Теорема Карно (термодинамика)

Теорема Карно , также называемая правилом Карно , представляет собой принцип термодинамики , разработанный Николя Леонардом Сади Карно в 1824 году, который определяет пределы максимального КПД , который может получить любой тепловой двигатель .

Теорема Карно утверждает, что все тепловые двигатели, работающие между одними и теми же двумя тепловыми или тепловыми резервуарами, не могут иметь КПД, превышающий эффективность обратимой тепловой машины, работающей между теми же самыми резервуарами. Следствием этой теоремы является то , что каждая обратимая тепловая машина, работающая между парой тепловых резервуаров, одинаково эффективна, независимо от используемого рабочего вещества или деталей работы. Поскольку тепловая машина Карно также является обратимой, то КПД всех обратимых тепловых машин определяется как КПД тепловой машины Карно, зависящий исключительно от температур ее горячего и холодного резервуаров.

Максимальный КПД (т. е. КПД тепловой машины Карно) тепловой машины, работающей между горячим и холодным резервуарами, обозначаемый как H и C соответственно, представляет собой отношение разности температур между резервуарами к температуре горячего резервуара, выраженное уравнением

$\eta _{\text{max}}={\frac {T_{\mathrm {H} }-T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}},$

где ⁠ $T_{\mathrm {H} }$⁠ и ⁠ $T_{\mathrm {C} }$⁠ — абсолютные температуры горячего и холодного резервуаров соответственно и КПД ⁠ $\eta$⁠ — отношение работы , совершаемой двигателем (к окружающей среде ), к теплу, отводимому из горячего резервуара (к двигателю).

⁠ $\eta _{\text{max}}$⁠ больше нуля тогда и только тогда, когда существует разница температур между двумя тепловыми резервуарами. Поскольку ⁠ $\eta _{\text{max}}$⁠ - верхний предел всех обратимых и необратимых КПД тепловых двигателей, делается вывод, что работа от тепловой машины может быть произведена тогда и только тогда, когда существует разница температур между двумя тепловыми резервуарами, подключаемыми к двигателю.

Теорема Карно является следствием второго закона термодинамики . Исторически он был основан на современной теории теплорода и предшествовал установлению второго закона.

Доказательство

Невозможная ситуация: тепловая машина не может привести в движение менее эффективную обратимую тепловую машину, не нарушив при этом второй закон термодинамики. Величины на этом рисунке представляют собой абсолютные значения передачи энергии (тепла и работы).

Доказательство теоремы Карно — это доказательство от противного или доведение до абсурда (метод доказательства утверждения путем предположения его ложности и логического вывода ложного или противоречивого утверждения из этого предположения), основанное на ситуации, подобной правой фигуре, где два нагреваются. двигатели с разным КПД работают между двумя тепловыми резервуарами при разной температуре. Относительно более горячий резервуар называется горячим резервуаром, а другой резервуар называется холодным резервуаром. (не обязательно обратимая ). Тепловая машина $M$ с большей эффективностью $\eta _{_{M}}$ управляет обратимым тепловым двигателем $L$ с меньшей эффективностью $\eta _{_{L}}$, заставляя последний действовать как тепловой насос . Требование к двигателю $L$ быть обратимым необходимо для объяснения работы $W$ и тепло $Q$ связанный с ним, используя его известную эффективность. Однако, поскольку $\eta _{_{M}}>\eta _{_{L}}$, чистый тепловой поток будет направлен назад, т. е. в горячий резервуар:

$Q_{\text{h}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{_{M}}}{\eta _{_{L}}}}Q=Q_{\text{h}}^{\text{in}},$

где $Q$ представляет тепло, ${\text{in}}$ обозначает вход в объект, ${\text{out}}$ для вывода из объекта и $h$ для горячего термального резервуара. Если тепло $Q_{\text{h}}^{\text{out}}$ вытекает из горячего резервуара, то он имеет знак +, а если $Q_{\text{h}}^{\text{in}}$ вытекает из горячего резервуара, то имеет знак -. Это выражение легко получить, используя определение КПД тепловой машины: $\eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{in}}$, где работа и тепло в этом выражении представляют собой чистые количества за цикл двигателя и сохранение энергии для каждого двигателя, как показано ниже. Знаковое соглашение о работе $W$, с которым используется знак + для работы, совершаемой двигателем с окружающей средой.

Вышеприведенное выражение означает, что тепла в горячий резервуар от пары двигателей (можно рассматривать как один двигатель) больше, чем тепла в пару двигателей из горячего резервуара (т. е. горячий резервуар непрерывно получает энергию). Реверсивная тепловая машина с низким КПД передает больше тепла (энергии) горячему резервуару за определенное количество работы (энергии) для этого двигателя, когда он работает как тепловой насос. Все это означает, что тепло может передаваться из холодных мест в горячие без внешней работы, а такая передача тепла невозможна по второму закону термодинамики .

• Может показаться странным, что гипотетический реверсивный тепловой насос с низким КПД используется для нарушения второго закона термодинамики, но для холодильных агрегатов показателем качества является не КПД, а его эффективность. $W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}$, но коэффициент полезного действия (КПД), который $Q_{\text{c}}^{\text{out}}/W$ где это $W$ имеет знак, противоположный указанному выше (+ за работу, совершенную двигателем).

Давайте найдем ценности труда $W$и тепло $Q$ изображенный на правом рисунке обратимый тепловой двигатель $L$ с меньшей эффективностью $\eta _{_{L}}$ работает как тепловой насос от теплового двигателя $M$ с большей эффективностью $\eta _{_{M}}$.

Определение эффективности ​ $\eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}$ для каждого двигателя и можно составить следующие выражения:

$\eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},$

$\eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}}}={\frac {-\eta _{M}Q}{-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.$

Знаменатель второго выражения, $Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}=-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q$, сделано для того, чтобы выражение было согласованным, и помогает заполнить значения работы и тепла для двигателя $L$.

Для каждого двигателя абсолютное значение энергии, поступающей в двигатель, $E_{\text{abs}}^{\text{in}}$, должно быть равно абсолютному значению энергии, уходящей от двигателя, $E_{\text{abs}}^{\text{out}}$. В противном случае энергия постоянно накапливается в двигателе или сохранение энергии нарушается, поскольку от двигателя отбирается больше энергии, чем поступает в двигатель:

$E_{\text{M,abs}}^{\text{in}}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{M,abs}}^{\text{out}},$

$E_{\text{L,abs}}^{\text{in}}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{L,abs}}^{\text{out}}.$

Во втором выражении ${\textstyle \left|Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}\right|=\left|-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q\right|}$ используется для нахождения термина ${\textstyle \eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)}$ описывая количество тепла, отнятого из холодного резервуара, дополняя абсолютные выражения работы и тепла на правом рисунке.

Установив, что значения правых цифр верны, можно доказать теорему Карно для необратимых и обратимых тепловых двигателей, как показано ниже.

Реверсивные двигатели

Увидеть, что каждый реверсивный двигатель , работающий между резервуарами при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ должны иметь одинаковый КПД, предположим, что две обратимые тепловые машины имеют разные КПД, и пусть относительно более эффективный двигатель $M$ управлять относительно менее эффективным двигателем $L$ в качестве теплового насоса. Как показывает правый рисунок, это приведет к переходу тепла от холодного к горячему резервуару без внешней работы, что нарушает второй закон термодинамики. Следовательно, обе (обратимые) тепловые машины имеют одинаковый КПД, и мы заключаем, что:

Все обратимые тепловые двигатели, работающие между одними и теми же двумя тепловыми ( тепловыми ) резервуарами, имеют одинаковый КПД.

КПД обратимой тепловой машины можно определить, анализируя тепловую машину Карно как одну из обратимых тепловых машин.

Этот вывод является важным результатом, поскольку он помогает установить теорему Клаузиуса , из которой следует, что изменение энтропии $S$ уникальна для всех обратимых процессов:

$\Delta S=\int _{a}^{b}{\frac {dQ_{\text{rev}}}{T}}$

как изменение энтропии, происходящее при переходе из термодинамического равновесия состояния $a$ в состояние $b$ в пространстве VT (объем-температура) одинаков на всех обратимых путях процесса между этими двумя состояниями. Если бы этот интеграл не был независимым от пути, то энтропия не была бы переменной состояния .

Необратимые двигатели

Рассмотрим два двигателя, $M$ и $L$, которые являются необратимыми и обратимыми соответственно. Построим машину, показанную на рисунке справа, с $M$ вождение $L$ в качестве теплового насоса. Тогда, если $M$ более эффективен, чем $L$, машина нарушит второй закон термодинамики. Поскольку тепловая машина Карно является обратимой тепловой машиной, а все обратимые тепловые машины работают с одинаковым КПД в одних и тех же резервуарах, мы имеем первую часть теоремы Карно:

Ни одна необратимая тепловая машина не является более эффективной, чем тепловая машина Карно, работающая между теми же двумя тепловыми резервуарами.

Определение термодинамической температуры

Основная статья: Определение термодинамической температуры

КПД теплового двигателя — это работа, совершаемая двигателем, деленная на тепло, поступившее в двигатель за цикл двигателя, или

$\eta ={\frac {w_{\text{cy}}}{q_{H}}}={\frac {q_{H}-q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}$ ( 1 )

где $w_{\text{cy}}$ работа, совершенная двигателем, $q_{C}$ - тепло, поступающее в холодный резервуар от двигателя, и $q_{H}$ — тепло, поступающее к двигателю из горячего резервуара за цикл. Таким образом, эффективность зависит только от ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}$.

Поскольку все обратимые тепловые двигатели, работающие в диапазоне температур $T_{1}$ и $T_{2}$ должен иметь одинаковый КПД, КПД обратимой тепловой машины является функцией только двух пластовых температур:

${\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})$. ( 2 )

Кроме того, реверсивная тепловая машина, работающая в диапазоне температур $T_{1}$ и $T_{3}$ должен иметь такой же КПД, как и цикл, состоящий из двух циклов, один между $T_{1}$ и другая (промежуточная) температура $T_{2}$, а второй между $T_{2}$ и $T_{3}$ ( $T_{1}<T_{2}<T_{3}$). Это может быть только в том случае, если

$f(T_{1},T_{3})={\frac {q_{3}}{q_{1}}}={\frac {q_{2}q_{3}}{q_{1}q_{2}}}=f(T_{1},T_{2})f(T_{2},T_{3})$. ( 3 )

Специализируясь на том случае, $T_{1}$ — фиксированная эталонная температура: температура тройной точки воды равна 273,16. (Конечно, можно использовать любую эталонную температуру и любое положительное числовое значение — выбор здесь соответствует шкале Кельвина .) Тогда для любого $T_{2}$ и $T_{3}$,

$f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.$

Следовательно, если термодинамическая температура определяется выражением

$T'=273.16\cdot f(T_{1},T),$

тогда функция, рассматриваемая как функция термодинамической температуры, равна

$f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}'}{T_{2}'}}.$

Отсюда сразу следует, что

${\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})={\frac {T_{C}'}{T_{H}'}}$. ( 4 )

Подставив это уравнение обратно в приведенное выше уравнение ${\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})$ дает зависимость эффективности от термодинамических температур:

$\eta =1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {T_{C}'}{T_{H}'}}$. ( 5 )

Применимость к топливным элементам

Поскольку топливные элементы могут генерировать полезную энергию, когда все компоненты системы имеют одинаковую температуру ( $T=T_{H}=T_{C}$), они явно не ограничены теоремой Карно, которая утверждает, что никакая мощность не может быть произведена, когда $T_{H}=T_{C}$. Это связано с тем, что теорема Карно применима к двигателям, преобразующим тепловую энергию в работу, тогда как топливные элементы вместо этого преобразуют химическую энергию в работу. Тем не менее, второй закон термодинамики по-прежнему накладывает ограничения на преобразование энергии топливных элементов.

Батарея Карно — это тип системы хранения энергии, которая сохраняет электричество в хранилище тепловой энергии и преобразует накопленное тепло обратно в электричество посредством термодинамических циклов.

См. также

• Chambadal–Novikov efficiency
• Границы эффективности отопления и охлаждения