Точный дифференциал

Эта статья о концепции элементарного дифференциального исчисления . Для получения обобщенной расширенной математической концепции дифференциальной топологии и дифференциальной геометрии см. замкнутые и точные дифференциальные формы .

В многомерном исчислении дифференциальная ) или дифференциальная форма называется точной или совершенной ( точный дифференциал , в отличие от неточного дифференциала , если она равна общему дифференциалу. $dQ$ для некоторой дифференцируемой функции  $Q$ в ортогональной системе координат (следовательно, $Q$ — это функция многих переменных , переменные которой независимы , как и всегда ожидается при рассмотрении в исчислении с несколькими переменными ).

Точный дифференциал иногда также называют полным дифференциалом или полным дифференциалом , или, при изучении дифференциальной геометрии , его называют точной формой .

Интеграл от точного дифференциала по любому интегральному пути не зависит от пути , и этот факт используется для идентификации функций состояния в термодинамике .

Обзор

Определение

Даже если мы здесь работаем в трех измерениях, определения точных дифференциалов для других измерений структурно аналогичны трехмерному определению. В трех измерениях форма типа

$A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz$

называется дифференциальной формой . Эта форма называется точной на открытой области. $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ в пространстве, если существует некоторая дифференцируемая скалярная функция $Q=Q(x,y,z)$ определено на $D$ такой, что

$dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,$   $dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz$

через $D$, где $x,y,z$ являются ортогональными координатами (например, декартовыми , цилиндрическими или сферическими координатами ). Другими словами, в некоторой открытой области пространства дифференциальная форма является точным дифференциалом , если она равна общему дифференциалу дифференцируемой функции в ортогональной системе координат.

Примечание. В этом математическом выражении индексы вне круглых скобок указывают, какие переменные остаются постоянными во время дифференцирования. Из-за определения частной производной эти индексы не требуются, но они явно показаны здесь в качестве напоминания.

Интегральная независимость пути

Точный дифференциал для дифференцируемой скалярной функции $Q$ определено в открытом домене $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ равно $dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r}$, где $\nabla Q$ это градиент ​ $Q$, $\cdot$ представляет скалярное произведение и $d\mathbf {r}$ — вектор общего дифференциального смещения, если используется ортогональная система координат. Если $Q$ имеет класс дифференцируемости $C^{1}$ ( непрерывно дифференцируемо ), тогда $\nabla Q$ — консервативное векторное поле для соответствующего потенциала $Q$ по определению. Для трехмерных пространств такие выражения, как $d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)$ и $\nabla Q=({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}})$ можно сделать.

Теорема о градиенте гласит

$\int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)$

это не зависит от того, какой целочисленный путь между заданными конечными точками пути $i$ и $f$ выбран. Таким образом, делается вывод, что интеграл точного дифференциала не зависит от выбора интегрального пути между заданными конечными точками пути (независимость от пути) .

Для трехмерных пространств, если $\nabla Q$ определено в открытом домене $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ имеет класс дифференцируемости $C^{1}$ (эквивалентно $Q$ имеет $C^{2}$), то эту интегральную независимость от путей также можно доказать, используя тождество векторного исчисления $\nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0}$ и теорема Стокса .

$\oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0$

для просто замкнутого цикла $\partial \Sigma$ с гладкой ориентированной поверхностью $\Sigma$ в этом. Если открытый домен $D$ является просто связным открытым пространством (грубо говоря, цельным открытым пространством без дыры внутри него), то любое безвихревое векторное поле (определяемое как $C^{1}$ векторное поле $\mathbf {v}$ какой ротор равен нулю, т.е. $\nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0}$) имеет независимость от путей по теореме Стокса, поэтому делается следующее утверждение; В односвязной открытой области любая $C^{1}$ векторное поле, обладающее свойством независимости от пути (поэтому оно является консервативным векторным полем), также должно быть безвихревым, и наоборот. показано равенство траекторной независимости и консервативных векторных полей Здесь .

Функция термодинамического состояния

В термодинамике , когда $dQ$ точно, функция $Q$ — это функция состояния системы: математическая функция , которая зависит исключительно от текущего состояния равновесия , а не от пути, пройденного для достижения этого состояния. Внутренняя энергия $U$, Энтропия $S$, Энтальпия $H$, свободная энергия Гельмгольца $A$и свободная энергия Гиббса $G$ являются государственными функциями . В общем, ни то, ни другое не работает $W$ ни тепла $Q$ является государственной функцией. (Примечание: $Q$ обычно используется для обозначения тепла в физике. Его не следует путать с использованием ранее в этой статье в качестве параметра точного дифференциала.)

Одно измерение

В одном измерении дифференциальная форма

$A(x)\,dx$

является точным тогда и только тогда, когда $A$ имеет первообразную (но не обязательно одну в терминах элементарных функций). Если $A$ имеет первообразную и пусть $Q$ быть первообразной от $A$ так ${\frac {dQ}{dx}}=A$, затем $A(x)\,dx$ очевидно, удовлетворяет условию точности. Если $A$ не имеет первообразной, то мы не можем написать $dQ={\frac {dQ}{dx}}dx$ с $A={\frac {dQ}{dx}}$ для дифференцируемой функции $Q$ так $A(x)\,dx$ является неточным.

Два и три измерения

По симметрии вторых производных для любой «хорошей» (непатологической ) функции $Q$, у нас есть

${\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.$

Следовательно, в односвязной области R плоскости xy , где $x,y$ независимы, дифференциальная форма

$A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy$

является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда уравнение

$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$

держит. Если это точный дифференциал, то $A={\frac {\partial Q}{\partial x}}$ и $B={\frac {\partial Q}{\partial y}}$, затем $Q$ — дифференцируемая (гладко непрерывная) функция вдоль $x$ и $y$, так $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$. Если $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$ держится, тогда $A$ и $B$ являются дифференцируемыми (опять же гладко непрерывными) функциями вдоль $y$ и $x$ соответственно, и $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$ это только так.

Для трех измерений в односвязной области R системы координат xyz по аналогичной причине дифференциал

$dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz$

является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда между функциями A , B и C существуют соотношения

$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}$;  $\left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}$;  $\left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.$

Эти условия эквивалентны следующему предложению: Если — график этой векторной функции, то для всех касательных векторов X , Y поверхности G G тогда s ( X , Y ) = 0 с s — симплектической формой .

Эти условия, которые легко обобщить, возникают из-за независимости порядка дифференцирования при вычислении вторых производных. Итак, для того, чтобы дифференциал dQ , то есть функция четырех переменных, был точным дифференциалом, необходимо наличие шести условий ( комбинация $C(4,2)=6$), чтобы удовлетворить.

Частные

Если дифференцируемая функция $z(x,y)$ является взаимно однозначным (инъективным) для каждой независимой переменной, например, $z(x,y)$ является один к одному для $x$ по фиксированной цене $y$ хотя это не обязательно взаимно однозначно для $(x,y)$, то существуют следующие полные дифференциалы , поскольку каждая независимая переменная является дифференцируемой функцией для других переменных, например, $x(y,z)$.

$dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz$

$dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.$

Подставив первое уравнение во второе и переставив, получим

$dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,$

$dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,$

$\left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.$

С $y$ и $z$ являются независимыми переменными, $dy$ и $dz$ можно выбирать без ограничений. Чтобы это последнее уравнение в целом выполнялось, члены в квадратных скобках должны быть равны нулю. Левая скобка, равная нулю, приводит к отношению взаимности, а правая скобка, равная нулю, соответствует циклическому отношению, как показано ниже.

Отношения взаимности

Установив первый член в скобках равным нулю, получим

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.$

Небольшая перестановка дает отношение взаимности,

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.$

Есть еще две перестановки предыдущего вывода, которые дают в общей сложности три отношения взаимности между $x$, $y$ и $z$.

Циклическое отношение

Циклическое отношение также известно как циклическое правило или правило тройного произведения . Положив второе слагаемое в скобках равным нулю, получим

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.$

Используя соотношение взаимности для ${\tfrac {\partial z}{\partial y}}$ в этом уравнении и переупорядочение дает циклическое соотношение ( правило тройного произведения ),

${\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.$

Если вместо этого отношения взаимности для ${\tfrac {\partial x}{\partial y}}$ и ${\tfrac {\partial y}{\partial z}}$ используются с последующей перестановкой, стандартная форма неявного дифференцирования получается :

${\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.$

полученные из точных дифференциалов в

(См. также термодинамические уравнения Бриджмена для использования точных дифференциалов в теории термодинамических уравнений )

Предположим, у нас есть пять функций состояния. $z,x,y,u$, и $v$. Предположим, что пространство состояний двумерно и любые из пяти величин дифференцируемы. Тогда по цепному правилу

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv$ ( 1 )

но и по цепному правилу:

$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv$ ( 2 )

и

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv$ ( 3 )

так что (подставив (2) и (3) в (1)):

${\begin{aligned}dz=&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du\\+&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv\end{aligned}}$ ( 4 )

откуда следует (путем сравнения (4) с (1)):

$\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}$ ( 5 )

Сдача в аренду $v=y$ в (5) дает:

$\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}$ ( 6 )

Сдача в аренду $u=y$ в (5) дает:

$\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}$ ( 7 )

Сдача в аренду $u=y$ и $v=z$ в (7) дает:

$\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}$ ( 8 )

с использованием ( $\partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}$ дает правило тройного произведения :

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1$ ( 9 )

См. также

• Закрытые и точные дифференциальные формы для лечения более высокого уровня.
• Дифференциал (математика)
• Неточный дифференциал
• Интегрирующий коэффициент для решения неточных дифференциальных уравнений путем придания им точности
• Точное дифференциальное уравнение

Ссылки

• Перро, П. (1998). Термодинамика от А до Я. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
• Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений . Cengage Обучение. ISBN  978-0-495-10824-5 .

Внешние ссылки

• Неточный дифференциал – из Wolfram MathWorld
• Точные и неточные дифференциалы – Университет Аризоны
• Точные и неточные дифференциалы – Техасский университет
• Точный дифференциал – из Wolfram MathWorld