Эренфест парадоксальный

Парадокс Эренфеста касается вращения «жесткого» диска в теории относительности .

В своей первоначальной формулировке 1909 года, представленной Полем Эренфестом в отношении концепции жесткости Борна в рамках специальной теории относительности , в нем обсуждается идеально жесткий цилиндр, который вращается вокруг своей оси симметрии. Радиус R , как видно в лабораторной системе координат, всегда перпендикулярен его движению и поэтому должен быть равен своему значению R ₀ в неподвижном состоянии. Однако окружность (2 π R ) должна выглядеть лоренц-сжатой до меньшего значения, чем в состоянии покоя, с обычным коэффициентом γ. Это приводит к противоречию, что R = R ₀ и R < R ₀ .

Парадокс 2 еще больше усугубил Альберт Эйнштейн , который показал, что, поскольку измерительные стержни, выровненные вдоль периферии и движущиеся вместе с ней, должны казаться суженными, по окружности будет умещаться больше стержней, что, таким образом, будет измерять больше, чем π R . Это указывает на то, что геометрия неевклидова для вращающихся наблюдателей и сыграла важную роль в разработке Эйнштейном общей теории относительности .

Любой твердый объект, сделанный из реального материала, который вращается с поперечной скоростью этого материала, , близкой к скорости звука должен превышать точку разрыва из-за центробежной силы , поскольку центробежное давление не может превышать модуль сдвига материала.

${\frac {F}{S}}={\frac {mv^{2}}{rS}}<{\frac {mc_{s}^{2}}{rS}}\approx {\frac {mG}{rS\rho }}\approx G$

где $c_{s}$ это скорость звука, $\rho$ плотность и $G$ сдвига модуль . Поэтому, когда речь идет о релятивистских скоростях , это всего лишь мысленный эксперимент . Нейтронно-вырожденная материя может допускать скорости, близкие к скорости света, поскольку скорость колебаний нейтронной звезды является релятивистской (хотя эти тела нельзя строго назвать « жесткими »).

Суть парадокса

Представьте себе диск радиуса R , вращающийся с постоянной угловой скоростью. $\omega$.

Парадокс Эренфеста - Окружность вращающегося диска должна сжиматься, но не радиус, поскольку радиус перпендикулярен направлению движения.

Система отсчета зафиксирована в неподвижном центре диска. Тогда величина относительной скорости любой точки окружности диска равна $\omega R$. Таким образом, окружность подвергнется лоренцеву сокращению в 1 раз. ${\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}$.

Однако, поскольку радиус перпендикулярен направлению движения, он не будет сокращаться. Так

${\frac {\mathrm {circumference} }{\mathrm {diameter} }}={\frac {2\pi R{\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}}{2R}}=\pi {\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}.$

Это парадоксально, поскольку в соответствии с евклидовой геометрией оно должно быть в точности равно π .

Эренфеста

Эренфест считал идеальный борн-жесткий цилиндр, способный вращаться. Если предположить, что цилиндр не расширяется и не сжимается, его радиус остается прежним. А вот мерные стержни, разложенные по окружности $2\pi R$должна быть лоренц-сжата до меньшей величины, чем в состоянии покоя, в обычный коэффициент γ. Это приводит к парадоксу: жестким измерительным стержням придется отделиться друг от друга из-за лоренцева сокращения; несоответствие, отмеченное Эренфестом, по-видимому, предполагает, что вращающийся твердый диск Борна должен разрушиться.

Таким образом, Эренфест методом доведения до абсурда утверждал , что жесткость Борна в целом несовместима со специальной теорией относительности. Согласно специальной теории относительности, объект не может быть раскручен из невращающегося состояния, сохраняя при этом борновскую жесткость, но как только он достигает постоянной ненулевой угловой скорости, он сохраняет борновскую жесткость, не нарушая специальную теорию относительности, и тогда (как позже показал Эйнштейн) Наблюдатель, ездящий на диске, измерит окружность: $C^{\prime }={\frac {2\pi R}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Эйнштейн и общая теория относительности

Вращающийся диск и его связь с жесткостью также были важным мысленным экспериментом Альберта Эйнштейна при разработке общей теории относительности. Он ссылался на это в нескольких публикациях в 1912, 1916, 1917, 1922 годах и сделал из этого вывод, что геометрия диска становится неевклидовой для наблюдателя, вращающегося вместе. Эйнштейн писал (1922 г.):

66ff: Представьте себе круг, нарисованный вокруг начала координат в плоскости x'y' точки K', и диаметр этого круга. Представьте себе далее, что нам дано большое количество твердых стержней, равных друг другу. Мы предполагаем, что они расположены последовательно по периферии и диаметру круга и покоятся относительно К'. Если U — число этих стержней по периферии, D — число по диаметру, то, если К' не вращается относительно К, мы будем иметь $U/D=\pi$. Но если K' повернется, мы получим другой результат. Предположим, что в определенный момент времени t из K мы определили концы всех стержней. По отношению к К все стержни по периферии испытывают лоренцево сокращение, но стержни по диаметру не испытывают этого сокращения (по своей длине!). Отсюда следует, что $U/D>\pi$.

Отсюда следует, что законы конфигурации твердых тел относительно К' не согласуются с законами конфигурации твердых тел, соответствующими евклидовой геометрии. Если, далее, мы поместим двое одинаковых часов (вращающихся вместе с К'), одни на периферии, а другие в центре круга, то, судя по К, часы на периферии будут идти медленнее, чем часы на периферии. центр. То же самое должно иметь место, если судить по К', если мы определяем время по отношению к К' не совсем неестественным образом, то есть таким образом, что законы относительно К' явно зависят от времени. Следовательно, пространство и время не могут быть определены относительно К', как это было в специальной теории относительности относительно инерциальных систем. Но, согласно принципу эквивалентности, К' следует рассматривать и как покоящуюся систему, по отношению к которой существует гравитационное поле (поле центробежной силы и силы Кориолиса). Таким образом, мы приходим к результату: гравитационное поле влияет и даже определяет метрические законы пространственно-временного континуума. Если законы конфигурации идеальных твердых тел выразить геометрически, то при наличии гравитационного поля геометрия не является евклидовой.

Краткая история

Ссылки на статьи, упомянутые ниже (и многие другие), можно найти в статье Ойвинда Грона , доступной в Интернете.

На этом рисунке показана мировая линия наблюдателя Ланжевена (красная винтовая кривая). На рисунке также изображены световые конусы нескольких событий с полем кадра ланжевеновского наблюдателя, проходящего через это событие.

• 1909: Макс Борн вводит понятие твердого движения в специальной теории относительности.
• 1909: Изучив понятие жесткости Борна, Пауль Эренфест продемонстрировал с помощью парадокса о цилиндре, который переходит от покоя к вращению, что большинство движений протяженных тел не могут быть жесткими по Борну.
• 1910: Густав Герглотц и Фриц Нётер независимо разработали модель Борна и показали ( теорема Герглотца-Нётер ), что жесткость Борна допускает только три степени свободы для движущихся тел. Например, возможно, что твердое тело вращается равномерно, но ускоренное вращение невозможно. Таким образом, твердое тело Борна нельзя перевести из состояния покоя во вращение, что подтверждает результат Эренфеста.
• 1910: Макс Планк обращает внимание на тот факт, что не следует путать проблему сжатия диска из-за его раскручивания с проблемой того, что наблюдатели, едущие на диске, будут измерять по сравнению с неподвижными наблюдателями. Он предполагает, что решение первой проблемы потребует введения некоторой модели материала и использования теории упругости .
• 1910: Теодор Калуца ​​указывает, что нет ничего парадоксального в том, что статичные и дисковые наблюдатели получают разные результаты для окружности. Однако это подразумевает, утверждает Калуца, что «геометрия вращающегося диска» неевклидова . Он утверждает без доказательства, что эта геометрия на самом деле есть, по существу, только геометрия гиперболической плоскости .
• 1911: Владимир Варичак утверждал, что парадокс возникает только с точки зрения Лоренца, когда твердые тела сжимаются, но не в том случае, если сокращение «вызвано способом регулирования наших часов и измерения длины». Эйнштейн опубликовал опровержение , отрицая, что его точка зрения отличается от точки зрения Лоренца.
• 1911: Макс фон Лауэ показывает, что ускоренное тело имеет бесконечное число степеней свободы, поэтому в специальной теории относительности не может существовать никаких твердых тел.
• 1916: При написании своей новой общей теории относительности замечает, что наблюдатели , Альберт Эйнштейн едущие на диске, измеряют более длинную окружность, C ′ = 2 πr / √ 1− v. ² . То есть, поскольку линейки, движущиеся параллельно своей оси длины, кажутся короче по измерениям статичных наблюдателей, наблюдатели, едущие на диске, могут разместить по окружности больше меньших линеек заданной длины, чем стационарные наблюдатели.
• 1922: В своей основополагающей книге «Математическая теория относительности» (стр. 113) А.С.Эддингтон вычисляет сокращение радиуса вращающегося диска (по сравнению со стационарными масштабами) на одну четверть коэффициента «лоренцевого сжатия», приложенного к окружности. .
• 1935: Поль Ланжевен по существу вводит движущуюся систему отсчета (или поле рамки на современном языке), соответствующую семейству наблюдателей, перемещающихся по диску, которые теперь называются наблюдателями Ланжевена . (См. рисунок.) Он также показывает, что расстояния, измеренные близлежащими наблюдателями Ланжевена, соответствуют определенной римановой метрике , которая теперь называется метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица .
• 1937: Ян Вейсенхофф (сейчас, возможно, наиболее известный своими работами по связям Картана с нулевой кривизной и ненулевым кручением) замечает, что наблюдатели Ланжевена не являются ортогональными гиперповерхностям. Поэтому метрика Ланжевена-Ландау-Лифшица определяется не на каком-то гиперсрезе пространства-времени Минковского, а на фактор-пространстве , полученном заменой каждой мировой линии точкой . Это дает трехмерное гладкое многообразие , которое становится римановым многообразием, когда мы добавляем метрическую структуру.
• 1946: Натан Розен показывает, что инерционные наблюдатели, мгновенно движущиеся вместе с наблюдателями Ланжевена, также измеряют небольшие расстояния, определяемые метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица.
• 1946: Э. Л. Хилл анализирует релятивистские напряжения в материале, в котором (грубо говоря) скорость звука равна скорости света, и показывает, что они просто компенсируют радиальное расширение, вызванное центробежной силой (в любом физически реалистичном материале релятивистские эффекты уменьшаются, но не не отменять радиальное расширение). Хилл объясняет ошибки в более ранних анализах Артура Эддингтона и других.
• 1952: К. Мёллер пытается изучить нулевую геодезическую с точки зрения вращающихся наблюдателей (но неправильно пытается использовать срезы, а не подходящее факторпространство)
• 1968: В. Кантони дает прямое, чисто кинематическое объяснение парадокса, показывая, что «одно из предположений, неявно содержащихся в формулировке парадокса Эренфеста, неверно, предположение состоит в том, что геометрия пространства-времени Минковского допускает прохождение диск из состояния покоя во вращение таким образом, что и длина радиуса, и длина периферии, измеренные относительно сопутствующей системы отсчета, остаются неизменными».
• 1975: Ойвинд Грён пишет классический обзор решения «парадокса».
• 1977: Грюнбаум и Янис вводят понятие физически реализуемой «нежесткости», которое можно применить к раскрутке изначально невращающегося диска (это понятие физически нереалистично для реальных материалов, из которых можно было бы сделать диск). но это полезно для мысленных экспериментов).
• 1981: Грён замечает, что закон Гука не согласуется с преобразованиями Лоренца, и вводит релятивистское обобщение.
• 1997: Т. А. Вебер явно вводит поле кадра, связанное с наблюдателями Ланжевена.
• 2000: Хрвое Николич указывает, что парадокс исчезает, когда (в соответствии с общей теорией относительности ) каждая часть вращающегося диска рассматривается отдельно, как живущая в своей собственной локальной неинерциальной системе отсчета.
• 2002: Рицци и Руджеро (и Бел) явно вводят упомянутое выше фактормногообразие.
• 2024: Джитендра Кумар анализирует парадокс кольца и указывает, что разрешение зависит от того, как кольцо переводится из состояния покоя во вращательное движение, будь то за счет сохранения постоянной длины покоя периферии (в этом случае периферия разрывается) или за счет сохранения длина периферии в инерциальной системе отсчета постоянна (в этом случае периферия физически растягивается, увеличивая длину покоя).

Разрешение парадокса

Грён утверждает, что разрешение парадокса связано с невозможностью синхронизации часов во вращающейся системе отсчета. Если наблюдатели на вращающейся окружности попытаются синхронизировать свои часы по окружности, чтобы установить время на диске, между двумя конечными точками, где они встречаются, будет разница во времени.

Современную резолюцию можно кратко резюмировать следующим образом:

1. Малые расстояния, измеряемые наблюдателями, летающими на диске, описываются метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица , которая действительно хорошо аппроксимируется (для малой угловой скорости) геометрией гиперболической плоскости, как и утверждал Калуца.
2. Для физически разумных материалов во время фазы раскрутки реальный диск расширяется радиально из-за центробежных сил; релятивистские поправки частично противодействуют (но не отменяют) этому эффекту Ньютона. После того, как установившееся вращение достигнуто и диску позволено расслабиться, геометрия «в малом» приблизительно задается метрикой Ланжевена – Ландау – Лифшица.

См. также

• Координаты Борна для координатной карты, адаптированной для наблюдателей, едущих на жестко вращающемся диске.
• Сокращение длины
• Релятивистский диск

Еще несколько «парадоксов» в специальной теории относительности

• Парадокс космического корабля Белла
• Лестничный парадокс
• Физический парадокс
• Парадокс Саппли
• Парадокс близнецов

Цитируемые работы

• Эйнштейн, Альберт (1922). Смысл относительности . Издательство Принстонского университета.
• Файнгольд, Моисей (2008). Специальная теория относительности и как она работает (иллюстрированное издание). Джон Уайли и сыновья. п. 363 . ISBN  978-3-527-40607-4 .
• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна . Спрингер. стр. 91. ISBN  978-0-387-69200-5 .
• Стэчел, Джон (1980). «Эйнштейн и жестко вращающийся диск». Ин Хелд, А. (ред.). Общая теория относительности и гравитация . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0306402661 .

Несколько документов,

• Борн, Макс (1909), «Теория Annals жесткого электрона в кинематике принципа относительности », of Physics (на немецком языке), 335 (11): 1–56, Бибкод : 1909AnP...335.. ..1B , doi : 10.1002/andp.19093351102
• Эренфест, Пауль (1909), » « Равномерное вращение твердых тел и теория относительности , Physical Journal (на немецком языке), 10 : 918, Бибкод : 1909PhyZ...10..918E
• Грон, Эйвинд (2004). «Геометрия пространства во вращающейся системе отсчета: историческая оценка» (PDF) . В Рицци, Г.; Руджеро, М. (ред.). Относительность во вращающихся системах отсчета . Клювер. стр. 285–334. ISBN  978-1402018053 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 июня 2016 года . Проверено 30 сентября 2013 г.
• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна . Спрингер. стр. 91. ISBN  978-0-387-69200-5 .
• Герглотц, Густав (1909), « » О телах, которые следует называть «жесткими» с точки зрения принципа относительности , Annals of Physics (на немецком языке), 336 (2): 393–415, Бибкод : 1910AnP.. .336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Калуца, Т. (1910). «К теории относительности» . Физический журнал (на немецком языке). 11 :977-978.
• Ланжевен, П. (1935). «Замечания о сливовой ноте». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 200 :48.
• Лауэ, Мв (1911). «К дискуссии о твердых телах в теории относительности». Физический журнал (на немецком языке). 12 :85-87.
• Нётер, Фриц (1910). «О кинематике твердого тела в относительной теории» . Анналы физики (на немецком языке). 336 (5): 919–944. Бибкод : 1910АнП...336..919Н . дои : 10.1002/andp.19103360504 .
• Планк, М. (1910). «Равномерное вращение и лоренцево сокращение . » Физический журнал (на немецком языке). 11 :294.

Несколько классических «современных» отсылок

• Кантони (1968). «Что не так с релятивистской кинематикой?». Иль Нуово Чименто . 57 Б (1): 220–223. Бибкод : 1968NCimB..57..220C . дои : 10.1007/bf02710332 . S2CID   119490975 .
• Грён, О. (1975). «Релятивистское описание вращающегося диска». Являюсь. Дж. Физ . 43 (10): 869–876. Бибкод : 1975AmJPh..43..869G . дои : 10.1119/1.9969 .
• Грюнбаум, Адольф ; Дженис, Аллен I (1977). «Геометрия вращающегося диска в специальной теории относительности». В Райхенбахе, Ганс (ред.). Ганс Райхенбах: логический эмпирик . Спрингер Нидерланды. стр. 321–339. дои : 10.1007/978-94-009-9404-1_11 . ISBN  978-94-009-9406-5 .
• Хилл, Эдвард Л. (1946). «Заметка о релятивистской проблеме равномерного вращения». Физический обзор . 69 (9–10)): 488. Бибкод : 1946PhRv...69..488H . дои : 10.1103/PhysRev.69.488 .
• Лифшиц, Э.Ф.; Ландау, Л.Д. (1980). Классическая теория полей (4-е изд.) . Лондон: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2768-9 . См. Раздел 84 и задачу в конце Раздела 89 .
• Райхенбах, Ганс (1969). Аксиоматизация теории относительности . Беркли: Издательство Калифорнийского университета. LCCN   68021540 .

экспериментальные работы и

• Эшворт, генеральный директор; Дэвис, Пенсильвания (1979). «Преобразования между инерциальной и вращающейся системами отсчета». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 12 (9): 1425–40. Бибкод : 1979JPhA...12.1425A . CiteSeerX   10.1.1.205.6181 . дои : 10.1088/0305-4470/9/12/011 .
• Эшворт, генеральный директор; Дженнисон, Р.К. (1976). «Измерения во вращающихся системах». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 9 (1): 35–43. Бибкод : 1976JPhA....9...35A . дои : 10.1088/0305-4470/9/1/008 .
• Бун, ПФ (1977). «Относительность вращения». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 10 (5): 727–44. Бибкод : 1977JPhA...10..727B . дои : 10.1088/0305-4470/10/5/007 .
• Дэвис, Пенсильвания (1976). «Измерения во вращающихся системах». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 9 (6): 951–9. Бибкод : 1976JPhA....9..951D . дои : 10.1088/0305-4470/6/9/014 .
• Дэвис, Пенсильвания; Дженнисон, Р.К. (1975). «Эксперименты с зеркальными транспондерами во вращающихся рамах». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 8 (9): 1390–7. Бибкод : 1975JPhA....8.1390D . дои : 10.1088/0305-4470/8/9/007 .

Избранные недавние источники

• Николич, Хрвое (2000). «Релятивистское сжатие и связанные с ним эффекты в неинерциальных системах отсчета». Физ. Преподобный А. 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Бибкод : 2000PhRvA..61c2109N . дои : 10.1103/PhysRevA.61.032109 . S2CID   5783649 . Изучает общее неинерционное движение точечной частицы и рассматривает вращающийся диск как набор таких неинерциальных частиц. См. также версию для электронной печати .
• Паури, Массимо; Валлиснери, Микеле (2000). «Координаты Мерцке – Уиллера для ускоренных наблюдателей в специальной теории относительности». Найденный. Физ. Летт . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Бибкод : 2000gr.qc.....6095P . дои : 10.1023/А:1007861914639 . S2CID   15097773 . Изучает карту координат, построенную с использованием радиолокационного расстояния «в целом» от одного наблюдателя Ланжевена. См. также версию для электронной печати .
• Рицци, Г.; Руджеро, ML (2002). «Пространственная геометрия вращающихся платформ: оперативный подход». Найденный. Физ . 32 (10): 1525–1556. arXiv : gr-qc/0207104 . Бибкод : 2002gr.qc.....7104R . дои : 10.1023/А:1020427318877 . S2CID   16826601 . Они дают точное определение «пространства диска» (неевклидово) и решают парадокс без посторонних динамических соображений. См. также версию для электронной печати .
• Руджеро, ML; Рицци, Г. (2004). Относительность во вращающихся системах отсчета . Дордрехт: Клювер. ISBN  978-1-4020-1805-3 . Эта книга содержит всеобъемлющий исторический обзор Эйвинда Грона, на котором основана «краткая история» в этой статье, а также некоторые другие статьи о парадоксе Эренфеста и связанных с ним противоречиях. В этой книге можно найти сотни дополнительных ссылок, в частности статью Грона.
• Кумар, Джитендра (2024). «Парадокс Эренфеста: тщательное исследование». Являюсь. Дж. Физ . 92 (2): 140–145. arXiv : 2305.07953 . Бибкод : 2024AmJPh..92..140K . дои : 10.1119/5.0153190 . Рассматривает два способа перевода кольца из состояния покоя во вращательное движение и разрешает парадокс для этих двух случаев. См. также версию для электронной печати .

Внешние ссылки

• «Жесткий вращающийся диск в теории относительности» , Майкл Вайс (1995), из FAQ по научной физике .
• Карусель Эйнштейна (раздел 3.5.4) , Б. Кроуэлл