Штамм (механика)

Напряжение
Другие имена	Тензор деформации
И объединились	1
Другие подразделения	%
В базовых единицах СИ	м/м
Поведение под преобразование координат	тензор
Измерение	$1$

В механике . деформация определяется как относительная деформация по сравнению с исходного положения конфигурацией Для выражения поля деформаций можно сделать различный эквивалентный выбор в зависимости от того, определяется ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела и от того, ли метрический тензор рассматривается или его двойник.

Деформация имеет размерность отношения длин . с базовой единицей СИ метр на метр (м/м) Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются десятичной дробью или процентом . обозначение частей на миллион Также используется , например частей на миллион или частей на миллиард (иногда называемых «микродеформациями» и «нанодеформациями» соответственно), что соответствует мкм /м и нм /м.

можно сформулировать как пространственную производную смещения Деформацию :

$${\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},$$

где I — тождественный тензор .Перемещение тела можно выразить в виде x = F ( X ) , где X — исходное положение материальных точек тела; перемещение имеет единицы длины и не различает движения твердого тела (переносы и вращения) и деформации (изменения формы и размеров) тела.Пространственная производная равномерного перемещения равна нулю, поэтому деформации измеряют, насколько данное смещение локально отличается от движения твердого тела.

Деформация, вообще говоря, является тензорной величиной. Физическое понимание деформаций можно получить, наблюдая, что данную деформацию можно разложить на нормальную и сдвиговую компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль линейных элементов или волокон материала представляет собой нормальную деформацию , а величина искажения, связанная со скольжением плоских слоев друг по другу, представляет собой деформацию сдвига внутри деформирующегося тела. Это может быть применено путем удлинения, укорочения, изменения объема или углового искажения.

Деформированное состояние в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящая через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между пары линий, первоначально перпендикулярных друг другу, — деформация сдвига , исходящая из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на множестве трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, это называется деформацией сжатия .

Режимы деформации

В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

• Теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций , теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями, в которых как вращение, так и деформации сколь угодно велики. При этом недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются и между ними необходимо проводить четкое различие. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .
• Теория бесконечно малых деформаций , также называемая теорией малых деформаций , теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений , где деформации и вращения малы. В этом случае недеформированную и деформированную конфигурации тела можно считать одинаковыми. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, проявляющих упругое поведение, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например, бетон и сталь.
• Теория большого смещения или большого вращения , которая предполагает небольшие деформации, но большие вращения и смещения.

Меры по напряжению

В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация — наиболее распространенное определение, применяемое к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень небольшим деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичная инженерная деформация превышает 1%; таким образом, требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .

Инженерное напряжение

Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение общей деформации к начальному размеру материального тела, к которому приложены силы. В случае элемента материальной линии или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение вызывает инженерную нормальную деформацию или инженерную деформацию растяжения e , которая равна относительному удлинению или изменению длины Δ L на единицу исходной длины L линии. элемент или волокна (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем

$$e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}$$

,где e — инженерная нормальная деформация , L — исходная длина волокна, а l — конечная длина волокна.

Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя элементами линии материала, изначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна максимальной длине деформации, деленной на длину перпендикуляра в плоскости приложения силы, что иногда облегчает расчет.

Коэффициент растяжения

Коэффициент растяжения или коэффициент растяжения (символ λ) является альтернативной мерой, связанной с растяжением или нормальной деформацией элемента дифференциальной линии с осевой нагрузкой. Она определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии.

$$\lambda ={\frac {l}{L}}$$

Коэффициент растяжения λ связан с инженерной деформацией e соотношением

$$e=\lambda -1$$

Из этого уравнения следует, что когда нормальная деформация равна нулю и деформации нет, коэффициент растяжения равен единице.

Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициент растяжения 3 или 4, прежде чем они выйдут из строя. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, выходят из строя при гораздо более низких коэффициентах растяжения.

Логарифмическая деформация

Логарифмическая деформация ε , также называемая истинной деформацией или деформацией Хенки . Учитывая возрастающую деформацию (Людвик)

$$\delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}$$

логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой дополнительной деформации:

$${\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}$$

где e — инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильную меру конечной деформации, когда деформация происходит с помощью серии приращений, принимая во внимание влияние траектории деформации.

Зеленый штамм

Основная статья: Теория конечной деформации

Штамм Грина определяется как:

$$\varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)$$

Almansi strain

Основная статья: Теория конечной деформации

Штамм Эйлера-Альманси определяется как

$$\varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$$

Тензор деформации

Дополнительная информация: Теория бесконечно малой деформации § Тензор бесконечно малой деформации.

Тензор (бесконечно малых) деформаций (символ ${\boldsymbol {\varepsilon }}$) определяется в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию материи, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен и имеет три линейных деформации и три сдвига. деформационные (декартовы) компоненты». ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «коэффициент изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «коэффициент параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а сдвиговая деформация параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .

Тогда тензор деформации можно выразить через нормальные и сдвиговые компоненты следующим образом:

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}$$

Геометрическая настройка

Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента

Рассмотрим двумерный бесконечно малый прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем перемещений u . Из геометрии соседней фигуры имеем

$$\mathrm {length} (AB)=dx$$

и

$${\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$$

Для очень малых градиентов смещения квадраты производной $u_{y}$ и $u_{x}$ пренебрежимо малы, и мы имеем

$$\mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx$$

Нормальная нагрузка

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызывает нормальную деформацию. Нормальные штаммы вызывают расширения .

Нормальная деформация в направлении x прямоугольного элемента определяется выражением

$$\varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}$$

Аналогично, нормальная деформация в направлениях y и z становится

$$\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}$$

Сдвиговая деформация

Сдвиговая деформация
Общие символы	γ или ε
И объединились	1 или радиан
Выводы из другие количества	с = т / г

Инженерная деформация сдвига ( ) _и определяется как изменение угла между линиями AC γxy AB . Поэтому,

$$\gamma _{xy}=\alpha +\beta$$

Из геометрии фигуры имеем

$${\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}$$

Для малых градиентов смещения имеем

$${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1$$

Для малых вращений, т. е. α и β ≪ 1, мы имеем tan α ≈ α , tan β ≈ β . Поэтому,

$$\alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$

таким образом

$$\gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$

Поменяв местами x и y , u _x и u _y , можно показать, что γ _xy = γ _yx .

Аналогично для плоскостей yz и xz имеем

$$\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}$$

Объемная нагрузка

Этот раздел представляет собой отрывок из теории бесконечно малых деформаций § Объемная деформация . [ редактировать ]

Объемная деформация, также называемая объемной деформацией, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора:

$$\delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}$$

Действительно, если рассматривать куб с длиной ребра a , то после деформации (изменение углов не изменяет объем) это квазикуб с размерами $a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})$ и V ₀ = а ³ , таким образом

$${\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}$$

поскольку мы рассматриваем малые деформации,

$$1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}$$

поэтому формула.

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.

Метрический тензор

Основная статья: Теория конечных деформаций § Тензоры деформации в криволинейных координатах

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов , представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат Фреше , фон Неймана и Джордана гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора равна квадратному корню из значения квадратичная форма , связанная формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением , называемым метрическим тензором .

См. также

• Стрессовые меры
• Скорость деформации
• Тензор деформации