Неточный дифференциал

Неточный дифференциал или несовершенный дифференциал — это дифференциал , интеграл которого зависит от пути. Чаще всего он используется в термодинамике определяется для выражения изменений величин, зависящих от пути, таких как тепло и работа, но в более общем смысле в математике как тип дифференциальной формы . Напротив, интеграл от точного дифференциала всегда не зависит от пути, поскольку интеграл инвертирует дифференциальный оператор. Следовательно, величина с неточным дифференциалом не может быть выражена как функция только переменных, входящих в дифференциал. То есть его ценность нельзя определить, просто взглянув на начальное и конечное состояния данной системы. Неточные дифференциалы в основном используются в расчетах, связанных с теплом и работой , поскольку они являются функциями пути , а не функциями состояния .

Определение

Неточный дифференциал $\delta u$ — дифференциал, для которого интеграл по некоторым двум путям с одинаковыми концами различен. В частности, существуют интегрируемые пути $\gamma _{1},\gamma _{2}:[0,1]\to \mathbb {R}$ такой, что $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$, $\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$ и $$\int _{\gamma _{1}}\delta u\not =\int _{\gamma _{2}}\delta u$$В этом случае мы обозначаем интегралы как $\Delta u|_{\gamma _{1}}$ и $\Delta u|_{\gamma _{2}}$ соответственно, чтобы сделать явной зависимость изменения величины, которую мы рассматриваем как $u$.

В более общем смысле, неточный дифференциал $\delta u$ является дифференциальной формой , которая не является точным дифференциалом , т. е. для всех функций $f$, $$\mathrm {d} f\neq \delta u$$

Фундаментальная теорема исчисления линейных интегралов требует независимости от пути, чтобы выразить значения данного векторного поля через частные производные другой функции, которая является многомерным аналогом первообразной. Это связано с тем, что не может быть однозначного представления первообразной для неточных дифференциалов, поскольку их изменение по разным путям несовместимо. Это условие независимости пути является необходимым дополнением к фундаментальной теореме исчисления, поскольку в одномерном исчислении существует только один путь между двумя точками, определяемыми функцией.

Обозначения

Термодинамика

Вместо дифференциального символа d используется символ δ — соглашение, возникшее в XIX веке в работе немецкого математика Карла Готфрида Неймана . что указывает на то, что Q (тепло) и W (работа) зависят от пути, а U (внутренняя энергия) — нет.

Статистическая механика

В статистической механике неточные дифференциалы часто обозначаются чертой через дифференциальный оператор đ . В LaTeX команда "\rlap{\textrm{d}}{\bar{\phantom{w}}}" является приближением или просто "\dj" для символа красителя , для которого требуется кодировка T1 .

Математика

В математике неточные дифференциалы обычно называют просто дифференциальными формами , которые часто записываются так же, как $\omega$.

Примеры

Общее расстояние

Когда вы идете из точки $A$ в точку $B$ вдоль линии ${\overline {AB}}$ (без изменения направления) ваше чистое перемещение и общее пройденное расстояние равны длине указанной линии. $AB$. Если вы затем вернетесь к точке $A$ (без изменения направления), то ваше чистое перемещение равно нулю, а общее пройденное расстояние равно $2AB$. Этот пример отражает основную идею неточного дифференциала в одном измерении. Обратите внимание: если бы мы позволили себе менять направление, то в любой момент времени мы могли бы сделать шаг вперед, а затем назад, двигаясь от $A$ к $B$ и при этом увеличить общее пройденное расстояние до сколь угодно большого числа, сохраняя при этом чистое смещение постоянным.

Переработав вышеизложенное с помощью дифференциалов и взяв ${\overline {AB}}$ быть вдоль $x$-ось, чистый дифференциал расстояний равен $\mathrm {d} f=\mathrm {d} x$, точный дифференциал с первообразной $x$. С другой стороны, общий дифференциал расстояний равен $|\mathrm {d} x|$, не имеющая первообразной. Пройденный путь $\gamma :[0,1]\to {\overline {AB}}$ где существует время $t\in (0,1)$ такой, что $\gamma$ строго возрастает перед $t$ и затем строго убывает. Затем $\mathrm {d} x$ является положительным перед $t$ и затем отрицательный, что дает интегралы, $$\Delta f=\int _{\gamma }\mathrm {d} x=0$$$$\Delta g|_{\gamma }=\int _{\gamma }|\mathrm {d} x|=\int _{A}^{B}\mathrm {d} x+\int _{B}^{A}(-\mathrm {d} x)=2\int _{A}^{B}\mathrm {d} x=2AB$$именно те результаты, которые мы ожидали от словесного спора ранее.

Первый закон термодинамики

Неточные дифференциалы явно проявляются в первом законе термодинамики . $$\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W$$где $U$ это энергия, $\delta Q$ это дифференциальное изменение тепла и $\delta W$ – дифференциальное изменение работы. Основываясь на константах термодинамической системы, мы можем параметризовать среднюю энергию несколькими различными способами. Например, на первой стадии цикла Карно газ нагревается резервуаром, что дает нам изотермическое расширение этого газа. Некоторое дифференциальное количество тепла $\delta Q=TdS$ поступает в газ. На втором этапе газу позволяют свободно расширяться, совершая некоторый разный объем работы. $\delta W=PdV$. Третий этап аналогичен первому, за исключением того, что тепло теряется при контакте с холодным резервуаром, а четвертый цикл аналогичен второму, за исключением того, что окружающая среда выполняет работу в системе по сжатию газа. Поскольку общие изменения тепла и работы различны в разных частях цикла, существует ненулевое чистое изменение тепла и работы, что указывает на то, что дифференциалы $\delta Q$ и $\delta W$ должны быть неточными дифференциалами.

Внутренняя энергия U является функцией состояния , то есть ее изменение можно определить, просто сравнивая два разных состояния системы (независимо от пути ее перехода), которые мы поэтому можем указать с помощью U ₁ и U ₂ .Поскольку мы можем перейти из состояния U ₁ в состояние U ₂ либо путем выделения тепла Q = U ₂ − U ₁ , либо работы W = U ₂ − U ₁ , такое изменение состояния не позволяет однозначно определить объем работы W, выполненной с системой передается или тепло Q , а только изменение внутренней энергии Δ U .

Тепло и работа

Для пожара требуется тепло, топливо и окислитель. Энергия, необходимая для преодоления энергетического барьера активации горения, передается в виде тепла в систему, что приводит к изменению внутренней энергии системы. В процессе затраты энергии для разжигания огня могут включать как работу, так и тепло, например, когда человек трет трут (работа) и испытывает трение (тепло), чтобы разжечь огонь. Последующее горение является сильно экзотермическим с выделением тепла. Общее изменение внутренней энергии не раскрывает способ передачи энергии и количественно определяет только чистую работу и тепло. Разница между начальным и конечным состояниями внутренней энергии системы не учитывает масштабы происходящих энергетических взаимодействий. Следовательно, внутренняя энергия — это функция состояния (т.е. точный дифференциал), тогда как тепло и работа — это функции пути (т.е. неточные дифференциалы), поскольку интегрирование должно учитывать выбранный путь.

Интегрирующие факторы

Иногда удается преобразовать неточный дифференциал в точный с помощью интегрирующего множителя .Наиболее распространенным примером этого в термодинамике является определение энтропии : $$\mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}$$В этом случае δQ является неточным дифференциалом, поскольку его влияние на состояние системы можно компенсировать δW .Однако при делении на абсолютную температуру и когда обмен происходит в обратимых условиях (следовательно, _{индекс rev} ) получается точный дифференциал: энтропия S также является функцией состояния.

Пример

Рассмотрим неточную дифференциальную форму: $$\delta u=2y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y.$$ Это должно быть неточно, учитывая переход к точке (1,1) . Если мы сначала увеличим y , а затем увеличим x , то это соответствует сначала интегрированию по y , а затем по x . Интегрирование по y в первую очередь способствует ${\textstyle \int _{0}^{1}x\,dy|_{x=0}=0}$ а затем интегрирование по x дает вклад ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {\mathrm {d} } x|_{y=1}=2}$. Таким образом, по первому пути мы получаем значение 2. Однако по второму пути мы получаем значение ${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {d} x|_{y=0}+\int _{0}^{1}x\,\mathrm {d} y|_{x=1}=1}$. Мы можем сделать $\delta u$ точный дифференциал, умножив его на x , что дает $$x\,\delta u=2xy\,\mathrm {d} x+x^{2}\,\mathrm {d} y=\mathrm {\mathrm {d} } (x^{2}y)$$. И так $x\,\delta u$ является точным дифференциалом.

См. также

• Закрытые и точные дифференциальные формы для лечения более высокого уровня.
• Дифференциал (математика)
• Точный дифференциал
• Точное дифференциальное уравнение
• Интегрирующий коэффициент для решения неточных дифференциальных уравнений путем придания им точности
• Консервативное векторное поле

Внешние ссылки

• Неточный дифференциал – из Wolfram MathWorld
• Точные и неточные дифференциалы – Университет Аризоны
• Точные и неточные дифференциалы – Техасский университет
• Точный дифференциал – из Wolfram MathWorld