Консервативное векторное поле

В векторном исчислении консервативное векторное поле — это векторное поле , которое является градиентом некоторой функции . Консервативное векторное поле обладает тем свойством, что его линейный интеграл не зависит от пути; выбор пути между двумя точками не меняет значения линейного интеграла. Независимость линейного интеграла от пути эквивалентна консервативности векторного поля под линейным интегралом. Консервативное векторное поле также является безвихревым ; в трех измерениях это означает, что он имеет исчезающий ротор . Безвихревое векторное поле обязательно консервативно при условии, что область односвязна .

Консервативные векторные поля естественным образом появляются в механике : это векторные поля, представляющие силы физических систем в которых энергия сохраняется , . Для консервативной системы работа , совершаемая при движении по пути в конфигурационном пространстве, зависит только от конечных точек пути, поэтому можно определить потенциальную энергию , которая не зависит от фактического пройденного пути.

Неофициальное обращение

В двух- и трехмерном пространстве существует неоднозначность при взятии интеграла между двумя точками, поскольку существует бесконечно много путей между двумя точками - помимо прямой линии, образованной между двумя точками, можно выбрать изогнутый путь из двух точек. большей длины, как показано на рисунке. Поэтому, вообще говоря, значение интеграла зависит от пройденного пути. Однако в частном случае консервативного векторного поля значение интеграла не зависит от пройденного пути, что можно рассматривать как крупномасштабное сокращение всех элементов. $d{R}$ которые не имеют компонента вдоль прямой между двумя точками. Чтобы визуализировать это, представьте себе двух человек, поднимающихся на скалу; один решает взобраться на скалу, поднимаясь по ней вертикально, а второй решает идти по извилистой тропе, длина которой превышает высоту скалы, но лишь под небольшим углом к ​​горизонту. Хотя два путешественника выбрали разные маршруты, чтобы подняться на вершину утеса, на вершине они оба получили одинаковое количество потенциальной гравитационной энергии. Это потому, что гравитационное поле консервативно.

Изображение двух возможных путей интеграции. Зелёным цветом обозначен простейший возможный путь; синий показывает более извилистую кривую

Интуитивное объяснение

М. К. Эшера Литография «Восхождение и спуск» иллюстрирует неконсервативное векторное поле, которое невозможно представить как градиент изменяющейся высоты над землей (гравитационный потенциал) при движении по лестнице. Силовое поле, испытываемое тем, кто движется по лестнице, неконсервативно в том смысле, что можно вернуться в исходную точку, поднимаясь больше, чем спускаясь, или наоборот, что приводит к ненулевой работе силы тяжести. На реальной лестнице высота над землей представляет собой скалярное потенциальное поле: нужно подняться вверх ровно на столько же, сколько пройти вниз, чтобы вернуться на то же место, и в этом случае работа силы тяжести в сумме равна нулю. Это предполагает независимость работы, выполняемой на лестнице, от пути; эквивалентно, испытываемое силовое поле является консервативным (см. следующий раздел: Независимость от пути и консервативное векторное поле ). Ситуация, изображенная на гравюре, невозможна.

Определение

Векторное поле $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}$, где $U$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$называется консервативным, если существует $C^{1}$ ( непрерывно дифференцируемое ) скалярное поле $\varphi$ на $U$ такой, что

$$\mathbf {v} =\nabla \varphi .$$

Здесь, $\nabla \varphi$ обозначает градиент ​ $\varphi$. С $\varphi$ непрерывно дифференцируема, $\mathbf {v}$ является непрерывным. Когда приведенное выше уравнение справедливо, $\varphi$ называется скалярным потенциалом для $\mathbf {v}$.

Фундаментальная теорема векторного исчисления гласит, что при некоторых условиях регулярности любое векторное поле можно выразить как сумму консервативного векторного поля и соленоидального поля .

от пути и консервативное

Основная статья: Теорема о градиенте

Независимость от пути

Линейный интеграл векторного поля $\mathbf {v}$ называется независимым от пути, если он зависит только от двух целочисленных конечных точек пути, независимо от того, какой путь между ними выбран:

$$\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r}$$

для любой пары целочисленных путей $P_{1}$ и $P_{2}$ между заданной парой конечных точек пути в $U$.

Независимость от пути также эквивалентно выражается как

$$\int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0$$

для любого кусочно-гладкого замкнутого пути $P_{c}$ в $U$ где две конечные точки совпадают. Два выражения эквивалентны, поскольку любой замкнутый путь $P_{c}$ можно сделать двумя путями; $P_{1}$ из конечной точки $A$ в другую конечную точку $B$, и $P_{2}$ от $B$ к $A$, так

$$\int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} +\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} -\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0$$

где $-P_{2}$ является противоположностью $P_{2}$ и последнее равенство имеет место в силу независимости пути ${\textstyle \displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} .}$

Консервативное векторное поле

Ключевое свойство консервативного векторного поля. $\mathbf {v}$ заключается в том, что его интеграл по пути зависит только от конечных точек этого пути, а не от конкретного пройденного маршрута. Другими словами, если это консервативное векторное поле, то его линейный интеграл не зависит от пути. Предположим, что $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ для некоторых $C^{1}$ ( непрерывно дифференцируемое ) скалярное поле $\varphi$ над $U$ как открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ (так $\mathbf {v}$ — консервативное векторное поле, непрерывное) и $P$ является дифференцируемым путем (т. е. он может быть параметризован дифференцируемой функцией ) в $U$ с начальной точкой $A$ и конечная точка $B$. Тогда теорема о градиенте (также называемая фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов ) утверждает, что

$$\int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).$$

Это справедливо как следствие определения линейного интеграла , цепного правила и второй фундаментальной теоремы исчисления . $\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\nabla {\varphi }\cdot d\mathbf {r}$ в линейном интеграле является точным дифференциалом для ортогональной системы координат (например, декартовых , цилиндрических или сферических координат ). Поскольку теорема о градиенте применима для дифференцируемого пути, независимость от пути консервативного векторного поля над кусочно-дифференциальными кривыми также доказывается доказательством для каждой компоненты дифференцируемой кривой.

На данный момент доказано, что консервативное векторное поле $\mathbf {v}$ является линейным интегралом, не зависящим от пути. Обратно, если непрерывное векторное поле $\mathbf {v}$ (линейный интеграл) не зависит от пути, то это консервативное векторное поле , поэтому справедливо следующее двуусловное утверждение:

Для непрерывного векторного поля $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}$, где $U$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$, оно консервативно тогда и только тогда, когда его прямой интеграл по пути в $U$ не зависит от пути, то есть линейный интеграл зависит только от обеих конечных точек пути, независимо от того, какой путь между ними выбран.

Доказательство обратного утверждения состоит в следующем.

Линейные интегральные пути используются для доказательства следующего утверждения: если линейный интеграл векторного поля не зависит от пути, то векторное поле является консервативным векторным полем.

$\mathbf {v}$ представляет собой непрерывное векторное поле, линейный интеграл которого не зависит от пути. Тогда давайте создадим функцию $\varphi$ определяется как

$$\varphi (x,y)=\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }$$

по произвольному пути между выбранной начальной точкой $(a,b)$ и произвольная точка $(x,y)$. Поскольку он не зависит от пути, он зависит только от $(a,b)$ и $(x,y)$ независимо от того, какой путь между этими точками выбран.

двумерная декартова система координат Давайте выберем путь, показанный слева на правом рисунке, где используется . Второй отрезок этого пути параллелен $x$ оси, чтобы не было никаких изменений вдоль $y$ ось. Линейный интеграл по этому пути равен

$$\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }.$$

Ввиду независимости пути его частная производная по $x$ (для $\varphi$ иметь частные производные, $\mathbf {v}$ должно быть непрерывным.)

$${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }$$

с $x_{1}$ и $x$ независимы друг от друга. Давайте выразим $\mathbf {v}$ как ${\displaystyle \mathbf {v} }=P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j}$ где $\mathbf {i}$ и $\mathbf {j}$ являются единичными векторами вдоль $x$ и $y$ оси соответственно, то, поскольку $d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j}$,

$${\frac {\partial }{\partial x}}\varphi (x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}P(t,y)dt=P(x,y)$$

где последнее равенство взято из второй фундаментальной теоремы исчисления .

Аналогичный подход для линейного интегрального пути, показанного справа на правом рисунке, приводит к ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}$ так

$$\mathbf {v} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} =\nabla \varphi$$

доказано для двумерной декартовой системы координат . Этот метод доказательства можно напрямую расширить до ортогональной системы координат более высокой размерности (например, трехмерной сферической системы координат ), так что обратное утверждение доказано. можно найти еще одно доказательство Здесь , обратное теореме о градиенте.

Безвихревые векторные поля

Вышеупомянутое векторное поле $\mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)$ определено на $U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}$, то есть, $\mathbb {R} ^{3}$ с удалением всех координат на $z$-ось (поэтому это не односвязное пространство), имеет нулевой изгиб в $U$ и поэтому является безвихревым. Однако он не консервативен и не имеет независимости от пути.

Позволять $n=3$ (трехмерное пространство), и пусть $\mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}$ быть $C^{1}$ ( непрерывно дифференцируемое ) векторное поле с открытым подмножеством $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$. Затем $\mathbf {v}$ называется безвихревым, если его ротор равен $\mathbf {0}$ повсюду в $U$, то есть, если

$$\nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .$$

По этой причине такие векторные поля иногда называют векторными полями без скручиваний или векторными полями без скручиваний. Их еще называют продольными векторными полями .

Идентичность векторного исчисления заключается в том, что для любого $C^{2}$ ( непрерывно дифференцируемое с точностью до 2-й производной ) скалярное поле $\varphi$ на $U$, у нас есть

$$\nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .$$

Следовательно, каждый $C^{1}$ консервативное векторное поле в $U$ также является безвихревым векторным полем в $U$. Этот результат легко доказать, выразив $\nabla \times (\nabla \varphi )$ в декартовой системе координат с теоремой Шварца (также называемой теоремой Клеро о равенстве смешанных частей).

При условии, что $U$ является односвязным открытым пространством (грубо говоря, цельным открытым пространством без дыры внутри него), верно и обратное утверждение: каждое безвихревое векторное поле в односвязном открытом пространстве $U$ это $C^{1}$ консервативное векторное поле в $U$.

Приведенное выше утверждение, если вообще говоря, неверно, $U$ не просто связано. Позволять $U$ быть $\mathbb {R} ^{3}$ с удалением всех координат на $z$-ось (поэтому это не односвязное пространство), т. е. $U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}$. Теперь определите векторное поле $\mathbf {v}$ на $U$ к

$$\mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).$$

Затем $\mathbf {v}$ имеет нулевой скручивание повсюду $U$ ( $\nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0}$ повсюду в $U$), то есть, $\mathbf {v}$ является безвихревым. Однако тираж ​ $\mathbf {v}$ вокруг единичного круга в $xy$-самолет $2\pi$; в полярных координатах , $\mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r$, поэтому интеграл по единичному кругу равен

$$\oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .$$

Поэтому, $\mathbf {v}$ не обладает свойством независимости от пути, обсуждавшимся выше, поэтому не является консервативным, даже если $\nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0}$ с $U$ где $\mathbf {v}$ определяется как не односвязное открытое пространство.

Скажем еще раз, в односвязной открытой области безвихревое векторное поле $\mathbf {v}$ имеет свойство независимости от пути (поэтому $\mathbf {v}$ как консерватор). Это можно доказать непосредственно, используя теорему Стокса :

$$\oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0$$

для любой гладкой ориентированной поверхности $A$ какая граница представляет собой простой замкнутый путь $P_{c}$. Итак, делается вывод, что в односвязной открытой области любая $C^{1}$ векторное поле, обладающее свойством независимости от пути (поэтому оно является консервативным векторным полем), также должно быть безвихревым, и наоборот.

Абстракция

Более абстрактно, при наличии римановой метрики векторные поля соответствуют дифференциальным $1$-формы . Консервативные векторные поля соответствуют точным $1$-формам , то есть к формам, являющимся внешней производной $d\phi$ функции (скалярного поля) $\phi$ на $U$. Безвихревые векторные поля соответствуют замкнутому $1$-формы , то есть $1$-формы $\omega$ такой, что $d\omega =0$. Как $d^{2}=0$, любая точная форма замкнута, поэтому любое консервативное векторное поле безвихревое. И наоборот, все закрыто. $1$-формы точны, если $U$ просто связано .

Завихренность

Основная статья: Завихренность

завихренность ​ ${\boldsymbol {\omega }}$ векторного поля можно определить следующим образом:

$${\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .$$

Завихренность безвихревого поля всюду равна нулю. Теорема Кельвина о циркуляции утверждает, что жидкость, которая является безвихревой в невязком потоке, останется безвихревой. Этот результат может быть получен из уравнения переноса завихренности , полученного путем использования ротора уравнений Навье – Стокса .

Для двумерного поля завихренность выступает мерой локального вращения элементов жидкости. Завихренность ничего не говорит о глобальном поведении жидкости. Жидкость, движущаяся по прямой, может иметь завихренность, а жидкость, движущаяся по кругу, может быть безвихревой.

Консервативные силы

Примеры потенциальных и градиентных полей в физике:

•   Скалярные поля, скалярные потенциалы:
  • V _G , гравитационный потенциал
  • W _pot , (гравитационная или электростатическая) потенциальная энергия
  • V _C , Кулоновский потенциал
•   Векторные поля, поля градиента:
  • G _{ускорение} , гравитационное
  • F , (гравитационная или электростатическая) сила
  • E , напряженность электрического поля

Если векторное поле, связанное с силой $\mathbf {F}$ консервативна, то сила называется консервативной силой .

Наиболее яркими примерами консервативных сил являются гравитационная сила (связанная с гравитационным полем) и электрическая сила (связанная с электростатическим полем). Согласно закону тяготения Ньютона , гравитационная сила $\mathbf {F} _{G}$ действующий на массу $m$ из-за массы $M$ расположен на расстоянии $r$ от $m$, подчиняется уравнению

$$\mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},$$

где $G$ гравитационная постоянная и ${\hat {\mathbf {r} }}$ - единичный вектор, указывающий из $M$ к $m$. Сила гравитации консервативна, потому что $\mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}$, где

$$\Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}$$

- гравитационная потенциальная энергия . Другими словами, гравитационное поле ${\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}$ связанный с гравитационной силой $\mathbf {F} _{G}$ градиент потенциала гравитационного ${\frac {\Phi _{G}}{m}}$ связанный с гравитационной потенциальной энергией $\Phi _{G}$. Можно показать, что любое векторное поле вида $\mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}$ консервативен при условии, что $F(r)$ является интегрируемым.

Для консервативных сил независимость от пути можно интерпретировать как означающую, что работа, совершаемая при движении от точки $A$ в точку $B$ не зависит от выбранного пути движения (зависит только от точек $A$ и $B$), и что работа $W$ сделано при обходе простого замкнутого цикла $C$ является $0$:

$$W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.$$

Полная энергия частицы, движущейся под действием консервативных сил, сохраняется в том смысле, что потеря потенциальной энергии преобразуется в равное количество кинетической энергии, или наоборот.

См. также

• Векторное поле Бельтрами
• Консервативная сила
• Консервативная система
• Комплексное ламеллярное векторное поле
• Разложение Гельмгольца
• Лапласово векторное поле
• Продольные и поперечные векторные поля
• Соленоидальное векторное поле

Дальнейшее чтение

• Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0198596790 .