тест Абеля

В математике ( тест Абеля также известный как критерий Абеля ) — это метод проверки сходимости бесконечного ряда . Тест назван в честь математика Нильса Хенрика Абеля , который доказал его в 1826 году. ^{[ 1 ]} Существуют две немного разные версии теста Абеля: одна используется с рядами действительных чисел, а другая — со степенными рядами в комплексном анализе . Критерий равномерной сходимости Абеля является критерием равномерной сходимости ряда , функций от зависящих параметров .

Тест Абеля в реальном анализе

Предположим, что следующие утверждения верны:

$\sum a_{n}$ является сходящимся рядом,
$b_{n}$ представляет собой монотонную последовательность, и
$b_{n}$ ограничен.

Затем $\sum a_{n}b_{n}$ также является сходящимся.

Важно понимать, что этот тест в основном актуален и полезно в контексте неабсолютно сходящихся рядов $\sum a_{n}$ . Для абсолютно сходящихся рядов эта теорема хотя и верна, но почти очевидна.

Эту теорему можно доказать непосредственно, используя суммирование по частям .

Тест Абеля в комплексном анализе

Тесно связанный тест сходимости, также известный как тест Абеля , часто может использоваться для установления сходимости степенного ряда на границе его круга сходимости . В частности, тест Абеля утверждает, что если последовательность положительных действительных чисел $(a_{n})$ монотонно убывает (или, по крайней мере, для всех n, больших некоторого натурального числа m , мы имеем $a_{n}\geq a_{n+1}$ ) с

\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0

тогда степенной ряд

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

сходится всюду на замкнутом единичном круге , за исключением случаев, когда z = 1. Тест Абеля нельзя применять, когда z = 1, поэтому сходимость в этой единственной точке необходимо исследовать отдельно. Обратите внимание, что тест Абеля, в частности, подразумевает, что радиус сходимости равен не менее 1. Его также можно применить к степенным рядам с радиусом сходимости R ≠ 1 простой заменой переменных ζ = z / R . ^{[ 2 ]} Обратите внимание, что тест Абеля является обобщением критерия Лейбница , принимая z = −1.

Доказательство теста Абеля: предположим, что z — точка единичной окружности, z ≠ 1. Для каждого $n\geq 1$ , мы определяем

f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.

Умножив эту функцию на (1 − z ), получим

{\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}

Первое слагаемое постоянно, второе сходится равномерно к нулю (поскольку по предположению последовательность $(a_{n})$ сходится к нулю). Осталось только доказать, что ряд сходится. Мы покажем это, показав, что оно даже абсолютно сходится: $\sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k})$ где последняя сумма является сходящейся телескопической суммой. Абсолютное значение исчезло, поскольку последовательность $(a_{n})$ по предположению уменьшается.

Следовательно, последовательность $(1-z)f_{n}(z)$ сходится (даже равномерно) на замкнутом единичном круге. Если $z\not =1$ , мы можем разделить на (1 − z ) и получить результат.

Другой способ получить результат — применить критерий Дирихле . Действительно, для $z\neq 1,\ |z|=1$ держит $\left|\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right|=\left|{\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\right|\leq {\frac {2}{|z-1|}}$ , следовательно, условия критерия Дирихле выполнены.

Равномерный тест сходимости Абеля

Критерий равномерной сходимости Абеля — это критерий равномерной сходимости ряда функций или неправильного интегрирования функций, зависящих от параметров . Он связан с тестом Абеля на сходимость обычного ряда действительных чисел, и доказательство основано на той же технике суммирования по частям .

Тест заключается в следующем. Пусть { g _n } — равномерно ограниченная последовательность вещественных непрерывных функций на множестве E такая, что g _{n +1} ( x ) ⩽ g _n ( x ) для всех x ∈ E и натуральных чисел n , и пусть { f _n } — последовательность вещественных функций такая, что ряд Σ f _n ( x ) сходится равномерно на E . Тогда Σ f _n ( x ) g _n ( x ) сходится равномерно на E .

Примечания

^ Абель, Нильс Хенрик (1826). «Расследования о сериале $1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots$ usw». Дж. Рейн Ангью. Математика 1 : 311–339.
^ (Моретти, 1964, стр. 91)

Ссылки

Джино Моретти, Функции комплексной переменной , Prentice-Hall, Inc., 1964 г.
Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-00288-1
Вайсштейн, Эрик В. «Тест равномерной сходимости Абеля» . Математический мир .

Внешние ссылки

Доказательство (для реальных серий) на PlanetMath.org

[1] Абель, Нильс Хенрик (1826). «Расследования о сериале $1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots$ usw». Дж. Рейн Ангью. Математика 1 : 311–339.

[2] (Моретти, 1964, стр. 91)

[ 1 ]

[ 2 ]