Прирожденная жесткость

Рожденная жесткость — это концепция специальной теории относительности . Это один из ответов на вопрос, что в специальной теории относительности соответствует твердому телу нерелятивистской классической механики .

Эту концепцию ввел Макс Борн (1909). который дал подробное описание случая постоянного собственного ускорения , который он назвал гиперболическим движением . Когда последующие авторы, такие как Пауль Эренфест (1909), попытались также включить вращательные движения, стало ясно, что борновская жесткость - это очень ограничительное чувство жесткости, что привело к теореме Герглотца-Нетер , согласно которой существуют серьезные ограничения на вращательные борновские жесткие движения. Его сформулировал Густав Герглотц (1909, классифицировавший все формы вращательных движений). и, в менее общем виде, Фрицем Нётером (1909). В результате Борн (1910) и другие дали альтернативные, менее ограничительные определения жесткости.

Определение

Борновская жесткость удовлетворяется, если ортогональное расстояние в пространстве-времени между бесконечно разделенными кривыми или мировыми линиями постоянно. или, что то же самое, если длина твердого тела в мгновенных сопутствующих инерциальных системах отсчета , измеренная стандартными измерительными стержнями (т.е. собственная длина ), постоянна и, следовательно, подвергается лоренцеву сжатию в относительно движущихся системах отсчета. Прирожденная жесткость — это ограничение движения протяженного тела, достигаемое тщательным приложением сил к различным частям тела. Тело, твердое само по себе, нарушило бы специальную теорию относительности, поскольку скорость его звука была бы бесконечной.

Классификацию всех возможных жестких движений Борна можно получить с помощью теоремы Герглотца – Нётер. Эта теорема утверждает, что все безвихревые жесткие движения Борна ( класс A ) состоят из гиперплоскостей , жестко движущихся в пространстве-времени, в то время как любое вращательное жесткое движение Борна ( класс B ) должно быть изометрическим движением Киллинга . Это означает, что твердое тело Борна имеет только три степени свободы . Таким образом, тело можно перевести по Борну жестко из состояния покоя в любое поступательное движение, но нельзя перевести по Борну жестко из состояния покоя во вращательное движение.

Напряжения и борновская жесткость

Это было показано Херглотцем (1911). что релятивистская теория упругости может быть основана на предположении, что напряжения возникают при нарушении условия борновской жесткости.

Примером нарушения жесткости Борна является парадокс Эренфеста : хотя состояние равномерного кругового движения тела входит в число разрешенных жестких движений Борна класса В , тело нельзя перевести из любого другого состояния движения в равномерное круговое движение, не нарушив его. условие борновской жесткости в фазе, когда тело испытывает различные ускорения. Но если эта фаза закончилась и центростремительное ускорение становится постоянным, тело может вращаться равномерно в соответствии с жесткостью Борна. Аналогично, если оно сейчас находится в равномерном круговом движении, то это состояние нельзя изменить, не нарушив вновь борновской жесткости тела.

Другим примером является парадокс космического корабля Белла : если конечные точки тела ускоряются с постоянными собственными ускорениями в прямолинейном направлении, то ведущая конечная точка должна иметь меньшее собственное ускорение, чтобы оставить собственную длину постоянной и обеспечить жесткость Борна. Оно также будет демонстрировать возрастающее лоренцево сокращение во внешней инерциальной системе отсчета, то есть во внешней системе отсчета конечные точки тела не ускоряются одновременно. Однако если выбран другой профиль ускорения, при котором конечные точки тела одновременно ускоряются с тем же собственным ускорением, что и во внешней инерциальной системе отсчета, его борновская жесткость будет нарушена, поскольку постоянная длина во внешней системе отсчета подразумевает увеличение собственной длины во внешней инерциальной системе отсчета. сопутствующий кадр из-за относительности одновременности. В этом случае хрупкая нить, натянутая между двумя ракетами, будет испытывать напряжения (которые называются напряжениями Герглотца-Девана-Берана). ) и, следовательно, сломается.

Рожденные жесткие движения

Классификацию разрешенных, в частности вращательных, жестких борновских движений в плоском пространстве-времени Минковского дала Герглотц: который также изучал Фридрих Коттлер (1912, 1914), Жорж Леметр (1924), Адриан Фоккер (1940), Джордж Зальцманн и Авраам Х. Тауб (1954). Герглотц указывал, что континуум движется как твердое тело, когда мировые линии его точек представляют собой эквидистантные кривые в $\mathbf {R} ^{4}$. В результате мирское можно разделить на два класса:

Класс А: Безвихревые движения.

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются ортогональными траекториями семейства гиперплоскостей , которые также можно рассматривать как решения уравнения Риккати. (Зальцманн и Тауб назвали это «плоским движением». или «безвихревое жесткое движение» Бойера ). Он пришел к выводу, что движение такого тела полностью определяется движением одной из его точек.

Общая метрика для этих безвихревых движений была дана Герглотцем, работа которого была обобщена в упрощенных обозначениях Леметром (1924). Также метрика Ферми в форме, данной Кристианом Мёллером (1952) для жестких систем с произвольным движением начала координат, была определена как «наиболее общая метрика для безвихревого твердого движения в специальной теории относительности». В целом было показано, что безвихревое борновское движение соответствует тем ферми-конгруэнциям, из которых любая мировая линия может быть использована в качестве базовой (однородная ферми-конгруэнция).

Херглотц 1909	$ds^{2}=da^{2}+\varphi (db,dc)-\Theta ^{2}d\vartheta ^{2}$
Леметр 1924	${\begin{aligned}&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+my+nz+p\right)\end{aligned}}$
Моллер 1952	$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}$

Уже Борн (1909) указывал, что твердое тело в поступательном движении имеет максимальную пространственную протяженность в зависимости от его ускорения, определяемую соотношением $b<c^{2}/R$, где $b$ это правильное ускорение и $R$ - радиус сферы, в которой находится тело, поэтому чем выше собственное ускорение, тем меньше максимальная протяженность твердого тела. Частный случай поступательного движения с постоянным собственным ускорением известен как гиперболическое движение с мировой линией

Рожденный 1909	${\begin{aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\end{aligned}}$
Херглотц 1909	$x=x',\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$ $x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}$
Летнее поле 1910	${\begin{aligned}&x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}$
Коттер 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}$ $x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u$

Класс B: Вращательные изометрические движения.

Соответствующие системы отсчета для этих вращательных движений см. в разделе Правильная система отсчета (плоское пространство-время) # Правильные системы отсчета для времениподобных спиралей.

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются траекториями однопараметрической группы движений. (Зальцманн и Тауб назвали это «групповым движением». и был отождествлен с изометрическим Киллинга движением Феликсом Пирани и Гаретом Уильямсом (1962). ). Он указывал, что они состоят из мировых линий, три кривизны которых постоянны (известные как кривизна , кручение и гиперторсия), образующих спираль . Мировые линии постоянной кривизны в плоском пространстве-времени также изучались Коттлером (1912): Питерский (1964), Джон Лайтон Синдж (1967, назвавший их времениподобными спиралями в плоском пространстве-времени), или Летау (1981, назвавший их стационарными мировыми линиями) как решения формул Френе–Серре .

Герглотц далее выделил класс B, используя четыре однопараметрические группы преобразований Лоренца (локсодромные, эллиптические, гиперболические, параболические) по аналогии с гиперболическими движениями (т.е. изометрическими автоморфизмами гиперболического пространства) , и указал, что гиперболическое движение Борна (которое следует из гиперболическая группа с $\alpha =0$ в обозначениях Герглотца и Коттлера, $\lambda =0$ в обозначениях Леметра, $q=0$ в обозначениях Synge; см. следующую таблицу) — единственное твердое движение Борна, принадлежащее обоим классам A и B.

Локсодромная группа (сочетание гиперболического движения и равномерного вращения)
Херглотц 1909	$x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$
Коттер 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}$
Леметр 1924	${\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}$
Петь 1967	$x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s$
Эллиптическая группа (равномерное вращение)
Херглотц 1909	$x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta$
Коттер 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}$
они сидят 1916	${\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}$
Леметр 1924	${\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}$
Петь 1967	$x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr$
Гиперболическая группа (гиперболическое движение плюс пространственноподобное перемещение)
Херглотц 1909	$x=x'+\alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$
Коттер 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u,\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}$
Леметр 1924	${\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}$
Петь 1967	$x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s$
Параболическая группа (описывающая полукубическую параболу )
Херглотц 1909	$x=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad t-z=\delta \vartheta$
Коттер 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}$
Леметр 1924	${\begin{aligned}&\xi =x+{\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}$
Петь 1967	$x={\frac {1}{6}}b^{2}s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{2}s^{3}$

Общая теория относительности

Попытки распространить концепцию борновской жесткости на общую теорию относительности были предприняты Зальцманном и Таубом (1954). К. Бересфорд Рейнер (1959), Пирани и Уильямс (1962), Роберт Х. Бойер (1964). Было показано, что теорема Герглотца–Нётер не выполняется полностью, поскольку возможны жесткие вращающиеся системы отсчета или конгруэнции, которые не представляют собой изометрические движения Киллинга.

Альтернативы

В качестве условий жесткости также было предложено несколько более слабых заменителей, например, Нётер (1909). или сам Борн (1910).

Современную альтернативу предложили Эпп, Манн и МакГрат. В отличие от обычной жесткой конгруэнции Борна, состоящей из «истории множества точек, заполняющих пространственный объем», они восстанавливают шесть степеней свободы классической механики, используя квазилокальную жесткую систему координат, определяя конгруэнцию в терминах «истории множества точек на поверхности, ограничивающей пространственный объем».

Библиография

• Борн, Макс (1909a), «Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips» [Перевод из Wikisource: Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, Бибкод : 1909АнП...335....1Б , дои : 10.1002/andp.19093351102
• Борн, Макс (1909b), «О динамике электрона в кинематике принципа относительности» [Перевод из Wikisource: О динамике электрона в кинематике принципа относительности ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814– 817
• Борн, Макс (1910), «О кинематике твердого тела в системе принципа относительности» [перевод из Wikisource: О кинематике твердого тела в системе принципа относительности ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161–179
• Эренфест, Пол (1909), «Равномерное вращение твердых тел и теория относительности» [Перевод из Wikisource: Равномерное вращение твердых тел и теория относительности ], Physical Journal , 10 : 918, Бибкод : 1909PhyZ...10. .918E
• Франклин, Джерролд (2013), «Движение твердого тела в специальной теории относительности», Foundations of Physics , 95 (12): 1489–1501, arXiv : 1105.3899 , Bibcode : 2013FoPh...43.1489F , doi : 10.1007/s10701-013-9757-x , S2CID   254514424
• Герглотц, Густав (1910) [1909], О телах « , которые следует обозначать как «твердые» с точки зрения принципа относительности », Annals of the Physics , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP.. .336..393H , дои : 10.1002/андп.19103360208
• Герглотц, Густав (1911), «О механике деформируемого тела с точки зрения теории относительности» , Annals of Physics , 341 (13): 493–533, Бибкод : 1911AnP...341..493H , doi : 10.1002/андп 19113411303 ; Английский перевод Дэвида Дельфениха: О механике деформируемых тел с точки зрения теории относительности .
• Нётер, Фриц (1910) [1909]. «О кинематике твердого тела в относительной теории» . Анналы физики . 336 (5): 919–944. Бибкод : 1910АнП...336..919Н . дои : 10.1002/andp.19103360504 .
• Зоммерфельд, Арнольд (1910). «К теории относительности II: Четырехмерный векторный анализ» [перевод из Wikisource: К теории относительности II: Четырехмерный векторный анализ ]. Анналы физики . 338 (14): 649–689. Бибкод : 1910АнП...338..649С . дои : 10.1002/andp.19103381402 .
• Коттлер, Фридрих (1912). «О пространственно-временных линиях мира Минковского» [перевод из Wikisource: О пространственно-временных линиях мира Минковского ]. Отчет о встрече в Вене 2а . 121 : 1659–1759. hdl : 2027/mdp.39015051107277 .
• Коттлер, Фридрих (1914а). «Принцип относительности и ускоренное движение» . Анналы физики . 349 (13): 701–748. Бибкод : 1914АнП...349..701К . дои : 10.1002/andp.19143491303 .
• Коттлер, Фридрих (1914b). «Падающие системы отсчета с точки зрения принципа относительности» . Анналы физики . 350 (20): 481–516. Бибкод : 1914АнП...350..481К . дои : 10.1002/andp.19143502003 .
• Де Ситтер, В. (1916). «О теории гравитации Эйнштейна и ее астрономических следствиях. Вторая статья» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 77 (2): 155–184. Бибкод : 1916МНРАС..77..155Д . дои : 10.1093/mnras/77.2.155 .
• Паули, Вольфганг (1921), «Теория относительности» , Энциклопедия математических наук , 5 (2): 539–776.

По-английски: Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности . Том. 165. Дуврские публикации. ISBN  0-486-64152-Х . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )

• Лемэтр, Ж. (1924), «Движение твердого тела согласно принципу относительности», Philosophical Magazine , Series 6, 48 (283): 164–176, doi : 10.1080/14786442408634478
• Фоккер, А.Д. (1949), «О геометрии пространства-времени движущегося твердого тела», Reviews of Modern Physics , 21 (3): 406–408, Bibcode : 1949RvMP...21..406F , doi : 10.1103/ RevModPhys.21.406
• Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности . Оксфорд Кларендон Пресс.
• Зальцман Г. и Тауб А.Х. (1954), «Жесткое движение борновского типа в теории относительности», Physical Review , 95 (6): 1659–1669, Бибкод : 1954PhRv...95.1659S , doi : 10.1103/PhysRev. 95.1659 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Рейнер, CB (1959), «Твердое тело в общей теории относительности» , семинар Джанет. Аналитическая механика и небесная механика , 2 :1–15.
• Пирани, ФАЭ, и Уильямс, Г. (1962), «Жесткое движение в гравитационном поле» , Семинар Джанет. Аналитическая механика и небесная механика , 5 :1–16. {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Петрув, В. (1964). «Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle Constanter Krümmungen» . Приложения математики . 9 (4): 239–240.
• Бойер, Р.Х. (1965), «Жесткие системы координат в общей теории относительности», Труды Лондонского королевского общества A , 28 (1394): 343–355, Бибкод : 1965RSPSA.283..343B , doi : 10.1098/rspa.1965.0025 , S2CID   120278621
• Синг, Дж. Л. (1967) [1966]. «Времеподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской Ирландской академии, раздел А. 65 : 27–42. JSTOR   20488646 .
• Грён, О. (1981), «Ковариантная формулировка закона Гука», Американский журнал физики , 49 (1): 28–30, Бибкод : 1981AmJPh..49...28G , doi : 10.1119/1.12623
• Летау, младший (1981). «Стационарные мировые линии и вакуумное возбуждение неинерциальных детекторов». Физический обзор D . 23 (8): 1709–1714. Бибкод : 1981PhRvD..23.1709L . дои : 10.1103/PhysRevD.23.1709 .
• Бел, Л. (1995) [1993], «Группа Борна и обобщенные изометрии», Относительность в целом: материалы собрания по теории относительности'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
• Джулини, Доменико (2008). «Богатая структура пространства Минковского». Пространство-время Минковского: сто лет спустя . Том. 165. Спрингер. п. 83. arXiv : 0802.4345 . Бибкод : 2008arXiv0802.4345G . ISBN  978-90-481-3474-8 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Эпп, Р.Дж., Манн, Р.Б. и МакГрат, П.Л. (2009), «Возвращение к жесткому движению: жесткие квазилокальные рамки», Классическая и квантовая гравитация , 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode : 2009CQGra..26c5015E , doi : 10.1088/0264-9381/26/3/035015 , S2CID   118856653 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

• Родившаяся жесткость, ускорение и инерция на mathpages.com
• Твердый вращающийся диск в теории относительности в FAQ по физике USENET