Тепловое расширение

Компенсатор в автодорожном мосту , используемый для предотвращения повреждений из-за теплового расширения.

Тепловое расширение — это тенденция вещества изменять свою форму , площадь , объем и плотность в ответ на изменение температуры , обычно не включая фазовые переходы . ^[1]

Температура является монотонной функцией средней молекулярной кинетической энергии вещества. Когда вещество нагревается, молекулы начинают больше вибрировать и двигаться, обычно создавая большее расстояние между собой. Вещества, которые сжимаются при повышении температуры, необычны и встречаются только в ограниченном диапазоне температур (см. примеры ниже).

Относительное расширение (также называемое деформацией материала ), деленное на изменение температуры, называется коэффициентом линейного теплового расширения и обычно зависит от температуры. По мере увеличения энергии в частицах они начинают двигаться все быстрее и быстрее, ослабляя межмолекулярные силы между ними и, следовательно, расширяя вещество.

Прогноз [ править ]

Если уравнение состояния доступно, его можно использовать для прогнозирования значений теплового расширения при всех необходимых температурах и давлениях , а также многих других функций состояния .

Эффекты сжатия ( расширение отрицательное )

Ряд материалов сжимается при нагревании в определенных температурных диапазонах; обычно это называют отрицательным тепловым расширением , а не «тепловым сжатием». Например, коэффициент теплового расширения воды падает до нуля при ее охлаждении до 3,983 °С, а затем становится отрицательным ниже этой температуры; это означает, что вода имеет максимальную плотность при этой температуре, и это приводит к тому, что водоемы поддерживают эту температуру на своих нижних глубинах в течение длительных периодов минусовой погоды.

Известно также, что другие материалы обладают отрицательным тепловым расширением. Достаточно чистый кремний имеет отрицательный коэффициент теплового расширения при температурах от 18 до 120 Кельвинов . ^[2] ALLVAR Alloy 30, титановый сплав, демонстрирует анизотропное отрицательное тепловое расширение в широком диапазоне температур. ^[3]

Факторы [ править ]

В отличие от газов и жидкостей, твердые материалы имеют тенденцию сохранять свою форму при термическом расширении.

Тепловое расширение обычно уменьшается с увеличением энергии связи , что также влияет на температуру плавления твердых веществ, поэтому материалы с высокой температурой плавления с большей вероятностью будут иметь более низкое тепловое расширение. Обычно жидкости расширяются немного больше, чем твердые тела. Тепловое расширение стекол несколько выше, чем у кристаллов. ^[4]При температуре стеклования перестройки, происходящие в аморфном материале, приводят к характерным скачкам коэффициента теплового расширения и теплоемкости. Эти неоднородности позволяют определить температуру стеклования, при которой переохлажденная жидкость превращается в стекло. ^[5]

Абсорбция или десорбция воды (или других растворителей) может изменить размер многих распространенных материалов; многие органические материалы из-за этого эффекта меняют размер в гораздо большей степени, чем из-за теплового расширения. Обычные пластмассы, подвергающиеся воздействию воды, в долгосрочной перспективе могут увеличиться в размерах на многие проценты.

Влияние на плотность [ править ]

Тепловое расширение изменяет пространство между частицами вещества, что изменяет объем вещества, пренебрегая при этом его массой (незначительная величина возникает из эквивалентности массы и энергии ), тем самым изменяя его плотность, что влияет на любые выталкивающие силы , действующие на это. Это играет решающую роль в конвекции неравномерно нагретых жидких масс, в частности, делая тепловое расширение частично ответственным за ветер и океанские течения .

Коэффициенты [ править ]

Коэффициент теплового расширения описывает, как изменяется размер объекта при изменении температуры. В частности, он измеряет дробное изменение размера на градус изменения температуры при постоянном давлении, так что более низкие коэффициенты описывают меньшую склонность к изменению размера. Разработано несколько типов коэффициентов: объемные, площадные и линейные. Выбор коэффициента зависит от конкретного применения и от того, какие размеры считаются важными. Для твердых тел нас могут интересовать изменения только по длине или по некоторой площади.

Коэффициент объемного теплового расширения является самым основным коэффициентом теплового расширения и наиболее важен для жидкостей. В общем, вещества расширяются или сжимаются при изменении их температуры, причем расширение или сжатие происходит во всех направлениях. Вещества, которые расширяются с одинаковой скоростью во всех направлениях, называются изотропными . Для изотропных материалов площадь и объемный коэффициент теплового расширения соответственно примерно в два и три раза превышают коэффициент линейного теплового расширения.

В общем случае газа, жидкости или твердого тела объемный коэффициент теплового расширения определяется выражением

\alpha =\alpha _{\text{V}}={\frac {1}{V}}\,\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}

Индекс « p » у производной указывает, что давление остается постоянным во время расширения, а индекс V подчеркивает, что в это общее определение входит объемное (а не линейное) расширение. В случае газа важен тот факт, что давление поддерживается постоянным, поскольку объем газа будет существенно меняться в зависимости от давления, а также от температуры. Для газа малой плотности это видно из закона идеального газа .

Для различных материалов [ править ]

В этом разделе суммированы коэффициенты для некоторых распространенных материалов.

Для изотропных материалов коэффициенты линейного теплового расширения α и объемного теплового расширения α _V связаны соотношением $α V = 3 α$ . Для жидкостей обычно указывается коэффициент объемного расширения и для сравнения здесь рассчитывается линейное расширение.

Для обычных материалов, таких как многие металлы и соединения, коэффициент теплового расширения обратно пропорционален температуре плавления . ^[6] В частности, для металлов соотношение таково:

\alpha \approx {\frac {0.020}{T_{m}}}

для галогенидов и оксидов

\alpha \approx {\frac {0.038}{T_{m}}}-7.0\cdot 10^{-6}\,\mathrm {K} ^{-1}

В таблице ниже диапазон α составляет от 10 ⁻⁷ К ⁻¹ для твердых тел до 10 ⁻³ К ⁻¹для органических жидкостей. Коэффициент α меняется в зависимости от температуры, а некоторые материалы имеют очень большие колебания; см., например, изменение объемного коэффициента в зависимости от температуры для полукристаллического полипропилена (ПП) при различном давлении, а также изменение линейного коэффициента в зависимости от температуры для некоторых марок стали (снизу вверх: ферритная нержавеющая сталь, мартенситная нержавеющая сталь). , углеродистая сталь, дуплексная нержавеющая сталь, аустенитная сталь). Самый высокий линейный коэффициент в твердом теле зарегистрирован для сплава Ti-Nb. ^[7]

формулу $α V \approx 3 α .)$ ( Для твердых тел обычно используют ^[8]

Материал	Тип материала	Линейный коэффициент CLTE α при 20 °С (x10 ⁻⁶ К ⁻¹)	Объемный коэффициент α _V при 20 °С (x10 ⁻⁶ К ⁻¹)	Примечания
Алюминий	Металл	23.1	69
Латунь	Металлический сплав	19	57
Углеродистая сталь	Металлический сплав	10.8	32.4
углепластик	Композитный	–0.8 ^[9]	Анизотропный	Направление волокна
Конкретный	Совокупный	12	36
Медь	Металл	17	51
Алмаз	Неметалл	1	3
Спирт этиловый	Жидкость	250	750 ^[10]
Бензин	Жидкость	317	950 ^[8]
Стекло	Стекло	8.5	25.5
Боросиликатное стекло ^[11]	Стекло	3.3 ^[12]	9.9	подходящий уплотнительный партнер для вольфрама , молибдена и ковара .
Глицерин	Жидкость		485 ^[11]
Золото	Металл	14	42
Гранит	Камень	35–43	105–129
Лед	Неметалл	51
Инвар		1.2	3.6
Железо	Металл	11.8	35.4
Капитан		20 ^[13]	60	Дюпон Каптон 200EN
Вести	Металл	29	87
Макор		9.3 ^[14]
Меркурий	Жидкость	60.4	181
Никель	Металл	13	39
Дуб	Биологический	54 ^[15]		Перпендикулярно зерну
пихта Дугласа	Биологический	27 ^[16]	75	радиальный
пихта Дугласа	Биологический	45 ^[16]	75	касательный
пихта Дугласа	Биологический	3.5 ^[16]	75	параллельно зерну
Платина	Металл	9	27
Полипропилен (ПП)	Полимер	150	450	^{[ нужна цитата ]}
ПВХ	Полимер	52	156
Плавленый кварц	Неметалл	0.59	1.77
альфа-кварц	Неметалл	12–16/6–9 ^[17]		Параллельно оси a/оси c T = от –50 до 150 °C
Резина	Биологический	оспариваемый	оспариваемый	обсуждение см.
Каменная соль	Камень	40	120
Сапфир	Неметалл	5.3 ^[18]		Параллельно оси C или [001]
Карбид кремния	Неметалл	2.77 ^[19]	8.31
Кремний	Неметалл	2.56 ^[20]	9
Серебро	Металл	18 ^[21]	54
« Ситалл »	Стеклокерамика	0±0.15 ^[22]	0±0.45	в среднем от −60 °C до 60 °C
Нержавеющая сталь	Металлический сплав	10.1 ~ 17.3	30.3 ~ 51.9
Сталь	Металлический сплав	11.0 ~ 13.0	33.0 ~ 39.0	Зависит от состава
Титан	Металл	8.6	26 ^[23]
вольфрам	Металл	4.5	13.5
Вода	Неметалл	69	207 ^[24]
« Зеродур »	Стеклокерамика	≈0.007–0.1 ^[25]		от 0 °С до 50 °С
СЕРЬЕЗНЫЙ Сплав 30	Металлический сплав	−30 ^[26]	анизотропный	демонстрирует отрицательное тепловое расширение в широком диапазоне температур

В твердых телах [ править ]

При расчете теплового расширения необходимо учитывать, может ли тело расширяться свободно или ограничено. Если тело может расширяться, расширение или деформацию, возникающие в результате повышения температуры, можно просто рассчитать, используя соответствующий коэффициент теплового расширения.

Если тело сковано так, что оно не может расширяться, то внутреннее напряжение будет вызвано (или изменено) изменением температуры. Это напряжение можно рассчитать, приняв во внимание деформацию, которая возникла бы, если бы тело могло свободно расширяться, и напряжение, необходимое для уменьшения этой деформации до нуля, посредством соотношения напряжение/деформация, характеризуемого упругостью или модулем Юнга . В частном случае твердых материалов внешнее давление окружающей среды обычно не оказывает существенного влияния на размер объекта, поэтому обычно нет необходимости учитывать влияние изменений давления.

Обычные конструкционные твердые тела обычно имеют коэффициенты теплового расширения, которые существенно не изменяются в диапазоне температур, в котором они предназначены для использования, поэтому там, где не требуется чрезвычайно высокая точность, практические расчеты могут быть основаны на постоянном, среднем, значении коэффициент расширения.

Длина [ править ]

Линейное расширение означает изменение одного измерения (длины), а не изменение объема (объемное расширение). В первом приближении изменение размеров объекта из-за теплового расширения связано с изменением температуры коэффициентом линейного теплового расширения (КЛТР). Это дробное изменение длины на градус изменения температуры. Предполагая незначительное влияние давления, можно написать:

\alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} T}}

где

L

это конкретное измерение длины и

\mathrm {d} L/\mathrm {d} T

- это скорость изменения этого линейного размера на единицу изменения температуры.

Изменение линейного размера можно оценить следующим образом:

{\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T

Эта оценка работает хорошо до тех пор, пока коэффициент линейного расширения не сильно меняется при изменении температуры. $\Delta T$ , а дробное изменение длины мало $\Delta L/L\ll 1$ . Если какое-либо из этих условий не выполняется, точное дифференциальное уравнение (с использованием $\mathrm {d} L/\mathrm {d} T$ ) должны быть интегрированы.

Влияние на штамм [ править ]

Для твердых материалов значительной длины, таких как стержни или кабели, оценка величины теплового расширения может быть описана деформацией материала , определяемой выражением $\varepsilon _{\mathrm {thermal} }$ и определяется как:

\varepsilon _{\mathrm {thermal} }={\frac {(L_{\mathrm {final} }-L_{\mathrm {initial} })}{L_{\mathrm {initial} }}}

где $L_{\mathrm {initial} }$ - длина до изменения температуры и $L_{\mathrm {final} }$ - длина после изменения температуры.

Для большинства твердых тел тепловое расширение пропорционально изменению температуры:

\varepsilon _{\mathrm {thermal} }\propto \Delta T

Таким образом, изменение деформации или температуры можно оценить по формуле:

\varepsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{L}\Delta T

где

\Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {initial} })

— это разница температур между двумя зарегистрированными штаммами, измеренная в градусах Фаренгейта , градусах Рэнкина , градусах Цельсия или кельвинах , и

\alpha _{L}

- это линейный коэффициент теплового расширения в «на градус Фаренгейта», «на градус Рэнкина», «на градус Цельсия» или «на кельвин», обозначаемый ° F. ⁻¹, °Р ⁻¹, °С ⁻¹, или К ⁻¹, соответственно. В области механики сплошной среды тепловое расширение и его эффекты трактуются как собственная деформация и собственное напряжение.

Площадь [ править ]

Коэффициент теплового расширения площади связывает изменение размеров площади материала с изменением температуры. Это дробное изменение площади на градус изменения температуры. Не обращая внимания на давление, можно написать:

\alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} T}}

где

A

это некоторая область интереса на объекте, и

dA/dT

- это скорость изменения этой площади на единицу изменения температуры.

Изменение площади можно оценить как:

{\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{A}\Delta T

Это уравнение работает хорошо до тех пор, пока коэффициент расширения площади не сильно меняется при изменении температуры. $\Delta T$ , а дробное изменение площади невелико $\Delta A/A\ll 1$ . Если какое-либо из этих условий не выполняется, уравнение необходимо проинтегрировать.

Объем [ править ]

Для твердого тела можно пренебречь влиянием давления на материал и записать объемный (или кубический) коэффициент теплового расширения: ^[27]

\alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} T}}

где

V

- объем материала, а

\mathrm {d} V/\mathrm {d} T

- скорость изменения этого объема с температурой.

Это означает, что объем материала изменяется на некоторую фиксированную дробную величину. Например, стальной блок объемом 1 кубический метр может расшириться до 1,002 кубических метра при повышении температуры на 50 К. Это расширение составляет 0,2%. Если стальной блок имеет объем 2 кубических метра, то при тех же условиях он расширится до 2,004 кубических метра, опять же расширение на 0,2%. Коэффициент объемного расширения составит 0,2% для 50 К или 0,004% К. ⁻¹.

Если известен коэффициент расширения, можно рассчитать изменение объема.

{\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T

где

\Delta V/V

– дробное изменение объема (например, 0,002) и

\Delta T

– изменение температуры (50 °C).

В приведенном выше примере предполагается, что коэффициент расширения не изменился при изменении температуры, а увеличение объема невелико по сравнению с исходным объемом. Это не всегда так, но для небольших изменений температуры это хорошее приближение. Если коэффициент объемного расширения существенно меняется с температурой или увеличение объема существенно, то необходимо проинтегрировать приведенное выше уравнение:

\ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,\mathrm {d} T

{\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,\mathrm {d} T\right)-1

где

\alpha _{V}(T)

- коэффициент объемного расширения как функция температуры T , и

T_{i}

и

T_{f}

- начальная и конечная температуры соответственно.

Изотропные материалы [ править ]

Для изотропных материалов коэффициент объемного теплового расширения в три раза превышает линейный коэффициент:

\alpha _{V}=3\alpha _{L}

Такое соотношение возникает потому, что объем состоит из трех взаимно ортогональных направлений. Таким образом, в изотропном материале при небольших дифференциальных изменениях одна треть объемного расширения приходится на одну ось. куб со сторонами длиной $L.$ В качестве примера возьмем стальной Исходный объем будет $V=L^{3}$ а новый объем после повышения температуры будет равен

V+\Delta V=\left(L+\Delta L\right)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\frac {\Delta L}{L}}.

Мы можем легко игнорировать эти термины, поскольку Δ L — это небольшая величина, которая при возведении в квадрат становится намного меньше, а при возведении в куб становится еще меньше.

Так

{\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \over L}=3\alpha _{L}\Delta T.

Приведенное выше приближение справедливо для малых изменений температуры и размеров (т.е. когда $\Delta T$ и $\Delta L$ малы), но это не работает, если пытаться переключаться между объемными и линейными коэффициентами, используя большие значения $\Delta T$ . В этом случае необходимо учитывать третий член (а иногда и четвертый член) в приведенном выше выражении.

Аналогично, коэффициент теплового расширения площади в два раза превышает линейный коэффициент:

\alpha _{A}=2\alpha _{L}

Это соотношение можно найти аналогично тому, как это было в линейном примере выше, заметив, что площадь грани куба равна всего лишь $L^{2}$ . Кроме того, те же соображения необходимо учитывать при работе с большими значениями $\Delta T$ .

Проще говоря, если длина кубического тела увеличится с 1,00 м до 1,01 м, то площадь одной из его сторон увеличится с 1,00 м. ² до 1,02 м ² и его объем расширяется от 1,00 м ³ до 1,03 м ³.

Анизотропные материалы [ править ]

Материалы с анизотропной структурой, такие как кристаллы (с симметрией меньше кубической, например мартенситные фазы) и многие композиты , обычно имеют разные коэффициенты линейного расширения. $\alpha _{L}$ в разных направлениях. В результате общее объемное расширение распределяется неравномерно по трем осям. Если симметрия кристалла моноклинная или триклинная, то даже углы между этими осями подвержены термическим изменениям. В таких случаях необходимо рассматривать коэффициент теплового расширения как тензор , содержащий до шести независимых элементов. Хороший способ определить элементы тензора — изучить расширение методом порошковой рентгеновской дифракции . Тензор коэффициента теплового расширения для материалов, обладающих кубической симметрией (например, FCC, BCC), изотропен. ^[28]

Температурная зависимость [ править ]

Коэффициенты теплового расширения твердых тел обычно мало зависят от температуры (за исключением очень низких температур), тогда как жидкости могут расширяться с разной скоростью при разных температурах. Есть некоторые исключения: например, кубический нитрид бора демонстрирует значительное изменение коэффициента теплового расширения в широком диапазоне температур. ^[29] Другим примером является парафин, коэффициент теплового расширения которого в твердой форме зависит от температуры. ^[30]

В газах [ править ]

Поскольку газы заполняют весь контейнер, который они занимают, коэффициент объемного теплового расширения при постоянном давлении $\alpha _{V}$ , единственное, что представляет интерес.

Для идеального газа формула может быть легко получена путем дифференцирования закона идеального газа : $pV_{m}=RT$ . Это дает

p\mathrm {d} V_{m}+V_{m}\mathrm {d} p=R\mathrm {d} T

где

p

это давление,

V_{m}

молярный объем (

V_{m}=V/n

, с

n

общее количество молей газа),

T

абсолютная температура и

R

равна газовой постоянной .

Для изобарного теплового расширения $\mathrm {d} p=0$ , так что $p\mathrm {d} V_{m}=R\mathrm {d} T$ а коэффициент изобарного теплового расширения равен:

\alpha _{V}\equiv {\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {1}{V_{m}}}\left({\frac {\partial V_{m}}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {1}{V_{m}}}\left({\frac {R}{p}}\right)={\frac {R}{pV_{m}}}={\frac {1}{T}}

что является сильной функцией температуры; увеличение температуры вдвое уменьшит коэффициент теплового расширения вдвое.

абсолютного Вычисление нуля

С 1787 по 1802 год его определяли Жак Шарль (неопубликовано), Джон Дальтон , ^[31] и Жозеф Луи Гей-Люссак ^[32]что при постоянном давлении идеальные газы линейно расширяют или сжимают свой объем ( закон Чарльза ) примерно на 1/273 части на градус Цельсия при изменении температуры вверх или вниз в диапазоне от 0 ° до 100 ° C. Это предполагало, что объем газа, охлажденного примерно до -273 ° C, достигнет нуля.

В октябре 1848 года Уильям Томсон, 24-летний профессор естественной философии Университета Глазго , опубликовал статью « Об абсолютной термометрической шкале» . ^[33]^[34]^[35]

В сноске Томсон подсчитал, что «бесконечный холод» ( абсолютный ноль ) эквивалентен -273 °C (он назвал температуру в °C «температурой воздушных термометров» того времени). Это значение «-273» считалось температурой, при которой объем идеального газа достигает нуля. Учитывая тепловое расширение, линейное с температурой (т.е. постоянный коэффициент теплового расширения), значение абсолютного нуля было линейно экстраполировано как отрицательная обратная величина 0,366/100 °C – принятый средний коэффициент теплового расширения идеального газа в температурный интервал 0–100 °C, что обеспечивает замечательную стабильность принятого в настоящее время значения -273,15 °C.

В жидкостях [ править ]

Тепловое расширение жидкостей обычно выше, чем у твердых тел, поскольку межмолекулярные силы, присутствующие в жидкости, относительно слабы, а составляющие ее молекулы более подвижны. ^[36]^[37]В отличие от твердых тел, жидкости не имеют определенной формы и принимают форму сосуда. Следовательно, жидкости не имеют определенной длины и площади, поэтому линейное и площадное расширение жидкостей имеет значение только в том смысле, что их можно применять к таким темам, как термометрия и оценки повышения уровня моря из-за глобального изменения климата . ^[38] Иногда α _L все же рассчитывают на основе экспериментального значения α _V .

Обычно жидкости при нагревании расширяются, за исключением холодной воды; при температуре ниже 4 °C он сжимается, что приводит к отрицательному коэффициенту теплового расширения. При более высоких температурах он демонстрирует более типичное поведение с положительным коэффициентом теплового расширения. ^[39]

Кажущееся и абсолютное [ править ]

Расширение жидкостей обычно измеряют в контейнере. Когда жидкость в сосуде расширяется, сосуд расширяется вместе с жидкостью. Следовательно, наблюдаемое увеличение объема (измеренное по уровню жидкости) не является фактическим увеличением ее объема. Расширение жидкости относительно сосуда называется кажущимся расширением , а фактическое расширение жидкости называется действительным расширением или абсолютным расширением . Отношение кажущегося увеличения объема жидкости на единицу повышения температуры к первоначальному объему называется коэффициентом кажущегося расширения . Абсолютное расширение можно измерить различными методами, включая ультразвуковые методы. ^[40]

Исторически это явление усложняло экспериментальное определение коэффициентов теплового расширения жидкостей, поскольку прямое измерение изменения высоты столба жидкости, вызванного тепловым расширением, является измерением кажущегося расширения жидкости. Таким образом, в эксперименте одновременно измеряются два коэффициента расширения, и измерение расширения жидкости должно также учитывать расширение контейнера. Например, когда колбу с длинной узкой ножкой, содержащую достаточно жидкости, чтобы частично заполнить сам ножку, помещают в тепловую баню, высота столба жидкости в ножке сначала упадет, а затем сразу же поднимется на эту высоту. пока вся система колбы, жидкости и термостата не прогреется. Первоначальное падение высоты столба жидкости происходит не из-за первоначального сжатия жидкости, а скорее из-за расширения колбы, когда она сначала контактирует с тепловой баней.

Вскоре после этого жидкость в колбе нагревается самой колбой и начинает расширяться. Поскольку жидкости обычно имеют больший процент расширения, чем твердые тела, при том же изменении температуры, расширение жидкости в колбе в конечном итоге превышает расширение колбы, вызывая повышение уровня жидкости в колбе. При небольшом и равном повышении температуры увеличение объема (действительное расширение) жидкости равно сумме кажущегося увеличения объема (кажущегося расширения) жидкости и увеличения объема содержащего его сосуда. Абсолютное . расширение жидкости представляет собой кажущееся расширение, скорректированное с учетом расширения содержащего сосуда ^[41]

Примеры и приложения [ править ]

Тепловое расширение длинных непрерывных участков железнодорожных путей является движущей силой коробления рельсов . Это явление привело к сходу с рельсов 190 поездов в 1998–2002 годах только в США. ^[42]

Расширение и сжатие материалов необходимо учитывать при проектировании крупных конструкций, при использовании ленты или цепи для измерения расстояний при топографических изысканиях, при проектировании форм для отливки горячего материала и в других инженерных приложениях, когда ожидаются большие изменения размеров из-за температуры. .

Тепловое расширение также используется в механических приложениях для подгонки деталей друг к другу, например, втулку можно надеть на вал, сделав ее внутренний диаметр немного меньшим, чем диаметр вала, а затем нагрев ее до тех пор, пока она не наденется на вал, и позволяя чтобы он остыл после того, как был надет на вал, обеспечивая таким образом «термическую посадку». Индукционная термоусадочная посадка — это распространенный промышленный метод предварительного нагрева металлических компонентов до температуры от 150 ° C до 300 ° C, что приводит к их расширению и позволяет вставить или удалить другой компонент.

Существуют некоторые сплавы с очень маленьким коэффициентом линейного расширения, используемые в приложениях, требующих очень небольших изменений физических размеров в диапазоне температур. Один из них — Инвар 36, с расширением примерно 0,6 × 10. ⁻⁶ К ⁻¹. Эти сплавы полезны в аэрокосмической промышленности, где могут возникать большие перепады температур.

Аппарат Пуллинджера используется для определения линейного расширения металлического стержня в лаборатории. Аппарат состоит из металлического цилиндра, закрытого с обоих концов (называемого паровой рубашкой). Он снабжен входным и выходным отверстиями для пара. Пар для нагрева стержня подается от котла, соединенного с входным отверстием резиновой трубкой. В центре цилиндра имеется отверстие для вставки термометра. Исследуемый стержень заключен в паровую рубашку. Один его конец свободен, а другой прижат к неподвижному винту. Положение стержня определяют с помощью микрометра-винта или сферометра .

Для определения коэффициента линейного теплового расширения металла трубу из этого металла нагревают, пропуская через нее пар. Один конец трубы надежно закреплен, а другой опирается на вращающийся вал, движение которого обозначается указателем. Подходящий термометр измеряет температуру трубы. Это позволяет рассчитать относительное изменение длины на градус изменения температуры.

Контроль теплового расширения хрупких материалов является ключевой проблемой по целому ряду причин. Например, и стекло, и керамика хрупкие, а неравномерная температура вызывает неравномерное расширение, что снова вызывает термическое напряжение и может привести к разрушению. Керамику необходимо соединять или сочетать с широким спектром материалов, поэтому ее расширение должно соответствовать области применения. Поскольку глазури должны быть прочно прикреплены к основному фарфору (или другому типу тела), их тепловое расширение должно быть настроено так, чтобы «подходить» к телу, чтобы растрескивания не возникало или дрожи. Хорошим примером продуктов, тепловое расширение которых является ключом к их успеху, являются CorningWare и свечи зажигания . Тепловое расширение керамических изделий можно контролировать путем обжига для создания кристаллических частиц, которые будут влиять на общее расширение материала в желаемом направлении. Дополнительно или вместо этого в рецептуре тела могут использоваться материалы, доставляющие частицы желаемого расширения в матрицу. Тепловое расширение глазурей зависит от их химического состава и режима обжига, которому они подвергались. В большинстве случаев возникают сложные проблемы, связанные с контролем расширения массы и глазури, поэтому поправку на тепловое расширение необходимо выполнять с учетом других свойств, которые будут затронуты, и, как правило, необходимы компромиссы.

Тепловое расширение может оказать заметное влияние на бензин, хранящийся в надземных резервуарах, что может привести к тому, что бензонасосы будут подавать бензин, который может быть более сжатым, чем бензин, хранящийся в подземных резервуарах зимой, или менее сжатым, чем бензин, хранящийся в подземных резервуарах. летом. ^[43]

Тепловое расширение необходимо учитывать в большинстве областей техники. Вот несколько примеров:

Окна с металлическими рамами нуждаются в резиновых прокладках.
Резиновые шины должны хорошо работать в широком диапазоне температур, пассивно нагреваясь или охлаждаясь дорожным покрытием и погодой, а также активно нагреваясь за счет механического изгиба и трения.
Металлические трубы для отопления горячей водой не следует использовать длинными прямыми отрезками.
Большие конструкции, такие как железные дороги и мосты, нуждаются в компенсационных швах во избежание солнечных перегибов .
В маятнике с решеткой используется расположение различных металлов для обеспечения более стабильной температуры маятника.
Линия электропередачи в жаркий день провисает, а в холодный — тугая. Это связано с тем, что металлы расширяются при нагревании.
Компенсаторы поглощают тепловое расширение трубопроводной системы. ^[44]
Точное машиностроение почти всегда требует от инженера внимания к тепловому расширению продукта. Например, при использовании сканирующего электронного микроскопа небольшие изменения температуры, например на 1 градус, могут привести к изменению положения образца относительно точки фокусировки.
Жидкостные термометры содержат жидкость (обычно ртуть или спирт) в трубке, что заставляет ее течь только в одном направлении, когда ее объем увеличивается из-за изменений температуры.
В биметаллическом механическом термометре используется биметаллическая полоса , которая изгибается из-за разного теплового расширения двух металлов.

См. также [ править ]

Отрицательное тепловое расширение – необычный физико-химический процесс, при котором некоторые материалы сжимаются при нагревании.
Уравнение состояния Ми – Грюнайзена
Autovent — инструмент для тепличного хозяйства.
Параметр Грюнайзена - Термодинамический параметр твердых тел.
Кажущееся молярное свойство - Разница свойств одного моля вещества в смеси по сравнению с идеальным раствором.
Теплоемкость - физическое свойство, описывающее энергию, необходимую для изменения температуры материала.
Термодинамические базы данных для чистых веществ - Список термодинамических свойств
Свойства материала (термодинамика) – термодинамическое свойство материала.
Закон Шарля - Связь между объемом и температурой газа при постоянном давлении.

Ссылки [ править ]

^ Типлер, Пол А.; Моска, Джин (2008). Физика для ученых и инженеров - Том 1 Механика/Колебания и волны/Термодинамика . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Worth Publishers. стр. 666–670. ISBN 978-1-4292-0132-2 .
^ Буллис, В. Мюррей (1990). "Глава 6" . В О'Маре, Уильям К.; Херринг, Роберт Б.; Хант, Ли П. (ред.). Справочник по полупроводниковой кремниевой технологии . Парк-Ридж, Нью-Джерси: Публикации Нойеса. п. 431. ИСБН 978-0-8155-1237-0 . Проверено 11 июля 2010 г.
^ Монро, Джеймс А.; Восток, Мэтью; Халл, Тони Б. (24 августа 2021 г.). «Атермализация сплава ALLVAR: новая и экономически эффективная альтернатива для космических телескопов малого и среднего размера» . В Халлиберте, Паскале; Халл, Тони Б.; Ким, Дэук; Келлер, Фанни (ред.). Астрономическая оптика: проектирование, производство и испытания космических и наземных систем III . Том. 11820. Сан-Диего, США: SPIE. стр. 52–59. Бибкод : 2021SPIE11820E..0BM . дои : 10.1117/12.2594816 . ISBN 978-1-5106-4478-6 . S2CID 238477713 .
^ Варшнея, АК (2006). Основы неорганических стекол . Шеффилд: Общество технологий стекла. ISBN 978-0-12-714970-7 .
^ Оджован, Мичиган (2008). «Конфигурации: термодинамические параметры и изменения симметрии при стекловании» . Энтропия . 10 (3): 334–364. Бибкод : 2008Entrp..10..334O . дои : 10.3390/e10030334 .
^ «Тензоры полового и теплового расширения. Часть 1 | Видеолекции | Симметрия, структура и тензорные свойства материалов | Материаловедение и инженерия | MIT OpenCourseWare» . ocw.mit.edu .
^ Бениш, Матиас; Паниграхи, Аджит; Стойка, Михай; Калин, Мариана; Аренс, Эйке; Зехетбауэр, Майкл; Скроцкий, Вернер; Экерт, Юрген (10 ноября 2017 г.). «Гигантское тепловое расширение и пути α-осаждения в титановых сплавах» . Природные коммуникации . 8 (1): 1429. Бибкод : 2017NatCo...8.1429B . дои : 10.1038/s41467-017-01578-1 . ПМК 5681671 . ПМИД 29127330 .
^ Перейти обратно: ^а ^б "Тепловое расширение" . Университет Западного Вашингтона. Архивировано из оригинала 17 апреля 2009 г.
^ Ахмед, Ашраф; Таваколь, Бехруз; Дас, Рони; Ховен, Рональд; Рузбеджаван, Пуне; Минайе, Боб (2012). Исследование термического расширения полимерных композитов, армированных углеродным волокном . Материалы Международного симпозиума SAMPE. Чарльстон, Южная Каролина.
^ Молодой; Геллер. Физика Колледжа Янга и Геллера (8-е изд.). ISBN 978-0-8053-9218-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Раймонд Сервей; Джон Джуэтт (2005), Принципы физики: текст, основанный на исчислении , Cengage Learning, стр. 506, Бибкод : 2006ppcb.book.....J , ISBN 978-0-534-49143-7
^ «Паспорт технических очков» (PDF) . schott.com.
^ «Полиимидная пленка DuPont™ Kapton® 200EN» . matweb.com. Архивировано из оригинала 26 ноября 2018 г. Проверено 15 марта 2011 г.
^ «Технический паспорт Macor» (PDF) . Corning.com. Архивировано из оригинала (PDF) 12 июня 2011 г. Проверено 24 августа 2010 г.
^ «WDSC 340. Замечания по термическим свойствам древесины» . Forestry.caf.wvu.edu . Архивировано из оригинала 30 марта 2009 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Уэзервакс, Ричард К.; Штамм, Альфред Дж. (1956). Коэффициенты термического расширения древесины и изделий из дерева (PDF) (Технический отчет). Лаборатория лесных товаров , Лесная служба США. 1487.
^ Косински, Дж. А.; Гуальтьери, Дж.Г.; Баллато, А. (1991). «Тепловое расширение альфа-кварца». Материалы 45-го ежегодного симпозиума по управлению частотой , 1991 г. п. 22. дои : 10.1109/FREQ.1991.145883 . ISBN 978-0-87942-658-3 . S2CID 96564753 .
^ «Сапфир» (PDF) . kyocera.com. Архивировано из оригинала (PDF) 18 октября 2005 г.
^ «Основные параметры карбида кремния (SiC)» . Институт Иоффе.
^ Беккер, П.; Сейфрид, П.; Зигерт, Х. (1982). «Параметры решетки монокристаллов особо чистого кремния». Журнал физики Б. 48 (1): 17. Бибкод : 1982ZPhyB..48...17B . дои : 10.1007/BF02026423 . S2CID 120132261 .
^ Нейв, Род. «Коэффициенты термического расширения при 20 C» . Государственный университет Джорджии.
^ «Ситалл СО-115М (Астроситалл)» . Звездные инструменты .
^ «Таблица термического расширения» (PDF) .
^ «Свойства обычных жидких материалов» . www.efunda.com .
^ «Шотт АГ» . Архивировано из оригинала 4 октября 2013 г.
^ Монро, Джеймс А.; Макаллистер, Джереми С.; Згарба, Джей; Сквайрс, Дэвид; Диган, Джон П. (18 ноября 2019 г.). «Сплавы ALLVAR с отрицательным термическим расширением для атермализации» (презентация конференции) . Оптифаб 2019 : 18. doi : 10.1117/12.2536862 .
^ Теркотт, Дональд Л.; Шуберт, Джеральд (2002). Геодинамика (2-е изд.). Кембридж. ISBN 978-0-521-66624-4 .
^ «Прикладная механика твердого тела (А. Ф. Бауэр) Глава 3: Основополагающие законы - 3.2 Линейная упругость» . SolidMechanics.org .
^ Датчи, Ф.; Деваэле, А.; Ле Годек, Ю.; Лубейр, П. (2007). «Уравнение состояния кубического нитрида бора при высоких давлениях и температурах» . Физ. Преподобный Б. 75 (21): 214104. arXiv : cond-mat/0702656 . Бибкод : 2007PhRvB..75u4104D . дои : 10.1103/PhysRevB.75.214104 . S2CID 115145222 . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ Манн, Арне; Германн, Тимо; Руитер, Матс; Грош, Питер (май 2020 г.). «Проблема масштабирования парафиновых приводов» . Материалы и дизайн . 190 : 108580. doi : 10.1016/j.matdes.2020.108580 . ISSN 0264-1275 . S2CID 214089757 .
^ Дж. Дальтон (1802), «Очерк II. О силе пара или пара из воды и различных других жидкостей как в вакууме, так и на воздухе» и Очерк IV. «О расширении упругих жидкостей при нагревании», Мемуары Литературно-философского общества Манчестера , том. 8, пт. 2, стр. 550–74, 595–602.
^ Гей-Люссак, Ж.Л. (1802), «Исследование расширения газов и паров», Annales de Chimie , XLIII : 137 . Английский перевод (отрывок).
^ Томсон, Уильям. «По абсолютной термометрической шкале, основанной на теории движущей силы тепла Карно и рассчитанной на основе наблюдений Реньо» . zapatopi.net . Философский журнал . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ Томсон, Уильям. «По абсолютной термометрической шкале, основанной на теории движущей силы тепла Карно и рассчитанной на основе наблюдений Рено (переиздание 1881 года)» (PDF) . Философский журнал . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ Лорд Кельвин, Уильям (октябрь 1848 г.). «По абсолютной термометрической шкале» . Философский журнал . Архивировано из оригинала 1 февраля 2008 года . Проверено 6 февраля 2008 г.
^ "Тепловое расширение" . Гиперучебник по физике . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ «Кинетическая теория частиц и изменения состояний» . Размер укуса: GCSE . Би-би-си . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ «Повышается ли уровень моря? Да, уровень моря повышается с возрастающей скоростью» . НОАА . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ «Объемное (кубическое) тепловое расширение» . Инженерный набор инструментов . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ Хаги, HE; Ширки, WD (1975). «Определение абсолютного теплового расширения титаново-кремнеземных стекол: усовершенствованный ультразвуковой метод» . Прикладная оптика . 14 (9): 2099–2103. Бибкод : 1975ApOpt..14.2099H . дои : 10.1364/AO.14.002099 . ПМИД 20154969 . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ Ганот, А., Аткинсон, Э. (1883). Элементарный трактат по экспериментальной и прикладной физике для использования в колледжах и школах , William and Wood & Co, Нью-Йорк, стр. 272–73.
^ Отслеживание исследования устойчивости . Центр Вольпе, Министерство транспорта США
^ Стоимость или экономия теплового расширения в надземных резервуарах . Artofbeingcheap.com (6 сентября 2013 г.). Проверено 19 января 2014 г.
^ Боковые, угловые и комбинированные движения. Архивировано 9 мая 2020 г. в Wayback Machine US Bellows.

Внешние ссылки [ править ]

Тепловое расширение стекла Измерение термического расширения, определения, расчет теплового расширения по составу стекла
Калькулятор теплового расширения воды
Пакет преподавания и обучения DoITPoMS по термическому расширению и полосе из двух материалов
Engineering Toolbox – Список коэффициентов линейного расширения для некоторых распространенных материалов.
Статья о том, как _{α V} определяется
MatWeb: Бесплатная база данных инженерных свойств более чем 79 000 материалов.
Веб-сайт NIST США – Семинар по измерению температуры и размеров
Гиперфизика: тепловое расширение
Понимание термического расширения керамических глазурей
Калькуляторы теплового расширения
Тепловое расширение с помощью калькулятора плотности

[Tipler-1] Типлер, Пол А.; Моска, Джин (2008). Физика для ученых и инженеров - Том 1 Механика/Колебания и волны/Термодинамика . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Worth Publishers. стр. 666–670. ISBN 978-1-4292-0132-2 .

[2] Буллис, В. Мюррей (1990). "Глава 6" . В О'Маре, Уильям К.; Херринг, Роберт Б.; Хант, Ли П. (ред.). Справочник по полупроводниковой кремниевой технологии . Парк-Ридж, Нью-Джерси: Публикации Нойеса. п. 431. ИСБН 978-0-8155-1237-0 . Проверено 11 июля 2010 г.

[3] Монро, Джеймс А.; Восток, Мэтью; Халл, Тони Б. (24 августа 2021 г.). «Атермализация сплава ALLVAR: новая и экономически эффективная альтернатива для космических телескопов малого и среднего размера» . В Халлиберте, Паскале; Халл, Тони Б.; Ким, Дэук; Келлер, Фанни (ред.). Астрономическая оптика: проектирование, производство и испытания космических и наземных систем III . Том. 11820. Сан-Диего, США: SPIE. стр. 52–59. Бибкод : 2021SPIE11820E..0BM . дои : 10.1117/12.2594816 . ISBN 978-1-5106-4478-6 . S2CID 238477713 .

[4] Варшнея, АК (2006). Основы неорганических стекол . Шеффилд: Общество технологий стекла. ISBN 978-0-12-714970-7 .

[5] Оджован, Мичиган (2008). «Конфигурации: термодинамические параметры и изменения симметрии при стекловании» . Энтропия . 10 (3): 334–364. Бибкод : 2008Entrp..10..334O . дои : 10.3390/e10030334 .

[6] «Тензоры полового и теплового расширения. Часть 1 | Видеолекции | Симметрия, структура и тензорные свойства материалов | Материаловедение и инженерия | MIT OpenCourseWare» . ocw.mit.edu .

[7] Бениш, Матиас; Паниграхи, Аджит; Стойка, Михай; Калин, Мариана; Аренс, Эйке; Зехетбауэр, Майкл; Скроцкий, Вернер; Экерт, Юрген (10 ноября 2017 г.). «Гигантское тепловое расширение и пути α-осаждения в титановых сплавах» . Природные коммуникации . 8 (1): 1429. Бибкод : 2017NatCo...8.1429B . дои : 10.1038/s41467-017-01578-1 . ПМК 5681671 . ПМИД 29127330 .

[thermex1-8] Перейти обратно: ^а ^б "Тепловое расширение" . Университет Западного Вашингтона. Архивировано из оригинала 17 апреля 2009 г.

[9] Ахмед, Ашраф; Таваколь, Бехруз; Дас, Рони; Ховен, Рональд; Рузбеджаван, Пуне; Минайе, Боб (2012). Исследование термического расширения полимерных композитов, армированных углеродным волокном . Материалы Международного симпозиума SAMPE. Чарльстон, Южная Каролина.

[10] Молодой; Геллер. Физика Колледжа Янга и Геллера (8-е изд.). ISBN 978-0-8053-9218-0 .

[SerwayJewett2005-11] Перейти обратно: ^а ^б Раймонд Сервей; Джон Джуэтт (2005), Принципы физики: текст, основанный на исчислении , Cengage Learning, стр. 506, Бибкод : 2006ppcb.book.....J , ISBN 978-0-534-49143-7

[12] «Паспорт технических очков» (PDF) . schott.com.

[13] «Полиимидная пленка DuPont™ Kapton® 200EN» . matweb.com. Архивировано из оригинала 26 ноября 2018 г. Проверено 15 марта 2011 г.

[14] «Технический паспорт Macor» (PDF) . Corning.com. Архивировано из оригинала (PDF) 12 июня 2011 г. Проверено 24 августа 2010 г.

[15] «WDSC 340. Замечания по термическим свойствам древесины» . Forestry.caf.wvu.edu . Архивировано из оригинала 30 марта 2009 г.

[wooddata-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Уэзервакс, Ричард К.; Штамм, Альфред Дж. (1956). Коэффициенты термического расширения древесины и изделий из дерева (PDF) (Технический отчет). Лаборатория лесных товаров , Лесная служба США. 1487.

[17] Косински, Дж. А.; Гуальтьери, Дж.Г.; Баллато, А. (1991). «Тепловое расширение альфа-кварца». Материалы 45-го ежегодного симпозиума по управлению частотой , 1991 г. п. 22. дои : 10.1109/FREQ.1991.145883 . ISBN 978-0-87942-658-3 . S2CID 96564753 .

[18] «Сапфир» (PDF) . kyocera.com. Архивировано из оригинала (PDF) 18 октября 2005 г.

[19] «Основные параметры карбида кремния (SiC)» . Институт Иоффе.

[20] Беккер, П.; Сейфрид, П.; Зигерт, Х. (1982). «Параметры решетки монокристаллов особо чистого кремния». Журнал физики Б. 48 (1): 17. Бибкод : 1982ZPhyB..48...17B . дои : 10.1007/BF02026423 . S2CID 120132261 .

[21] Нейв, Род. «Коэффициенты термического расширения при 20 C» . Государственный университет Джорджии.

[22] «Ситалл СО-115М (Астроситалл)» . Звездные инструменты .

[23] «Таблица термического расширения» (PDF) .

[thermex2-24] «Свойства обычных жидких материалов» . www.efunda.com .

[25] «Шотт АГ» . Архивировано из оригинала 4 октября 2013 г.

[26] Монро, Джеймс А.; Макаллистер, Джереми С.; Згарба, Джей; Сквайрс, Дэвид; Диган, Джон П. (18 ноября 2019 г.). «Сплавы ALLVAR с отрицательным термическим расширением для атермализации» (презентация конференции) . Оптифаб 2019 : 18. doi : 10.1117/12.2536862 .

[27] Теркотт, Дональд Л.; Шуберт, Джеральд (2002). Геодинамика (2-е изд.). Кембридж. ISBN 978-0-521-66624-4 .

[28] «Прикладная механика твердого тела (А. Ф. Бауэр) Глава 3: Основополагающие законы - 3.2 Линейная упругость» . SolidMechanics.org .

[29] Датчи, Ф.; Деваэле, А.; Ле Годек, Ю.; Лубейр, П. (2007). «Уравнение состояния кубического нитрида бора при высоких давлениях и температурах» . Физ. Преподобный Б. 75 (21): 214104. arXiv : cond-mat/0702656 . Бибкод : 2007PhRvB..75u4104D . дои : 10.1103/PhysRevB.75.214104 . S2CID 115145222 . Проверено 21 февраля 2022 г.

[30] Манн, Арне; Германн, Тимо; Руитер, Матс; Грош, Питер (май 2020 г.). «Проблема масштабирования парафиновых приводов» . Материалы и дизайн . 190 : 108580. doi : 10.1016/j.matdes.2020.108580 . ISSN 0264-1275 . S2CID 214089757 .

[31] Дж. Дальтон (1802), «Очерк II. О силе пара или пара из воды и различных других жидкостей как в вакууме, так и на воздухе» и Очерк IV. «О расширении упругих жидкостей при нагревании», Мемуары Литературно-философского общества Манчестера , том. 8, пт. 2, стр. 550–74, 595–602.

[32] Гей-Люссак, Ж.Л. (1802), «Исследование расширения газов и паров», Annales de Chimie , XLIII : 137 . Английский перевод (отрывок).

[Absolute_Thermometric_Scale_Zapatopi-33] Томсон, Уильям. «По абсолютной термометрической шкале, основанной на теории движущей силы тепла Карно и рассчитанной на основе наблюдений Реньо» . zapatopi.net . Философский журнал . Проверено 21 февраля 2022 г.

[Absolute_Thermometric_Scale_reprint-34] Томсон, Уильям. «По абсолютной термометрической шкале, основанной на теории движущей силы тепла Карно и рассчитанной на основе наблюдений Рено (переиздание 1881 года)» (PDF) . Философский журнал . Проверено 21 февраля 2022 г.

[lordkelvin-35] Лорд Кельвин, Уильям (октябрь 1848 г.). «По абсолютной термометрической шкале» . Философский журнал . Архивировано из оригинала 1 февраля 2008 года . Проверено 6 февраля 2008 г.

[36] "Тепловое расширение" . Гиперучебник по физике . Проверено 21 февраля 2022 г.

[37] «Кинетическая теория частиц и изменения состояний» . Размер укуса: GCSE . Би-би-си . Проверено 21 февраля 2022 г.

[38] «Повышается ли уровень моря? Да, уровень моря повышается с возрастающей скоростью» . НОАА . Проверено 21 февраля 2022 г.

[39] «Объемное (кубическое) тепловое расширение» . Инженерный набор инструментов . Проверено 21 февраля 2022 г.

[40] Хаги, HE; Ширки, WD (1975). «Определение абсолютного теплового расширения титаново-кремнеземных стекол: усовершенствованный ультразвуковой метод» . Прикладная оптика . 14 (9): 2099–2103. Бибкод : 1975ApOpt..14.2099H . дои : 10.1364/AO.14.002099 . ПМИД 20154969 . Проверено 21 февраля 2022 г.

[41] Ганот, А., Аткинсон, Э. (1883). Элементарный трактат по экспериментальной и прикладной физике для использования в колледжах и школах , William and Wood & Co, Нью-Йорк, стр. 272–73.

[42] Отслеживание исследования устойчивости . Центр Вольпе, Министерство транспорта США

[43] Стоимость или экономия теплового расширения в надземных резервуарах . Artofbeingcheap.com (6 сентября 2013 г.). Проверено 19 января 2014 г.

[44] Боковые, угловые и комбинированные движения. Архивировано 9 мая 2020 г. в Wayback Machine US Bellows.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]