Разложение Гельмгольца

В физике и математике или теорема о разложении Гельмгольца основная теорема векторного исчисления. утверждает, что любое достаточно гладкое , быстро убывающее векторное поле в трех измерениях можно разложить в сумму безвихревого ( без ротора ) векторного поля и соленоидального ( без дивергенций ) векторного поля. Он назван в честь Германа фон Гельмгольца .

Определение

Для векторного поля $\mathbf {F} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})$ определено в домене $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, разложение Гельмгольца — это пара векторных полей $\mathbf {G} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})$ и $\mathbf {R} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})$ такой, что:

$${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {r} ),\\\mathbf {G} (\mathbf {r} )&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\\\nabla \cdot \mathbf {R} (\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}$$

Здесь, $\Phi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )$ скалярный потенциал , $\nabla \Phi$ это его градиент , и $\nabla \cdot \mathbf {R}$ – дивергенция векторного поля $\mathbf {R}$. Безвихревое векторное поле $\mathbf {G}$ называется градиентным полем и $\mathbf {R}$ называется соленоидальным полем или полем вращения . Это разложение существует не для всех векторных полей и не является единственным .

История

Разложение Гельмгольца в трех измерениях было впервые описано в 1849 году. Джорджа Габриэля Стоукса за теорию дифракции . Герман фон Гельмгольц опубликовал свою статью о некоторых гидродинамических уравнениях в 1858 году: основных что было частью его исследования теорем Гельмгольца, описывающих движение жидкости вблизи вихревых линий. Для их вывода требовалось, чтобы векторные поля достаточно быстро затухали на бесконечности. Позже это условие можно было смягчить и разложение Гельмгольца распространить на более высокие измерения. Для римановых многообразий разложение Гельмгольца-Ходжа с использованием дифференциальной геометрии и тензорного исчисления . было получено

Разложение стало важным инструментом для решения многих задач теоретической физики . но он также нашел применение в анимации , компьютерном зрении и робототехнике .

Трехмерное пространство

Многие учебники по физике ограничивают разложение Гельмгольца трехмерным пространством и ограничивают его применение векторными полями, которые достаточно быстро затухают на бесконечности, или функциями рельефа , которые определены в ограниченной области . Тогда векторный потенциал $A$ можно определить так, что поле вращения определяется выражением $\mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A}$, используя ротор векторного поля.

Позволять $\mathbf {F}$ быть векторным полем в ограниченной области $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, который дважды непрерывно дифференцируем внутри $V$, и пусть $S$ быть поверхностью, охватывающей область $V$. Затем $\mathbf {F}$ можно разложить на компонент без ротора и компонент без дивергенций следующим образом:

$$\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,$$

где

$${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}$$

и $\nabla '$ является оператором наблы относительно $\mathbf {r'}$, нет $\mathbf {r}$.

Если $V=\mathbb {R} ^{3}$ и, следовательно, неограничен, и $\mathbf {F}$ исчезает быстрее, чем $1/r$ как $r\to \infty$, то есть

$${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}$$

Это справедливо, в частности, если $\mathbf {F}$ дважды непрерывно дифференцируема по $\mathbb {R} ^{3}$ и ограниченной поддержки.

Вывод

Доказательство

Предположим, у нас есть векторная функция $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ из которых мы знаем завиток, $\nabla \times \mathbf {F}$и расхождение, $\nabla \cdot \mathbf {F}$, в области и полях на границе. Запись функции с использованием дельта-функции в виде

$$\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,$$

где $\nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla$ – оператор Лапласа, имеем

$${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}$$

где мы использовали определение векторного лапласиана :

$$\nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,$$

дифференциация/интеграция по отношению к $\mathbf {r} '$к $\nabla '/\mathrm {d} V',$ и в последней строке линейность аргументов функции:

$$\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .$$

Тогда, используя векторные тождества

$${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}$$

мы получаем

$${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}$$

Благодаря теореме о дивергенции уравнение можно переписать в виде

$${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}$$

с внешней поверхностью нормальной $\mathbf {\hat {n}} '$.

Определение

$$\Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'$$

$$\mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'$$

мы наконец получаем

$$\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .$$

Пространство решений

Если $(\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})$ представляет собой разложение Гельмгольца $\mathbf {F}$, затем $(\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})$ является другим разложением тогда и только тогда, когда

$\Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad$ и $\quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,$

где

• $\lambda$ – гармоническое скалярное поле ,
• ${\mathbf {A} }_{\lambda }$ является векторным полем, которое удовлетворяет $\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,$
• $\varphi$ является скалярным полем.

Доказательство: Набор $\lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}$ и ${\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}$. Согласно определениюразложения Гельмгольца условие эквивалентно

$-\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0$.

Дивергенция каждого члена этого уравнения дает $\nabla ^{2}\lambda =0$, следовательно $\lambda$ является гармоничным.

Обратно, для любой гармонической функции $\lambda$, $\nabla \lambda$ является соленоидальным, поскольку

$\nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.$

Таким образом, согласно предыдущему разделу существует векторное поле ${\mathbf {A} }_{\lambda }$ такой, что $\nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }$.

Если ${\mathbf {A} '}_{\lambda }$ еще одно такое векторное поле, затем $\mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }$ выполняет $\nabla \times {\mathbf {C} }=0$, следовательно $C=\nabla \varphi$для некоторого скалярного поля $\varphi$.

Поля с заданной дивергенцией и завитком

Термин «теорема Гельмгольца» может также относиться к следующему. Пусть C — соленоидальное векторное поле , а d — скалярное поле на R ³ которые достаточно гладкие и исчезают быстрее, чем 1/ r ² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

$$\nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;$$

если дополнительно векторное поле F обращается в нуль при r → ∞ , то F единственно.

Другими словами, векторное поле можно построить как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, а если оно также обращается в нуль на бесконечности, то оно однозначно задается своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатике , поскольку уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей в статическом случае относятся именно к такому типу. Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: положим

$$\mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),$$

где ${\mathcal {G}}$ представляет собой ньютоновский потенциальный оператор. (При воздействии на векторное поле, такое как ∇ × F , определяется действие на каждый компонент.)

Слабая формулировка

Разложение Гельмгольца можно обобщить, уменьшив предположения о регулярности (необходимость существования сильных производных). Предположим, что Ω — ограниченная односвязная липшицева область . Каждое интегрируемое с квадратом векторное поле u ∈ ( L ² (Ой)) ³ имеет ортогональное разложение:

$$\mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A}$$

где φ находится в пространстве Соболева H ¹ (Ω) функций, интегрируемых с квадратом на Ω , частные производные которых, определенные в смысле распределения, интегрируемы с квадратом, и A ∈ H (curl, Ω) , пространство Соболева векторных полей, состоящее из интегрируемых с квадратом векторных полей с интегрируемым с квадратом ротором.

Для немного более гладкого векторного поля u ∈ H (curl, Ω) справедливо аналогичное разложение:

$$\mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v}$$

где φ ∈ H ¹ (Ω), v ∈ ( H ¹ (Ой)) ^д .

преобразования

Заметим, что в сформулированной здесь теореме мы наложили условие, что если $\mathbf {F}$ не определено в ограниченной области, то $\mathbf {F}$ распадется быстрее, чем $1/r$. Таким образом, Фурье преобразование $\mathbf {F}$, обозначенный как $\mathbf {G}$, гарантированно существует. Мы применяем соглашение

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}$$

Преобразование Фурье скалярного поля является скалярным полем, а преобразование Фурье векторного поля — векторным полем той же размерности.

Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля:

$${\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}$$

Следовательно

$${\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}$$

Продольные и поперечные поля

В терминологии, часто используемой в физике, безкорпусный компонент векторного поля называется продольным компонентом , а бездивергентный компонент — поперечным компонентом . Эта терминология исходит из следующей конструкции: Вычисление трехмерного преобразования Фурье ${\hat {\mathbf {F} }}$ векторного поля $\mathbf {F}$. Затем разложите это поле в каждой точке k на две компоненты, одна из которых направлена ​​продольно, т. е. параллельно k , другая — в поперечном направлении, т. е. перпендикулярно k . До сих пор у нас есть

$${\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )$$

$$\mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.$$

$$\mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .$$

Теперь применим обратное преобразование Фурье к каждому из этих компонентов. Используя свойства преобразований Фурье, получаем:

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )$$

$$\nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0$$

$$\nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0}$$

С $\nabla \times (\nabla \Phi )=0$ и $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$,

мы можем получить

$$\mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'$$

$$\mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'$$

так что это действительно разложение Гельмгольца.

Обобщение на более высокие измерения

Матричный подход

Обобщение $d$ измерения невозможно выполнить с помощью векторного потенциала, поскольку оператор вращения и векторное произведение определяются (как векторы) только в трех измерениях.

Позволять $\mathbf {F}$ быть векторным полем в ограниченной области $V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ который распадается быстрее, чем $|\mathbf {r} |^{-\delta }$ для $|\mathbf {r} |\to \infty$ и $\delta >2$.

Скалярный потенциал определяется аналогично трехмерному случаю как:

$$\Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',$$

где в качестве ядра интеграции $K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')$ снова является фундаментальным решением уравнения Лапласа , но в d-мерном пространстве:

$$K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}$$

с $V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}$ объем d-мерных единичных шаров и $\Gamma (\mathbf {r} )$ гамма -функция .

Для $d=3$, $V_{d}$ просто равно ${\frac {4\pi }{3}}$, что дает тот же префактор, что и выше.Вращательный потенциал представляет собой антисимметричную матрицу с элементами:

$$A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.$$

Над диагональю находятся $\textstyle {\binom {d}{2}}$ встречающиеся записи снова отражаются по диагонали, но с отрицательным знаком.В трехмерном случае элементы матрицы соответствуют как раз компонентам векторного потенциала $\mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]$.Однако такой матричный потенциал можно записать в виде вектора только в трехмерном случае, поскольку $\textstyle {\binom {d}{2}}=d$ действителен только для $d=3$.

Как и в трехмерном случае, поле градиента определяется как

$$\mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).$$

С другой стороны, поле вращения в общем случае определяется как расхождение строк матрицы:

$$\mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].$$

В трехмерном пространстве это эквивалентно вращению векторного потенциала.

Тензорный подход

В $d$-мерное векторное пространство с $d\neq 3$, ${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$ можно заменить соответствующей функцией Грина для лапласиана , определяемой формулой

$$\nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$$

где соглашение Эйнштейна о суммировании для индекса используется $\mu$. Например, ${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$ в 2D.

Следуя тем же шагам, что и выше, мы можем написать

$$F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '$$

где $\delta _{\mu \nu }$ представляет собой дельту Кронекера (и снова используется соглашение о суммировании). Вместо определения векторного лапласиана, использованного выше, мы теперь используем тождество для символа Леви-Чивита $\varepsilon$,

$$\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })$$

который действует в $d\geq 2$ размеры, где $\alpha$ это $(d-2)$-компонентный мультииндекс . Это дает

$$F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '$$

Поэтому мы можем написать

$$F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )$$

где

$${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}$$

Заметим, что векторный потенциал заменяется ранговым. $(d-2)$ тензор в $d$ размеры.

Потому что $G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')$ является функцией только $\mathbf {r} -\mathbf {r} '$, можно заменить ${\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}$, давая

$${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}$$

интегрирование по частям, Затем можно использовать чтобы получить

$${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}$$

где $S=\partial V$ является границей $V$. Эти выражения аналогичны приведенным выше для трехмерного пространства .

Дальнейшее обобщение на многообразия см. в обсуждении разложения Ходжа ниже .

Дифференциальные формы

тесно Разложение Ходжа связано с разложением Гельмгольца: обобщение векторных полей на R ³ к дифференциальным формам на римановом многообразии M . Большинство формулировок разложения Ходжа требуют, чтобы M было компактным . Поскольку это неверно для R ³ , теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о распаде на бесконечности участвующих дифференциальных форм, что дает правильное обобщение теоремы Гельмгольца.

Расширения полей, не распадающихся на бесконечности

В большинстве учебников рассматриваются только векторные поля, затухающие быстрее, чем $|\mathbf {r} |^{-\delta }$ с $\delta >1$ на бесконечности. Однако в 1905 году Отто Блюменталь показал, что адаптированное ядро ​​интегрирования можно использовать для интегрирования полей, затухающих быстрее, чем $|\mathbf {r} |^{-\delta }$ с $\delta >0$, что существенно менее строго.Для этого ядро $K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')$ в интегралах свертки необходимо заменить на $K'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')-K(0,\mathbf {r} ')$. С помощью еще более сложных ядер интегрирования можно найти решения даже для расходящихся функций, которые не обязательно растут быстрее полиномиального.

Для всех аналитических векторных полей, которым не обязательно обращаться к нулю даже на бесконечности, применяются методы, основанные на частичном интегрировании и формуле Коши для повторного интегрирования. может использоваться для вычисления решений в замкнутой форме потенциалов вращения и скалярных потенциалов, как в случае многомерного полинома , синуса , косинуса и экспоненциальных функций .

Уникальность решения

В общем случае разложение Гельмгольца не определено однозначно.Гармоничная функция $H(\mathbf {r} )$ это функция, которая удовлетворяет $\Delta H(\mathbf {r} )=0$.Добавив $H(\mathbf {r} )$ скалярному потенциалу $\Phi (\mathbf {r} )$, можно получить другое разложение Гельмгольца:

$${\begin{aligned}\mathbf {G} '(\mathbf {r} )&=\nabla (\Phi (\mathbf {r} )+H(\mathbf {r} ))=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\nabla H(\mathbf {r} ),\\\mathbf {R} '(\mathbf {r} )&=\mathbf {R} (\mathbf {r} )-\nabla H(\mathbf {r} ).\end{aligned}}$$

Для векторных полей $\mathbf {F}$, затухающий на бесконечности, вполне вероятно, что скалярный потенциал и потенциал вращения также затухают на бесконечности. Потому что $H(\mathbf {r} )=0$ — единственная гармоническая функция, обладающая этим свойством, что следует из теоремы Лиувилля , это гарантирует уникальность полей градиента и вращения.

Эта единственность не распространяется на потенциалы: в трехмерном случае скалярный и векторный потенциал вместе имеют четыре компонента, тогда как векторное поле имеет только три. Векторное поле инвариантно к калибровочным преобразованиям, и выбор соответствующих потенциалов, известный как фиксация калибровки, является предметом калибровочной теории . Важными примерами из физики являются калибровочное условие Лоренца и кулоновская калибровка . Альтернативой является использование полоидально-тороидального разложения .

Приложения

Электродинамика

Теорема Гельмгольца представляет особый интерес в электродинамике , поскольку с ее помощью можно записать уравнения Максвелла в потенциальном образе и облегчить их решение. Разложение Гельмгольца можно использовать, чтобы доказать, что по заданной плотности электрического тока и плотности заряда электрическое поле и плотность магнитного потока можно определить . Они единственны, если плотности обращаются в нуль на бесконечности и то же самое предполагается для потенциалов.

Гидродинамика

В гидродинамике проекция Гельмгольца играет важную роль, особенно для теории разрешимости уравнений Навье-Стокса . Если применить проекцию Гельмгольца к линеаризованным уравнениям Навье-Стокса несжимаемой жидкости, уравнение Стокса получится . Это зависит только от скорости частиц в потоке, но уже не от статического давления, что позволяет свести уравнение к одному неизвестному. Однако оба уравнения, Стокса и линеаризованные уравнения, эквивалентны. Оператор $P\Delta$ называется оператором Стокса .

Теория динамических систем

В теории динамических систем разложение Гельмгольца можно использовать для определения «квазипотенциалов», а также в некоторых случаях для вычисления функций Ляпунова .

Для некоторых динамических систем, таких как система Лоренца ( Эдвард Н. Лоренц , 1963 г.) , ), упрощенная модель атмосферной конвекции , в замкнутой форме можно получить выражение разложения Гельмгольца :

$${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.$$

Разложение Гельмгольца $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$, со скалярным потенциалом $\Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}$ дается как:

$$\mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},$$

$$\mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.$$

Квадратичный скалярный потенциал обеспечивает движение в направлении начала координат, отвечающего за устойчивую неподвижную точку в некотором диапазоне параметров. Для других параметров поле вращения гарантирует создание странного аттрактора , заставляющего модель проявлять эффект бабочки .

Медицинская

В магнитно-резонансной эластографии , варианте МРТ, где механические волны используются для исследования вязкоупругости органов, разложение Гельмгольца иногда используется для разделения измеренных полей смещения на сдвиговую составляющую (без дивергенции) и компрессионную составляющую (скручивающую). бесплатно). Таким образом, комплексный модуль сдвига можно рассчитать без участия волн сжатия.

Компьютерная анимация и робототехника

Разложение Гельмгольца также используется в области вычислительной техники. Сюда входит робототехника, реконструкция изображений, а также компьютерная анимация, где разложение используется для реалистичной визуализации жидкостей или векторных полей.

См. также

• Представление Клебша для связанного разложения векторных полей
• Дарвин Лагранжиан для приложения
• Полоидально-тороидальное разложение для дальнейшего разложения бездивергентной компоненты $\nabla \times \mathbf {A}$.
• Скалярно-векторно-тензорное разложение
• Теория Ходжа, обобщающая разложение Гельмгольца
• Теорема полярной факторизации
• Разложение Гельмгольца – Лере, используемое для определения проекции Лере.

Ссылки

• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 4-е издание, Academic Press: Сан-Диего (1995), стр. 92–93.
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков - международное издание , 6-е издание, Academic Press: Сан-Диего (2005), стр. 95–101.
• Резерфорд Арис , Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Прентис-Холл (1962), OCLC   299650765 , стр. 70–72.