Линеаризованная гравитация

В общей теории относительности линеаризованная гравитация представляет собой применение теории возмущений к метрическому тензору , описывающему геометрию пространства-времени . Как следствие, линеаризованная гравитация является эффективным методом моделирования эффектов гравитации, когда гравитационное поле слабое. Использование линеаризованной гравитации является неотъемлемой частью изучения гравитационных волн в слабом поле и гравитационного линзирования .

Приближение слабого поля

Уравнение поля Эйнштейна (EFE), описывающее геометрию пространства-времени , имеет вид (в натуральных единицах измерения ):

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }$

где $R_{\mu \nu }$ – тензор Риччи , $R$ скаляр Риччи , $T_{\mu \nu }$ – тензор энергии -импульса , $g_{\mu \nu }$ - пространства-времени тензор метрики , который представляет решения уравнения.

Несмотря на краткость записи с использованием нотации Эйнштейна , внутри тензора Риччи и скаляра Риччи скрыты исключительно нелинейные зависимости от метрики, которые делают перспективу поиска точных решений непрактичной в большинстве систем. Однако при описании конкретных систем, для которых кривизна пространства-времени мала (это означает, что члены в ЭФЭ, квадратичные по $g_{\mu \nu }$ не вносят существенного вклада в уравнения движения), можно смоделировать решение уравнений поля как метрику Минковского $\eta _{\mu \nu }$ плюс небольшой член возмущения $h_{\mu \nu }$. Другими словами:

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.$

В этом режиме подстановка общей метрики $g_{\mu \nu }$ для этого пертурбативного приближения получается упрощенное выражение для тензора Риччи:

$R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),$

где $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ это след возмущения, $\partial _{\mu }$ обозначает частную производную по $x^{\mu }$ координата пространства-времени и $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ — оператор Даламбера .

Вместе со скаляром Риччи

$R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,$

левая часть уравнения поля сводится к

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).$

и, таким образом, EFE сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка с точки зрения $h_{\mu \nu }$.

инвариантность

Процесс разложения общего пространства-времени $g_{\mu \nu }$в метрику Минковского плюс член возмущения не уникален. Это связано с тем, что разные варианты координат могут давать разные формы для $h_{\mu \nu }$. Чтобы уловить это явление, применение калибровочной симметрии вводится .

Калибровочная симметрия — это математический аппарат для описания системы, которая не меняется, когда базовая система координат «смещается» на бесконечно малую величину. Таким образом, хотя метрика возмущения $h_{\mu \nu }$ не определяется последовательно между различными системами координат, общая система, которую он описывает, равна .

Формально говоря, неединственность возмущения $h_{\mu \nu }$ представляется как следствие разнообразного набора диффеоморфизмов пространства-времени, которые оставляют $h_{\mu \nu }$достаточно мал. Поэтому для продолжения необходимо, чтобы $h_{\mu \nu }$быть определены в терминах общего набора диффеоморфизмов, затем выберите их подмножество, сохраняющее малый масштаб, необходимый для приближения слабого поля. Таким образом, можно определить $\phi$ для обозначения произвольного диффеоморфизма, который отображает плоское пространство-время Минковского в более общее пространство-время, представленное метрикой $g_{\mu \nu }$. При этом метрику возмущения можно определить как разницу откатом между $g_{\mu \nu }$ и метрика Минковского:

$h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.$

Диффеоморфизмы $\phi$ таким образом, может быть выбрано так, что $|h_{\mu \nu }|\ll 1$.

Учитывая тогда векторное поле $\xi ^{\mu }$ определенное на плоском фоновом пространстве-времени дополнительное семейство диффеоморфизмов $\psi _{\epsilon }$ могут быть определены как те, которые генерируются $\xi ^{\mu }$ и параметризован $\epsilon >0$. Эти новые диффеоморфизмы будут использоваться для представления преобразований координат для «бесконечно малых сдвигов», как обсуждалось выше. Вместе с $\phi$семейство возмущений имеет вид

${\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}$

Поэтому в пределе $\epsilon \rightarrow 0$,

$h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }$

где ${\mathcal {L}}_{\xi }$ — производная Ли вдоль векторного поля $\xi _{\mu }$.

Производная Ли дает окончательное калибровочное преобразование метрики возмущения. $h_{\mu \nu }$:

$h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),$

которые точно определяют набор метрик возмущений, описывающих одну и ту же физическую систему. Другими словами, оно характеризует калибровочную симметрию линеаризованных уравнений поля.

Выбор калибра

Используя калибровочную инвариантность, можно гарантировать определенные свойства метрики возмущений, выбрав подходящее векторное поле. $\xi ^{\mu }$.

Поперечный калибр

Чтобы изучить, как возмущение $h_{\mu \nu }$ искажает измерения длины, полезно определить следующий пространственный тензор:

$s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}$

(Обратите внимание, что индексы охватывают только пространственные компоненты: $i,j\in \{1,2,3\}$). Таким образом, используя $s_{ij}$пространственные компоненты возмущения можно разложить как

$h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}$

где $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$.

Тензор $s_{ij}$по своей конструкции не имеет следов и называется деформацией, поскольку представляет собой величину, на которую возмущение растягивает и сжимает измерения пространства . В контексте изучения гравитационного излучения деформация особенно полезна при использовании с поперечным датчиком. Эта калибровка определяется выбором пространственных компонентов $\xi ^{\mu }$ удовлетворить отношение

$\nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},$

затем выбираем временную составляющую $\xi ^{0}$ удовлетворить

$\nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.$

После выполнения калибровочного преобразования по формуле из предыдущего раздела деформация становится пространственно поперечной:

$\partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,$

с дополнительным свойством:

$\partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.$

Синхронный манометр

Синхронный датчик упрощает метрику возмущений, требуя, чтобы метрика не искажала измерения времени. Точнее, синхронная калибровка выбирается такой, чтобы непространственные компоненты $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ равны нулю, а именно

$h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.$

Этого можно достичь, потребовав временную составляющую $\xi ^{\mu }$ удовлетворить

$\partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}$

и требование, чтобы пространственные компоненты удовлетворяли

$\partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.$

Гармонический датчик

Гармоническая калибровка (также называемая калибровкой Лоренца) ) выбирается всякий раз, когда необходимо максимально сократить линеаризованные уравнения поля. Это можно сделать, если условие

$\partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h$

правда. Для достижения этой цели, $\xi _{\mu }$ требуется для удовлетворения соотношения

$\square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.$

Следовательно, используя гармоническую калибровку, тензор Эйнштейна $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ сводится к

$G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).$

Следовательно, записывая это в терминах метрики с «обратной трассировкой», ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$, линеаризованные уравнения поля сводятся к

$\square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-16\pi GT_{\mu \nu }.$

Которую можно решить именно с помощью волновых решений , определяющих гравитационное излучение .

См. также

• Принцип соответствия
• Гравитоэлектромагнетизм
• Тензор Ланцоша
• Параметризованный постньютоновский формализм
• Постньютоновское расширение
• Квазинормальная мода

Дальнейшее чтение

• Шон М. Кэрролл (2003). Пространство-время и геометрия. Введение в общую теорию относительности . Пирсон. ISBN  978-0805387322 .