на всех ребрах вдоль $z$ оси, находящиеся ниже линии. Линеонные возбуждения подвижны только в одном направлении; Паули $X$ оператор может воздействовать на линейные линии, перемещая их в этом направлении.

Ан $x,y$ и $z$ lineon могут все слиться в вакууме, если линии, по которым движется каждый из них, совпадают. То есть существует последовательность локальных операторов, которые могут осуществить это объединение. Может произойти и обратный процесс. По аналогичной причине изолированный линеон может менять направление движения с $x$ к $y$, создавая новую линию, движущуюся в $z$ направление в процессе. Новый линеон создается в той точке пространства, где исходный линеон меняет направление.

Также возможно создание связанных состояний этих элементарных возбуждений, обладающих более высокой подвижностью. Например, рассмотрим связанное состояние двух фрактонов с одинаковым $x$ и $y$ координаты, разделенные конечным расстоянием $w$ вдоль $z$ ось. Это связанное состояние, называемое планеоном, подвижно во всех направлениях в пространстве. $xy$ самолет. Можно построить мембранный оператор шириной $w$ в $z$ оси и произвольной длины в любом $x$ или $y$ направлении, которое может воздействовать на состояние планона, перемещая его внутри $xy$ самолет.

Интерферометрия

Дистанционно обнаружить наличие изолированного элементарного возбуждения в области можно, перемещая вокруг нее элементарное возбуждение противоположного типа. Здесь, как обычно, под «перемещением» подразумевается повторяющееся действие локальных унитарных операторов, перемещающих частицы. Этот процесс известен как интерферометрия. Это можно считать аналогом идеи сплетения анионов в двух измерениях.

Например, предположим, что линеон (либо $x$ линеон или $y$ lineon) находится в $xy$ плоскости, а ещё есть самолётон, который может двигаться в $xy$ самолет. Затем мы можем переместить планон на полный оборот, охватывающий положение линеона. Такое движение планона будет осуществляться мембранным оператором. Если этот мембранный оператор пересекается с паули- $X$ струнный оператор присоединяется к линейному ровно один раз, то в конце вращения плоскостион волновая функция приобретет коэффициент $-1$, что указывает на наличие линии.

Конструкция спаренных слоев

Можно построить модель X-куба, взяв три стопки торических кодовых листов вдоль каждой из трех осей, наложив их друг на друга и добавив связи к краям в местах их пересечения. Эта конструкция объясняет некоторые связи, которые можно увидеть между топологическим порядком торического кода и моделью X-куба. Например, можно понимать, что каждый дополнительный торический кодовый лист вносит вклад в топологическое вырождение, равное 4, в общее вырождение основного состояния модели X-куба, когда она помещается на трехмерный тор; это согласуется с формулой вырождения основного состояния модели X-куба.

Модель шахматной доски

Другим примером модели фрактона типа I является модель шахматной доски.

Эта модель также живет на кубической решетке, но с одним кубитом в каждой вершине. Сначала раскрашиваем элементарные кубические ячейки в цвета $A$ и $B$ в шахматном порядке, т. е. так, чтобы никакие две соседние кубические ячейки не были одного цвета. Тогда гамильтониан

$H=-\sum _{c\in A}\prod _{v\in c}X_{v}-\sum _{c\in A}\prod _{v\in c}Z_{v}$

Эта модель также точно разрешима с коммутирующими условиями. Топологическое вырождение основного состояния на торе определяется выражением $\log _{2}\mathrm {GSD} =4L_{x}+4L_{y}+4L_{z}-6$ для решетки размером $2L_{x},2L_{y},2L_{z}$ (как правило, размеры решетки должны быть четными, чтобы периодические граничные условия имели смысл).

Как и модель X-куба, модель шахматной доски содержит возбуждения в виде фрактонов, линеонов и планонов.

Тип II

Парадигматическим примером модели фрактона типа II является код Хааха. Из-за более сложной природы кода Хааха обобщения на другие модели типа II плохо изучены по сравнению с моделями типа I.

код хаа

Код Хаа определен на кубической решетке с двумя кубитами в каждой вершине. Мы можем обращаться к этим кубитам, используя матрицы Паули. ${\vec {\sigma }}_{v}$ и ${\vec {\mu }}_{v}$, каждый из которых действует на отдельный кубит. Гамильтониан

$H=-\sum _{c}(A_{c}+B_{c})$.

Здесь для любого единичного куба $c$ восемь вершин которого обозначены как $p$, $q_{1}=p+(1,0,0)$, $q_{2}=p+(0,1,0)$, $q_{3}=p+(0,0,1)$, $r_{1}=p+(0,1,1)$, $r_{2}=p+(1,0,1)$, $r_{3}=p+(1,1,0)$ , и $s=p+(1,1,1)$, операторы $A_{c}$ и $B_{c}$ определяются как

$A_{c}=\sigma _{s}^{z}\mu _{s}^{z}\prod _{j=1}^{3}\mu _{q_{j}}^{z}\sigma _{r_{j}}^{z}$

$B_{c}=\sigma _{p}^{x}\mu _{p}^{x}\prod _{j=1}^{3}\mu _{q_{j}}^{x}\sigma _{r_{j}}^{x}$

Это также точно решаемая модель, поскольку все члены гамильтониана коммутируют друг с другом.

Вырождение основного состояния для $L\times L\times L$ тор задается формулой

$\log _{2}\mathrm {GSD} =4\deg(\gcd(1+(1+x)^{L},1+(1+\omega x)^{L},1+(1+\omega ^{2}x)^{L})_{\mathbb {F} _{4}})-2.$

Здесь НОД обозначает наибольший общий делитель трех показанных многочленов, а градус относится к степени этого общего делителя. Коэффициенты многочленов принадлежат конечному полю $\mathbb {F} _{4}$, состоящий из четырех элементов $\lbrace 0,1,\omega ,\omega ^{2}\rbrace$ характеристики 2 (т.е. $1+1=0$). $\omega$ является кубическим корнем из 1, отличным от 1. Наибольший общий делитель можно определить с помощью алгоритма Евклида. Это вырождение сильно колеблется в зависимости от $L$. Если $L$ является степенью двойки, то согласно теореме Люка три многочлена принимают простой вид $x^{L},(\omega x)^{L},(\omega ^{2}x)^{L}$, что указывает на вырождение основного состояния $2^{4L-2}$. В более общем смысле, если $2^{m}$ это наибольшая степень двойки, которая делит $L$, то вырождение основного состояния не менее $2^{2^{m+2}-2}$ и самое большее $2^{4L-2}$.

Таким образом, фрактонная модель кода Хааха также в некотором смысле демонстрирует то свойство, что логарифм вырождения основного состояния имеет тенденцию масштабироваться прямо пропорционально линейному размеру системы. По-видимому, это общее свойство моделей фрактонов с разрывами. Как и в моделях типа I и в топологически упорядоченных системах, локальные операторы не могут различать различные основные состояния кода Хааха.

В коде Хаа также присутствуют неподвижные элементарные возбуждения, называемые фрактонами. Говорят, что квантовое состояние имеет фрактон, расположенный в кубе. $c$ если собственное значение $A_{c}$ является $-1$ для этого квантового состояния (возбуждение $B_{c}$ оператор также является дробью. Такой фрактон физически эквивалентен возбуждению $A_{c}$ потому что есть унитарный обмен картами $A_{c}$ и $B_{c}$, поэтому достаточно рассмотреть возбуждения $A_{c}$ только для этого обсуждения).

Если $|\mathrm {GS} \rangle$ является основным состоянием гамильтониана, то для любой вершины $v$, государство $\mu _{v}^{x}|\mathrm {GS} \rangle$ содержит четыре фрактона в тетраэдрическом расположении, занимающие четыре из восьми кубов, прилегающих к вершине. $v$ (то же самое относится и к государству $\sigma _{v}^{x}|\mathrm {GS} \rangle$, хотя точная форма тетраэдра другая).

В попытке выделить хотя бы один из этих четырех фрактонов можно попытаться применить дополнительные $\mu _{v'}^{x}|\mathrm {GS} \rangle$ переворачивайте спины в разных близлежащих вершинах, чтобы попытаться уничтожить три других фрактона. Это просто приведет к появлению трех новых фрактонов еще дальше. Руководствуясь этим процессом, можно затем идентифицировать набор $S$ вершин в пространстве, которые вместе образуют некоторую произвольную итерацию трехмерного фрактала Серпинского . Тогда государство

$\psi =\prod _{v\in S}\mu _{v}^{z}|\mathrm {GS} \rangle$

состоит из четырех фрактонов, по одному в кубе, примыкающем к угловой вершине тетраэдра Серпинского. Таким образом, мы видим, что для генерации изолированного фрактона из основного состояния в модели кода Хааха требуется бесконечно большой фрактальный оператор. Оператор фрактальной формы в коде Хааха играет аналогичную роль мембранным операторам в модели X-куба.

В отличие от моделей типа I, здесь нет устойчивых связанных состояний конечного числа подвижных фрактонов. Единственными мобильными связанными состояниями являются такие, как полностью подвижные четырехфрактонные состояния, такие как $\mu _{v}^{x}|\mathrm {GS} \rangle$ которые неустойчивы (т.е. могут переходить в основное состояние под действием локального оператора).

Порядок расслоенных фрактонов

Один формализм, используемый для понимания универсальных свойств фрактонных фаз типа I, называется расслоенным фрактонным порядком.

Порядок расслоенных фрактонов устанавливает отношение эквивалентности между двумя системами, система $A$ и система $B$, с гамильтонианами $H_{A}$ и $H_{B}$. Если можно преобразовать основное состояние $H_{A}$ в основное состояние $H_{B}$ применяя локальное унитарное отображение конечной глубины и произвольно добавляя и/или удаляя двумерные системы с разрывами, затем $H_{1}$ и $H_{2}$ Говорят, что они принадлежат к одному и тому же порядку расслоенных фрактонов.

В этом определении важно, что локальное унитарное отображение остается на конечной глубине, поскольку размеры систем 1 и 2 доводятся до термодинамического предела. Однако количество добавляемых или удаляемых систем с пробелами может быть бесконечным. Тот факт, что двумерные топологически упорядоченные системы с щелями могут свободно добавляться или удаляться в процессе трансформации, отличает расслоенный фрактонный порядок от более традиционных представлений о фазах.Чтобы сформулировать определение более точно, предположим, что можно найти два (возможно, пустых или бесконечных) набора двумерных фаз с щелями (с произвольным топологическим порядком): $H_{j}^{2\mathrm {D} ,A}$ и $H_{j}^{2\mathrm {D} ,B}$и локальное унитарное отображение конечной глубины $U$, такой, что $U$ отображает основное состояние $H_{A}\otimes \bigotimes _{j}H_{j}^{2\mathrm {D} ,A}$ в основное состояние $H_{B}\otimes \bigotimes _{j}H_{j}^{2\mathrm {D} ,B}$. Затем $H_{A}$ и $H_{B}$ принадлежат к одному и тому же порядку расслоенных фрактонов.

Более традиционные понятия фазовой эквивалентности не дают разумных результатов при непосредственном применении к фрактонным моделям, поскольку они основаны на представлении о том, что две модели в одной и той же фазе должны иметь одинаковое вырождение топологического основного состояния. Поскольку вырождение основного состояния фрактонных моделей масштабируется в зависимости от размера системы, эти традиционные определения подразумевают, что простое незначительное изменение размера системы изменит всю фазу. Это сделало бы невозможным изучение фаз фрактонного вещества в термодинамическом пределе, когда размер системы $L\to \infty$. Концепция расслоенного фрактонного порядка решает эту проблему, позволяя использовать вырожденные подсистемы (двумерные топологические фазы с разрывами) в качестве «свободных ресурсов», которые можно произвольно добавлять или удалять из системы для учета этих различий. Если фрактонная модель $H$ таков, что $H(L_{x},L_{y},L_{z})$ находится в том же порядке расслоенных фрактонов, что и $H(L'_{x},L'_{y},L'_{z})$ для большего размера системы для модели подходит формализм расслоенного фрактонного порядка.

Порядок расслоенных фрактонов не является подходящим формализмом для моделей фрактонов типа II.

Известные расслоенные фрактонные порядки моделей I типа.

Многие из известных моделей фрактонов типа I фактически находятся в том же порядке расслоенных фрактонов, что и модель куба X, или в том же порядке расслоенных фрактонов, что и несколько копий модели куба X. Однако не все таковы. Ярким известным примером особого порядка расслоенных фрактонов является модель скрученных расслоенных фрактонов.

Были построены явные локальные унитарные карты, которые демонстрируют эквивалентность модели X-куба с различными другими моделями, такими как модель шахматной доски Майораны и семионическая модель X-куба. Модель шахматной доски принадлежит к тому же порядку расслоенных фрактонов, что и две копии модели X-куба.

Инварианты порядка расслоенных фрактонов

Точно так же, как топологические порядки имеют тенденцию иметь различные инвариантные величины, которые представляют собой топологические сигнатуры, можно также попытаться идентифицировать инварианты расслоенных фрактонных порядков.

Обычные топологические порядки часто демонстрируют вырождение основного состояния, которое зависит только от топологии многообразия, в которое встроена система. Фрактонные модели не обладают этим свойством, поскольку вырождение основного состояния также зависит от размера системы. Более того, в моделях расслоенных фрактонов вырождение основного состояния также может зависеть от сложности структуры слоения, использованной для его построения. Другими словами, один и тот же тип модели на одном и том же многообразии с одним и тем же размером системы может иметь разные вырождения основного состояния в зависимости от основного выбора слоения.

Сектора факторного суперотбора

По определению, количество секторов суперотбора во фрактонной модели бесконечно (т.е. масштабируется в зависимости от размера системы). Например, каждый отдельный фрактон принадлежит своему сектору суперотбора, поскольку нет локального оператора, который мог бы преобразовать его в любой другой фрактон, находящийся в другой позиции.

Однако ослабление концепции сектора суперотбора, известного как сектор фактор-суперотбора, фактически игнорирует двумерные частицы (например, связанные состояния планона), которые, как предполагается, происходят из двумерных расслаивающихся слоев. В этом случае модели слоистых фрактонов имеют тенденцию иметь конечный список секторов фактор-суперотбора, описывающих типы дробных возбуждений, присутствующих в модели. Это аналогично тому, как топологические порядки имеют тенденцию иметь конечный список обычных секторов супервыбора.

Энтропия запутанности

Обычно для фрактонных моделей в основном состоянии при рассмотрении энтропии запутанности подобласти пространства с большим линейным размером $R$вклад главного порядка в энтропию пропорционален $R^{2}$, как и ожидалось для трехмерной системы с зазором, подчиняющейся закону площади. Однако энтропия запутанности также имеет подведущие члены как функцию $R$ которые отражают скрытые нелокальные вклады. Например, $\propto R$ субведущая поправка представляет собой вклад от постоянной топологической энтропии запутанности каждого из двумерных топологически упорядоченных слоев, присутствующих в слоенной структуре системы.

Поскольку порядок расслоенных фрактонов инвариантен даже при распутывании таких двумерных слоев с разрывами, сигнатура запутанности порядка расслоенных фрактонов должна иметь возможность игнорировать вклады энтропии как от локальных деталей, так и от двумерных топологически упорядоченных слоев.

Можно использовать расчет взаимной информации, чтобы извлечь вклад в энтропию запутанности, уникальный для расслоенного фрактонного порядка. Фактически это делается путем сложения и вычитания энтропии запутанности различных областей таким образом, чтобы избавиться от локальных вкладов, а также от вкладов двумерных слоев с разрывами.

Симметричная тензорная калибровочная теория

Неподвижность фрактонов в симметричной тензорной калибровочной теории можно понимать как обобщение закона сохранения электрического заряда, вытекающего из модифицированного закона Гаусса . Различные формулировки и ограничения симметричной тензорной калибровочной теории имеют тенденцию приводить к законам сохранения, которые предполагают существование частиц с ограниченной подвижностью.

Модель скалярного заряда U(1)

Например, в модели скалярного заряда U(1) фрактонная плотность заряда ( $\rho$) связан с симметричным тензором электрического поля ( $E_{ij}$, теоретическое обобщение обычного электрического векторного поля ) через $\rho =\partial _{i}\partial _{j}E_{ij}$, где повторяющиеся пространственные индексы $i,j=1,2,3$ суммируются неявно .Оба фрактонных заряда ( $q$) и дипольный момент ( $p_{i}$) можно показать, что он сохраняется:

${\begin{aligned}q&=\int \rho \;d^{3}x=\int \partial _{i}(\partial _{j}E_{ij})\;d^{3}x=0\\p_{i}&=\int x_{i}\rho \;d^{3}x=\int x_{i}\partial _{j}\partial _{k}E_{jk}\;d^{3}x=-\int \partial _{k}E_{ik}\;d^{3}x=0\end{aligned}}$

При интегрировании по частям мы предполагали, что на пространственной бесконечности электрического поля нет.Поскольку в этом предположении общий заряд и дипольный момент фрактона равны нулю, это означает, что заряд и дипольный момент сохраняются.Поскольку перемещение изолированного заряда меняет общий дипольный момент, это означает, что изолированные заряды в этой теории неподвижны.Однако два противоположно заряженных фрактона, образующие фрактонный диполь, могут свободно перемещаться, поскольку при этом дипольный момент не меняется.

Один из подходов к построению явного действия для скалярных фрактонных полей материи и их связи с симметричной тензорной калибровочной теорией заключается в следующем. Предположим, что скалярное фрактонное поле материи $\Phi$. Глобальная симметрия сохранения заряда будет означать, что действие симметрично относительно преобразования $\Phi \to e^{i\alpha }\Phi$ для некоторой пространственно однородной реальности $\alpha$, как это обычно бывает $U(1)$ заряженные теории. Симметрия сохранения глобального дипольного момента будет означать, что действие симметрично относительно преобразования $\Phi ({\vec {r}})\to e^{i{\vec {\lambda }}\cdot {\vec {r}}}\Phi ({\vec {r}})$ для произвольного действительного пространственно однородного вектора ${\vec {\lambda }}$.Простейшие кинетические члены (т.е. члены с пространственной производной), симметричные относительно этих преобразований, являются четвертыми по $\Phi$.

${\mathcal {L}}=|\partial _{t}\Phi |^{2}-m^{2}|\Phi |^{2}-g|\Phi \partial _{i}\partial _{j}\Phi -\partial _{i}\Phi \partial _{j}\Phi |^{2}-g'\Phi ^{*2}(\Phi \partial _{i}\partial _{j}\Phi -\partial _{i}\Phi \partial _{j}\Phi )+\ldots$

Теперь при оценке этой симметрии кинетическое выражение $\Phi \partial _{i}\partial _{j}\Phi -\partial _{i}\Phi \partial _{j}\Phi$ заменяется на $\Phi \partial _{i}\partial _{j}\Phi -\partial _{i}\Phi \partial _{j}\Phi -iA_{ij}\Phi ^{2}$, где $A_{ij}$ — симметричный тензор, преобразующийся при произвольных калибровочных преобразованиях как $A_{ij}\to A_{ij}+\partial _{i}\partial _{j}\alpha$. Это показывает, как симметричное тензорное поле взаимодействует со скалярными фрактонными полями материи.

Модель векторного заряда U(1)

Теория скалярного заряда U(1) — не единственная симметричная тензорная калибровочная теория, которая приводит к возникновению частиц с ограниченной подвижностью. Другим примером является теория векторного заряда U(1).

В этой теории фрактонный заряд представляет собой векторную величину ${\vec {\rho }}$. Симметричное тензорное калибровочное поле преобразуется при калибровочных преобразованиях ${\vec {\alpha }}$ как $A_{ij}\to A_{ij}+\partial _{i}\alpha _{j}+\partial _{j}\alpha _{i}$. Закон Гаусса для этой теории принимает вид $\partial _{i}E_{ij}=\rho _{j}$, что подразумевает как сохранение полного заряда, так и сохранение полного углового зарядового момента $\int d^{3}x{\vec {\rho }}\otimes {\vec {x}}$. Последний закон сохранения подразумевает, что изолированные заряды не могут двигаться параллельно соответствующим векторам зарядов. Таким образом, эти частицы кажутся похожими на линеоны во фрактонах типа I, за исключением того, что здесь они относятся к безщелевой теории.

Приложения

Первоначально фрактоны изучались как аналитически управляемая реализация квантовой стекловидности , где неподвижность изолированных фрактонов приводит к медленной скорости релаксации. Также было показано, что эта неподвижность способна создавать частично самокорректирующуюся квантовую память , которая может быть полезна для создания аналога жесткого диска для квантового компьютера . Также было показано, что фрактоны появляются в квантовых гравитации линеаризованных моделях . и (через двойственность ) как дисклинационные кристаллические дефекты . Однако, помимо двойственности кристаллических дефектов, и хотя было показано, что это в принципе возможно, другие экспериментальные реализации моделей фрактонов с щелями еще не реализованы. С другой стороны, достигнут прогресс в изучении динамики диполь-сохраняющих систем, как теоретических, так и теоретических. и экспериментально, которые демонстрируют характерную медленную динамику, ожидаемую от систем с фрактонным поведением.

Модели фрактона

	U(1) симметричная тензорная калибровочная теория	тип-I	тип-II
энергетический спектр	без зазоров	с разрывом	с разрывом
примеры моделей	скалярный заряд	X-куб	Кубический код Хаа
пример характеристик	сохраняющийся дипольный момент	сохраняющийся заряд на стопках двумерных поверхностей	фрактальные законы сохранения, отсутствие подвижных частиц

Было высказано предположение что многие модели типа I являются примерами расслоенных фрактонных фаз; однако остается неясным, являются ли неабелевы фрактонные модели можно понять в рамках слоистых рамок.

Внешние ссылки

• «Ичжи Ю | Возникающие фрактоны и алгебраическая квантовая жидкость в результате переходов плакетного мелинга» . Ютуб . Гарвардский CMSA. 6 декабря 2019 г.
• «Strings 2020, прямая трансляция 1 июля 2020 г.; Fractons для теоретиков поля и полевая теория фрактонов, Virtual Strings 2020, Натан Зайберг, IAS» . Ютуб . ( Выступление Зайберга начинается в 17:10 с 4:40:39 на видео.)