Гравитационное красное смещение

Эта статья о красном смещении, вызванном гравитацией. Не путать с красным смещением гравитационных волн .

Гравитационное красное смещение световой волны, когда она движется вверх против гравитационного поля (создаваемого желтой звездой внизу). На этой диаграмме эффект сильно преувеличен.

В физике и общей теории относительности гравитационное красное смещение известное как сдвиг Эйнштейна ) ( в старой литературе Это явление, заключающееся в том, что электромагнитные волны или фотоны , вылетающие из гравитационной ямы, теряют энергию . Эта потеря энергии соответствует уменьшению частоты волны и увеличению длины волны , что более широко известно как красное смещение . Противоположный эффект, при котором фотоны получают энергию при попадании в гравитационную яму, известен как гравитационное синее смещение (разновидность синего смещения ). Эффект был впервые описан Эйнштейном в 1907 году. за восемь лет до публикации полной теории относительности .

Гравитационное красное смещение можно интерпретировать как следствие принципа эквивалентности (гравитация и ускорение эквивалентны, а красное смещение вызвано эффектом Доплера ). или как следствие эквивалентности массы и энергии и сохранения энергии («падающие» фотоны получают энергию), хотя есть множество тонкостей, которые усложняют строгий вывод. Гравитационное красное смещение также можно эквивалентно интерпретировать как гравитационное замедление времени в источнике излучения: если два осциллятора (подключенные к передатчикам, производящим электромагнитное излучение) работают с разными гравитационными потенциалами , то осциллятор с более высоким гравитационным потенциалом (находящийся дальше от притягивающего тела) будет работать быстрее; то есть при наблюдении из того же места он будет иметь более высокую измеренную частоту, чем осциллятор с более низким гравитационным потенциалом (ближе к притягивающему телу).

В первом приближении гравитационное красное смещение пропорционально разности гравитационных потенциалов , деленной на квадрат скорости света : $z=\Delta U/c^{2}$, что приводит к очень небольшому эффекту. В 1911 году Эйнштейн предсказал, что свет, выходящий с поверхности Солнца, будет смещаться в красную сторону примерно на 2 ppm или 2 × 10. ⁻⁶ . Навигационные сигналы спутников GPS , находящихся на высоте 20 000 км, воспринимаются со смещением в голубую сторону примерно на 0,5 частей на миллиард или 5 × 10. ⁻¹⁰ , что соответствует (незначительному) увеличению частоты радиосигнала GPS на частоте 1,5 ГГц менее чем на 1 Гц (однако сопутствующее гравитационное замедление времени , влияющее на атомные часы на спутнике, имеет решающее значение для точной навигации). ). На поверхности Земли гравитационный потенциал пропорционален высоте, $\Delta U=g\Delta h$, а соответствующее красное смещение составляет примерно 10 ⁻¹⁶ (0,1 часть на квадриллион ) на метр изменения высоты и/или высоты .

В астрономии величина гравитационного красного смещения часто выражается как скорость, которая создаст эквивалентное смещение за счет релятивистского эффекта Доплера . В таких единицах красное смещение солнечного света на 2 ppm соответствует скорости удаления 633 м/с, что примерно той же величины, что и конвективные движения на Солнце, что усложняет измерения. Эквивалент скорости гравитационного синего смещения спутника GPS составляет менее 0,2 м/с, что незначительно по сравнению с фактическим доплеровским сдвигом, возникающим из-за его орбитальной скорости. У астрономических объектов с сильными гравитационными полями красное смещение может быть намного больше; например, свет от поверхности белого карлика имеет гравитационное красное смещение в среднем примерно на 50 км/с/с (около 170 частей на миллион).

Наблюдение гравитационного красного смещения в Солнечной системе является одним из классических тестов общей теории относительности . Измерение гравитационного красного смещения с высокой точностью с помощью атомных часов может послужить проверкой симметрии Лоренца и руководством к поиску темной материи .

по принципу эквивалентности и общей

Однородное гравитационное поле или ускорение

Общая теория относительности Эйнштейна включает в себя принцип эквивалентности , который можно формулировать по-разному. Одним из таких утверждений является то, что гравитационные эффекты локально необнаружимы для свободно падающего наблюдателя. Поэтому в лабораторном эксперименте на поверхности Земли все гравитационные эффекты должны быть эквивалентны эффектам, которые наблюдались бы, если бы лаборатория двигалась с ускорением в космическом пространстве при g . Одним из последствий является гравитационный эффект Доплера . Если световой импульс испускается на полу лаборатории, то свободно падающий наблюдатель говорит, что к моменту, когда он достигнет потолка, потолок ускорился от него, и поэтому при наблюдении детектором, закрепленным на потолке, он будет наблюдаться доплеровское смещение в сторону красного конца спектра. Это смещение, которое свободно падающий наблюдатель считает кинематическим доплеровским сдвигом, лабораторный наблюдатель воспринимает как гравитационное красное смещение. Такой эффект был подтвержден в 1959 г. Эксперимент Паунда-Ребки . В таком случае, когда гравитационное поле однородно, изменение длины волны определяется выражением

$z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\approx {\frac {g\Delta y}{c^{2}}},$

где $\Delta y$это изменение высоты. Поскольку это предсказание вытекает непосредственно из принципа эквивалентности, оно не требует какого-либо математического аппарата общей теории относительности, и его проверка не поддерживает конкретно общую теорию относительности по сравнению с любой другой теорией, включающей принцип эквивалентности.

На поверхности Земли (или в космическом корабле, разгоняющемся до 1 g) гравитационное красное смещение составляет примерно 1,1 × 10 ⁻¹⁶ , эквивалент 3,3 × 10 ⁻⁸ Доплеровский сдвиг м/с на каждый метр перепада высот.

Сферически симметричное гравитационное поле

Когда поле неоднородно, самым простым и полезным случаем является сферически симметричное поле. По теореме Биркгофа такое поле в общей теории относительности описывается метрикой Шварцшильда , $d\tau ^{2}=\left(1-r_{\text{S}}/R\right)dt^{2}+\ldots$, где $d\tau$ — время наблюдателя, находящегося на расстоянии R от центра, $dt$ это время, измеренное наблюдателем на бесконечности, $r_{\text{S}}$ это радиус Шварцшильда $2GM/c^{2}$, «...» представляет члены, которые исчезают, если наблюдатель покоится, $G$ Ньютона гравитационная постоянная , $M$ масса и гравитирующего тела $c$скорость света . В результате частоты и длины волн смещаются согласно соотношению

$1+z={\frac {\lambda _{\infty }}{\lambda _{\text{e}}}}=\left(1-{\frac {r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

где

• $\lambda _{\infty }\,$длина волны света, измеренная наблюдателем на бесконечности,
• $\lambda _{\text{e}}\,$ длина волны, измеренная в источнике излучения, и
• $R_{\text{e}}$ — радиус, на котором испускается фотон.

Это может быть связано с параметром красного смещения, традиционно определяемым как $z=\lambda _{\infty }/\lambda _{\text{e}}-1$.

В случае, когда ни излучатель, ни наблюдатель не находятся на бесконечности, транзитивность доплеровских сдвигов позволяет обобщить результат до $\lambda _{1}/\lambda _{2}=\left[\left(1-r_{\text{S}}/R_{1}\right)/\left(1-r_{\text{S}}/R_{2}\right)\right]^{1/2}$. Формула красного смещения для частоты $\nu =c/\lambda$ является $\nu _{o}/\nu _{\text{e}}=\lambda _{\text{e}}/\lambda _{o}$. Когда $R_{1}-R_{2}$ мала, эти результаты согласуются с приведенным выше уравнением, основанным на принципе эквивалентности.

Коэффициент красного смещения также можно выразить через (ньютоновскую) скорость убегания. $v_{\text{e}}$ в $R_{\text{e}}=2GM/v_{\text{e}}^{2}$, что приводит к соответствующему фактору Лоренца :

$1+z=\gamma _{\text{e}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v_{\text{e}}/c)^{2}}}}$.

Для объекта, достаточно компактного, чтобы иметь горизонт событий , красное смещение не определено для фотонов, излучаемых внутри радиуса Шварцшильда, как потому, что сигналы не могут выйти изнутри горизонта, так и потому, что такой объект, как излучатель, не может быть стационарным внутри горизонта, как было предполагалось выше. Следовательно, эта формула применима только тогда, когда $R_{\text{e}}$ больше, чем $r_{\text{S}}$. Когда фотон испускается на расстояние, равное радиусу Шварцшильда, красное смещение будет бесконечно большим и он не убежит ни на какое конечное расстояние от сферы Шварцшильда. Когда фотон испускается на бесконечно большое расстояние, красного смещения нет.

Ньютоновский предел

В ньютоновском пределе, т.е. когда $R_{\text{e}}$ достаточно велик по сравнению с радиусом Шварцшильда $r_{\text{S}}$, красное смещение можно аппроксимировать как

$z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\approx {\frac {1}{2}}{\frac {r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}}={\frac {GM}{R_{\text{e}}c^{2}}}={\frac {gR_{\text{e}}}{c^{2}}}$

где $g$ - гравитационное ускорение при $R_{\text{e}}$. Для поверхности Земли относительно бесконечности z составляет примерно 7 × 10. ⁻¹⁰ (эквивалент радиального доплеровского сдвига 0,2 м/с); для Луны это примерно 3×10 ⁻¹¹ (около 1 см/с). Значение для поверхности Солнца составляет около 2 × 10 ⁻⁶ , что соответствует 0,64 км/с. (Для нерелятивистских скоростей радиальную доплеровскую эквивалентную скорость можно аппроксимировать, умножив z на скорость света.)

Значение z можно кратко выразить через скорость убегания при $R_{\text{e}}$, поскольку гравитационный потенциал равен половине квадрата скорости убегания , таким образом:

$z\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\right)^{2}$

где $v_{\text{e}}$ скорость убегания при $R_{\text{e}}$.

Это также может быть связано со скоростью круговой орбиты. $v_{\text{o}}$ в $R_{\text{e}}$, что равно $v_{\text{e}}/{\sqrt {2}}$, таким образом

$z\approx \left({\frac {v_{\text{o}}}{c}}\right)^{2}$.

Например, гравитационное голубое смещение света далеких звезд из-за гравитации Солнца, вокруг которого Земля вращается со скоростью около 30 км/с, будет примерно 1 × 10 ⁻⁸ или эквивалент радиального доплеровского сдвига 3 м/с.

Для объекта на (круговой) орбите гравитационное красное смещение сравнимо по величине с поперечным эффектом Доплера : $z\approx {\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}$ где β = v / c , при этом оба они намного меньше радиального эффекта Доплера , для которого $z\approx \beta$.

Предсказание ньютоновского предела с

Формулу гравитационного красного смещения в ньютоновском пределе можно также вывести, используя свойства фотона:

В гравитационном поле ${\vec {g}}$ частица массы $m$ и скорость ${\vec {v}}$ меняет свою энергию $E$ в соответствии с:

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m{\vec {g}}\cdot {\vec {v}}={\vec {g}}\cdot {\vec {p}}$.

Для безмассового фотона, описываемого его энергией $E=h\nu =\hbar \omega$ и импульс ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ это уравнение принимает вид после деления на постоянную Планка $\hbar$:

${\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}={\vec {g}}\cdot {\vec {k}}$

Введение гравитационного поля сферического тела массы $M$ на расстоянии ${\vec {r}}$

${\vec {g}}=-GM{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}$

и волновой вектор фотона, покидающего гравитационное поле в радиальном направлении

${\vec {k}}={\frac {\omega }{c}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

уравнение энергии становится

${\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {GM}{c}}{\frac {\omega }{r^{2}}}.$

С использованием $\mathrm {d} r=c\,\mathrm {d} t$ обыкновенное дифференциальное уравнение, которое зависит только от радиального расстояния $r$ получается:

${\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} r}}=-{\frac {GM}{c^{2}}}{\frac {\omega }{r^{2}}}$

Для фотона, стартовавшего с поверхности сферического тела с радиусом $R_{e}$ с частотой $\omega _{0}=2\pi \nu _{0}$ аналитическое решение:

${\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} r}}=-{\frac {GM}{c^{2}}}{\frac {\omega }{r^{2}}}\quad \Rightarrow \quad \omega (r)=\omega _{0}\exp \left(-{\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {1}{R_{e}}}-{\frac {1}{r}}\right)\right)$

На большом расстоянии от тела $r\rightarrow \infty$ наблюдатель измеряет частоту:

$\omega _{\text{obs}}=\omega _{0}\exp \left(-{\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {1}{R_{e}}}\right)\right)\simeq \omega _{0}\left(1-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}-\ldots \right).$

Следовательно, красное смещение равно:

$z={\frac {\omega _{0}-\omega _{\text{obs}}}{\omega _{\text{obs}}}}={\frac {1-\exp \left(-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}\right)}{\exp \left(-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}\right)}}={\frac {1-\exp \left(-{\frac {r_{S}}{2R_{e}}}\right)}{\exp \left(-{\frac {r_{S}}{2R_{e}}}\right)}}$

В линейном приближении

$z={\frac {{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}+\dots }{1-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}-\ldots }}\simeq {\frac {\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}{1-{\frac {GM}{R_{e}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {G^{2}M^{2}}{R_{e}^{2}c^{4}}}-\dots }}\simeq {\frac {GM}{c^{2}R_{e}}}$

получен ньютоновский предел гравитационного красного смещения общей теории относительности.

Экспериментальная проверка

Смотрите также: Тесты общей теории относительности.

Астрономические наблюдения

Ряд экспериментаторов первоначально утверждали, что определили эффект с помощью астрономических измерений, и считалось, что эффект был окончательно идентифицирован в спектральных линиях звезды Сириус B У.С. Адамсом в 1925 году. Однако измерения Адамса подверглись критике как слишком заниженные. и эти наблюдения теперь считаются измерениями спектров, которые непригодны для использования из-за рассеянного света от главной звезды Сириуса А. Первое точное измерение гравитационного красного смещения белого карлика было сделано Поппером в 1954 году, измерив гравитационное красное смещение 40 Эридана Б со скоростью 21 км/с. Красное смещение Сириуса B было наконец измерено Гринштейном и др. в 1971 году он получил значение гравитационного красного смещения 89 ± 16 км/с, а более точные измерения с помощью космического телескопа Хаббл показали 80,4 ± 4,8 км/с.

Джеймс В. Броулт , аспирант Роберта Дике в Принстонском университете , измерил гравитационное красное смещение Солнца с помощью оптических методов в 1962 году. В 2020 году группа ученых опубликовала наиболее точные на данный момент измерения солнечного гравитационного красного смещения, полученные путем анализа спектральных линий железа в солнечном свете, отраженном Луной; их измерения среднего глобального сдвига линии 638 ± 6 м/с согласуются с теоретическим значением 633,1 м/с. Измерение красного смещения Солнца осложняется доплеровским сдвигом, вызванным движением поверхности Солнца, который по величине аналогичен гравитационному эффекту.

В 2011 году группа Радека Войтака из Института Нильса Бора при Копенгагенском университете собрала данные из 8000 скоплений галактик и обнаружила, что свет, исходящий из центров скоплений, имеет тенденцию смещаться в красную сторону по сравнению с краями скоплений, что подтверждает потерю энергии. из-за гравитации.

В 2018 году звезда S2 максимально приблизилась к Sgr A* массой 4 миллиона солнечных , сверхмассивной черной дыре лучей в центре Млечного Пути , достигнув скорости 7650 км/с или около 2,5% скорости света при прохождении черной дыры. дыра на расстоянии всего 120 а.е. , или 1400 радиусов Шварцшильда . Независимый анализ коллаборации GRAVITY (под руководством Рейнхарда Гензеля ) и группы галактических центров KECK/UCLA. (под руководством Андреа Гез ) выявили комбинированное поперечное доплеровское и гравитационное красное смещение до 200 км/с/с, что согласуется с предсказаниями общей теории относительности.

В 2021 году Медиавилла ( IAC , Испания) и Хименес-Висенте ( UGR , Испания) смогли использовать измерения гравитационного красного смещения квазаров вплоть до космологического красного смещения z~3, чтобы подтвердить предсказания принципа эквивалентности Эйнштейна и отсутствие космологических данных. эволюция в пределах 13%.

Наземные испытания

Об экспериментах по измерению замедления часов см. Гравитационное замедление времени § Экспериментальное подтверждение .

В настоящее время считается, что этот эффект был окончательно подтвержден экспериментами Паунда , Ребки и Снайдера между 1959 и 1965 годами. Эксперимент Паунда-Ребки 1959 года измерял гравитационное красное смещение в спектральных линиях с использованием земного телескопа. ⁵⁷ излучения Fe Источник гамма- на высоте 22,5 метра. Эта статья была первым определением гравитационного красного смещения, в котором использовались измерения изменения длины волны гамма-фотонов, генерируемых с помощью эффекта Мессбауэра , который генерирует излучение с очень узкой шириной линии. Точность измерений гамма-излучения обычно составляла 1%.

Усовершенствованный эксперимент был проведен Паундом и Снайдером в 1965 году с точностью выше уровня 1%.

Очень точный эксперимент по гравитационному красному смещению был проведен в 1976 году. где водородные мазерные часы на ракете были запущены на высоту 10 000 км и их ход сравнивался с такими же часами на земле. Он проверил гравитационное красное смещение до 0,007%.

Более поздние испытания могут быть проведены с помощью системы глобального позиционирования (GPS), которая должна учитывать гравитационное красное смещение в своей системе синхронизации, а физики проанализировали данные синхронизации, полученные от GPS, чтобы подтвердить другие тесты. Когда был запущен первый спутник, он показал прогнозируемое смещение на 38 микросекунд в день. Такая степень расхождения достаточна, чтобы существенно ухудшить работу GPS в течение нескольких часов, если ее не учесть. Отличный отчет о роли общей теории относительности в разработке GPS можно найти в Ashby 2003.

В 2010 году в ходе эксперимента двое квантовых часов на ионах алюминия были размещены близко друг к другу, но при этом вторые были подняты на 33 см по сравнению с первыми, что сделало эффект гравитационного красного смещения видимым в повседневных лабораторных масштабах.

В 2020 году группа из Токийского университета измерила гравитационное красное смещение двух часов на оптической решетке стронция-87 . Измерение проводилось на небоскребе Tokyo Skytree , где часы были разделены примерно 450 м и соединены телекоммуникационными волокнами. Гравитационное красное смещение можно выразить как

$z={\frac {\Delta \nu }{\nu _{1}}}=(1+\alpha ){\frac {\Delta U}{c^{2}}}$,

где $\Delta \nu =\nu _{2}-\nu _{1}$ гравитационное красное смещение, $\nu _{1}$ - частота перехода оптических часов, $\Delta U=U_{2}-U_{1}$ это разница в гравитационном потенциале, и $\alpha$означает нарушение общей теории относительности. С помощью спектроскопии Рэмси перехода оптических часов стронция-87 (429 ТГц, 698 нм) группа определила, что гравитационное красное смещение между двумя оптическими часами составляет 21,18 Гц, что соответствует значению z примерно 5 × 10. ⁻¹⁴ . Их измеренное значение $\alpha$, $(1.4\pm 9.1)\times 10^{-5}$, это согласуется с недавними измерениями, выполненными с помощью водородных мазеров на эллиптических орбитах.

В октябре 2021 года группа JILA под руководством физика Джун Е сообщила об измерении гравитационного красного смещения в субмиллиметровом масштабе. Измерение производится на ⁸⁷ Переход по часам Sr между верхом и низом ультрахолодного облака миллиметровой высоты из 100 000 атомов стронция в оптической решетке .

теории

Гравитационное ослабление света звезд с высокой гравитацией было предсказано Джоном Мичеллом в 1783 году и Пьером-Симоном Лапласом в 1796 году, используя концепцию легких корпускул Исаака Ньютона (см.: Теория излучения ) и которые предсказали, что некоторые звезды будут иметь гравитацию настолько сильный, что свет не смог бы уйти. Затем влияние гравитации на свет исследовал Иоганн Георг фон Зольднер (1801), который рассчитал величину отклонения светового луча Солнцем и пришел к ньютоновскому ответу, который составляет половину значения, предсказанного общей теорией относительности . Во всех этих ранних работах предполагалось, что свет может замедляться и падать, что несовместимо с современным пониманием световых волн.

Когда было принято, что свет — это электромагнитная волна, стало ясно, что частота света не должна меняться от места к месту, поскольку волны от источника с фиксированной частотой везде сохраняют одну и ту же частоту. Одним из способов обойти этот вывод было бы, если бы само время было изменено – если бы часы в разных точках имели разную скорость. Именно к такому выводу пришел Эйнштейн в 1911 году. Он рассмотрел ускоряющийся ящик и отметил, что, согласно специальной теории относительности , тактовая частота «внизу» коробки (сторона, противоположная направлению ускорения) была медленнее, чем тактовая частота «вверху» ( сторону по направлению ускорения). Действительно, в движущемся кадре (в $x$ направлении) со скоростью $v$ относительно остального кадра часы находятся в соседней позиции $dx$ впереди на $(dx/c)(v/c)$(к первому заказу); итак, ускорение $g$ (который меняет скорость на $g/dt$ за раз $dt$) делает часы на позиции $dx$ быть впереди на $(dx/c)(g/c)dt$, то есть тик по курсу

$R=1+(g/c^{2})dx$

Принцип эквивалентности подразумевает, что это изменение тактовой частоты одинаково, независимо от того, ускорение $g$это ускоренная система отсчета без гравитационных эффектов или вызванная гравитационным полем в неподвижной системе отсчета. Поскольку ускорение за счет гравитационного потенциала $V$ является $-dV/dx$, мы получаем

${dR \over dx}=g/c^{2}=-{dV/c^{2} \over dx}\,$

так что – в слабых полях – изменение $\Delta R$ по тактовой частоте равна $-\Delta V/c^{2}$.

Поскольку свет будет замедляться из-за гравитационного замедления времени (как видит внешний наблюдатель), области с более низким гравитационным потенциалом будут действовать как среда с более высоким показателем преломления, заставляя свет отклоняться . Это рассуждение позволило Эйнштейну в 1911 году воспроизвести неверное ньютоновское значение отклонения света. В то время он рассматривал только расширяющее время проявление гравитации, которое является доминирующим на нерелятивистских скоростях; однако релятивистские объекты перемещаются в пространстве примерно так же, как и во времени, поэтому чисто пространственная кривизна становится столь же важной. Построив полную теорию общей теории относительности, Эйнштейн в 1915 году решил полное постньютоновское приближение гравитации Солнца и рассчитал правильную величину отклонения света — вдвое больше ньютоновского значения. Предсказание Эйнштейна было подтверждено многими экспериментами, начиная с Артура Эддингтона экспедиции по солнечному затмению в 1919 году.

Изменение хода часов позволило Эйнштейну прийти к выводу, что световые волны меняют частоту по мере своего движения, а соотношение частота/энергия фотонов позволило ему увидеть, что это лучше всего интерпретировать как влияние гравитационного поля на массу -энергию фотона. . Для расчета изменений частоты в почти статическом гравитационном поле важна только временная составляющая метрического тензора, а приближение низшего порядка достаточно точно для обычных звезд и планет, размер которых намного превышает их радиус Шварцшильда .

См. также

• Тесты общей теории относительности
• Принцип эквивалентности
• Гравитационное замедление времени
• Красное смещение
• Гравитационная волна#Redshifting (красное смещение гравитационных волн из-за скорости или космического расширения)

Ссылки

Первоисточники

• Мичелл, Джон (1784). «О способах определения расстояния, величины и т. д. неподвижных звезд» . Философские труды Королевского общества . 74 : 35–57. Бибкод : 1784RSPT...74...35M . дои : 10.1098/rstl.1784.0008 .
• Лаплас, Пьер-Симон (1796). Система мира . Том. 2 (изд. английского перевода 1809 г.). Лондон: Ричард Филлипс. стр. 366–368.
• фон Зольднер, Иоганн Георг (1804). «Об отклонении светового луча от его прямолинейного движения притяжением небесного тела, мимо которого он почти проходит» . Berliner Astronomisches Jahrbuch : 161–172.
• Альберт Эйнштейн, «Относительность: специальная и общая теория». (@Проект Гутенберг) .
• Паунд, Р.В.; Ребка, Г.А. младший (1959). «Гравитационное красное смещение в ядерном резонансе» . Физ. Преподобный Летт . 3 (9): 439–441. Бибкод : 1959PhRvL...3..439P . дои : 10.1103/physrevlett.3.439 .
• Паунд, Р.В.; Снайдер, Дж.Л. (1965). «Влияние гравитации на гамма-излучение». Физ. Преподобный Б. 140 (3Б): 788–803. Бибкод : 1965PhRv..140..788P . дои : 10.1103/physrev.140.b788 .
• Паунд, Р.В. (2000). «Взвешивание фотонов» (2000). Классическая и квантовая гравитация . 17 (12): 2303–2311. Бибкод : 2000CQGra..17.2303P . doi : 10.1088/0264-9381/17/12/301 . S2CID   250886562 .

Другие источники

• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон Арчибальд (15 сентября 1973 г.). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN  978-0-7167-0344-0 .