Ньютоновская жидкость

Ньютоновская жидкость — это жидкость , в которой вязкие напряжения, возникающие в результате ее течения , в каждой точке линейно коррелируют с локальной скоростью деформации — скоростью изменения ее деформации с течением времени. Напряжения пропорциональны скорости изменения вектора скорости жидкости .

Жидкость является ньютоновской только в том случае, если тензоры , описывающие вязкое напряжение и скорость деформации, связаны тензором постоянной вязкости , не зависящим от напряженного состояния и скорости потока. Если жидкость также изотропна (механические свойства одинаковы во всех направлениях), тензор вязкости уменьшается до двух действительных коэффициентов, описывающих сопротивление жидкости непрерывной сдвиговой деформации и непрерывному сжатию или расширению соответственно.

Ньютоновские жидкости — это самые простые математические модели жидкостей, учитывающие вязкость. Хотя ни одна реальная жидкость не соответствует этому определению идеально, многие распространенные жидкости и газы, такие как вода и воздух, для практических расчетов в обычных условиях можно считать ньютоновскими. Однако неньютоновские жидкости относительно распространены и включают ооблек (который становится более жестким при сильном сдвиге) и некапающую краску (которая становится тоньше при сдвиге ). Другие примеры включают растворы многих полимеров (которые демонстрируют эффект Вейсенберга ), расплавленные полимеры, многие твердые суспензии, кровь и большинство высоковязких жидкостей.

Ньютоновские жидкости названы в честь Исаака Ньютона , который первым использовал дифференциальное уравнение , чтобы постулировать связь между скоростью деформации сдвига и напряжением сдвига для таких жидкостей.

Определение

Элемент текущей жидкости или газа будет выдерживать силы окружающей жидкости, включая силы вязкого напряжения , которые заставляют его постепенно деформироваться с течением времени. Эти силы могут быть математически первого порядка аппроксимированы тензором вязких напряжений , обычно обозначаемым $\tau$.

Деформацию жидкого элемента относительно некоторого предыдущего состояния можно аппроксимировать первого порядка тензором деформации , который меняется со временем. Производная по времени этого тензора — это тензор скорости деформации , который выражает, как деформация элемента меняется со временем; а также градиент скорости векторного поля $v$ в этот момент часто обозначается $\nabla v$.

Тензоры $\tau$ и $\nabla v$ может быть выражено матрицами 3×3 относительно любой выбранной системы координат . Жидкость называется ньютоновской, если эти матрицы связаны уравнением ${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}(\nabla v)$где $\mu$ представляет собой фиксированный тензор четвертого порядка 3×3×3×3, не зависящий от скорости или напряженного состояния жидкости.

случай

Для несжимаемой и изотропной ньютоновской жидкости в ламинарном потоке только в направлении x (т.е. там, где вязкость в жидкости изотропна), напряжение сдвига связано со скоростью деформации простым определяющим уравнением

$$\tau =\mu {\frac {du}{dy}}$$

где

• $\tau$ - напряжение сдвига (« сопротивление кожи ») в жидкости,
• $\mu$ — скалярная константа пропорциональности, динамическая вязкость жидкости
• ${\frac {du}{dy}}$ – производная в направлении y, нормальном к x, компоненты скорости потока u, ориентированной вдоль направления x.

В случае общего двумерного течения несжимаемой жидкости в плоскости x, y материальное уравнение Ньютона принимает вид:

$$\tau _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)$$

где:

• $\tau _{xy}$ - напряжение сдвига (« сопротивление кожи ») в жидкости,
• ${\frac {\partial u}{\partial y}}$ – частная производная по направлению y компоненты скорости потока u, ориентированной вдоль направления x.
• ${\frac {\partial v}{\partial x}}$ – частная производная по направлению x компоненты скорости потока v, ориентированной вдоль направления y.

Теперь мы можем обобщить случай несжимаемого потока с общим направлением в трехмерном пространстве: приведенное выше материальное уравнение принимает вид

$$\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$$

где

• $x_{j}$ это $j$пространственная координата
• $v_{i}$ - скорость жидкости в направлении оси $i$
• $\tau _{ij}$ это $j$-я компонента напряжения, действующего на грани жидкого элемента, перпендикулярные оси $i$. Это ij-я компонента тензора сдвиговых напряжений.

или записано в более компактной тензорной записи

$${\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)$$

где $\nabla \mathbf {u}$ – градиент скорости потока.

Альтернативный способ формулировки этого материального уравнения:

напряжения Стокса Определяющее уравнение (выражение, используемое для несжимаемых упругих тел)

${\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$

где

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)$$

– тензор скорости деформации . Таким образом, это разложение можно сделать явным как:

Уравнение состояния напряжений Стокса (выражение, используемое для несжимаемых вязких жидкостей)

${\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$

Это материальное уравнение также называют ньютоновским законом вязкости .

Тензор полного напряжения ${\boldsymbol {\sigma }}$ всегда можно разложить как сумму тензора изотропных напряжений и тензора девиаторных напряжений ( ${\boldsymbol {\sigma }}'$):

${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} +{\boldsymbol {\sigma }}'$

В несжимаемом случае изотропное напряжение просто пропорционально термодинамическому давлению. $p$:

$$p=-{\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {1}{3}}\sum _{k}\sigma _{kk}$$

а девиаторное напряжение совпадает с тензором касательных напряжений ${\boldsymbol {\tau }}$:

$${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)$$

напряжение уравнение, определяющее Тогда , принимает вид

$$\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$$

или записано в более компактной тензорной записи

$${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)$$

где $\mathbf {I}$ является тождественным тензором.

Общий сжимаемый корпус

Основополагающий закон Ньютона для сжимаемого течения следует из следующих предположений о тензоре напряжений Коши:

• напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это тензорный градиент. ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ скорости или, проще говоря, тензор деформации : ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• девиаторное напряжение линейно по этой переменной: ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$, где ${\textstyle p}$ не зависит от тензора скорости деформации, ${\textstyle \mathbf {C} }$ – тензор четвертого порядка, представляющий константу пропорциональности, называемую тензором вязкости или эластичности , и : – произведение двойных точек .
• жидкость предполагается изотропной , как газы и простые жидкости, и, следовательно, ${\textstyle \mathbf {C} }$ – изотропный тензор; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений симметричен, с помощью разложения Гельмгольца его можно выразить через два скалярных параметра Ламе , второй вязкости ${\textstyle \lambda }$ и динамическая вязкость ${\textstyle \mu }$, как это обычно бывает в линейной упругости :
  линейного напряжения Определяющее уравнение (выражение аналогично уравнению для упругого тела)

  ${\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$

  где ${\textstyle \mathbf {I} }$ – тождественный тензор и ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ — след тензора скорости деформации. Таким образом, это разложение можно явно определить как:

  $${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).$$

Поскольку след тензора скорости деформации в трех измерениях представляет собой дивергенцию ( т.е. скорость расширения) потока:

$$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .$$

Учитывая это соотношение и поскольку след тождественного тензора в трех измерениях равен трем:

$$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.$$

след тензора напряжений в трех измерениях принимает вид:

$$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .$$

Итак, поочередно разложив тензор напряжений на изотропную и девиаторную части, как обычно в гидродинамике:

$${\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p+\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)$$

Представляем объемную вязкость ${\textstyle \zeta }$,

$$\zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,$$

приходим к линейному материальному уравнению в форме, обычно используемой в теплогидравлике :

Определяющее уравнение линейного напряжения (выражение, используемое для жидкостей)

${\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]$

которое также можно представить в другой обычной форме:

$${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .$$

Обратите внимание, что в сжимаемом случае давление больше не пропорционально члену изотропного напряжения , поскольку существует дополнительный член объемной вязкости: $p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

и девиаторный тензор напряжений ${\boldsymbol {\sigma }}'$ по-прежнему совпадает с тензором касательных напряжений ${\boldsymbol {\tau }}$ (т. е. девиаторное напряжение в ньютоновской жидкости не имеет нормальных компонентов напряжения) и в дополнение к несжимаемому случаю имеет член сжимаемости, который пропорционален сдвиговой вязкости:

${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]$

Обратите внимание, что несжимаемый случай соответствует предположению, что давление сдерживает поток так, что объем жидких элементов постоянен: изохорный поток приводит к соленоидальному полю скорости с ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$. Итак, мы возвращаемся к выражениям для давления и девиаторного напряжения, рассмотренным в предыдущем абзаце.

Обе объемные вязкости ${\textstyle \zeta }$ и динамическая вязкость ${\textstyle \mu }$ не обязательно должны быть постоянными - как правило, они зависят от двух термодинамических переменных, если жидкость содержит один химический вид, скажем, например, давление и температуру. Любое уравнение, которое делает явным один из этих коэффициентов переноса в переменных сохранения, называется уравнением состояния .

Помимо зависимости от давления и температуры, второй коэффициент вязкости также зависит от процесса, то есть второй коэффициент вязкости не является просто свойством материала. Пример: в случае звуковой волны с определенной частотой, которая попеременно сжимает и расширяет жидкий элемент, второй коэффициент вязкости зависит от частоты волны. Эта зависимость называется дисперсией . В некоторых случаях вторая вязкость ${\textstyle \zeta }$ можно считать постоянным, и в этом случае влияние объемной вязкости ${\textstyle \zeta }$ заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению : как показано ниже.

$$\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),$$

$${\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,$$

Однако в большинстве случаев этой разницей обычно пренебрегают (то есть всякий раз, когда мы не имеем дело с такими процессами, как поглощение звука и затухание ударных волн). где становится важным второй коэффициент вязкости), явно предполагая ${\textstyle \zeta =0}$. Предположение о настройке ${\textstyle \zeta =0}$ называется гипотезой Стокса . Справедливость гипотезы Стокса может быть продемонстрирована для одноатомного газа как экспериментально, так и на основе кинетической теории; для других газов и жидкостей гипотеза Стокса в целом неверна.

Наконец, обратите внимание, что гипотеза Стокса менее ограничительна, чем гипотеза несжимаемого потока. Действительно, в несжимаемом потоке исчезает как член объемной вязкости, так и член сдвиговой вязкости в дивергенции члена скорости потока, тогда как в гипотезе Стокса первый член также исчезает, но второй остается.

Для анизотропных жидкостей

В более общем смысле, в неизотропной ньютоновской жидкости коэффициент $\mu$ связывающий напряжения внутреннего трения с пространственными производными поля скорости, заменяется девятиэлементным тензором вязких напряжений $\mu _{ij}$.

Существует общая формула для силы трения в жидкости: Векторный дифференциал силы трения равен тензору вязкости, умноженному на векторный дифференциал вектора площади соприкасающихся слоев жидкости и ротора скорости :

$$d\mathbf {F} =\mu _{ij}\,d\mathbf {S} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u}$$

где $\mu _{ij}$ вязкости – тензор . Диагональные компоненты тензора вязкости – это молекулярная вязкость жидкости, а не диагональные компоненты – турбулентная вихревая вязкость .

Ньютоновский закон вязкости

Следующее уравнение иллюстрирует связь между скоростью сдвига и напряжением сдвига для жидкости с ламинарным течением только в направлении x :

$$\tau _{xy}=\mu {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}},$$

где:

• $\tau _{xy}$ - напряжение сдвига в компонентах x и y, т.е. составляющая силы в направлении x на единицу поверхности, которая перпендикулярна направлению y (то есть параллельна направлению x)
• $\mu$ вязкость, а
• ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}}}$ - градиент скорости потока вдоль направления y, нормального к скорости потока $v_{x}$.

Если вязкость постоянна, жидкость является ньютоновской.

модель

Синий цвет представляет собой ньютоновскую жидкость по сравнению с дилатантом и псевдопластом, угол зависит от вязкости.

Степенная модель используется для отображения поведения ньютоновских и неньютоновских жидкостей и измеряет напряжение сдвига как функцию скорости деформации.

Взаимосвязь между напряжением сдвига, скоростью деформации и градиентом скорости для степенной модели следующая:

$$\tau _{xy}=-m\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}},$$

где

• $\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}$ – абсолютное значение скорости деформации в ( n −1) степени;
• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$ – градиент скорости;
• n – показатель степенного закона.

Если

• n < 1, то жидкость является псевдопластической.
• n = 1, то жидкость является ньютоновской жидкостью.
• n > 1, то жидкость является дилатантом.

Жидкостная модель

Взаимосвязь между напряжением сдвига и скоростью сдвига в модели кассонной жидкости определяется следующим образом:

$${\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}$$

где τ ₀ — предел текучести и

$$S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}},$$

где α зависит от белкового состава, H — гематокритное число.

Примеры

Вода , воздух , спирт , глицерин и жидкое моторное масло — все это примеры ньютоновских жидкостей в диапазоне сдвиговых напряжений и скоростей сдвига, встречающихся в повседневной жизни. Однофазные жидкости, состоящие из небольших молекул, обычно (хотя и не исключительно) являются ньютоновскими.

См. также

• Гидравлическая механика
• Неньютоновская жидкость
• Тензор скорости деформации
• Вязкость
• Тензор вязких напряжений