Интеграция с оболочкой

Объем аппроксимируется совокупностью полых цилиндров. По мере того как стенки цилиндра становятся тоньше, аппроксимация становится лучше. Пределом этого приближения является интеграл оболочки.

Оболочечное интегрирование метод оболочек в интегральном исчислении ) — метод вычисления объёма тела вращения ( при интегрировании по оси, перпендикулярной оси вращения. В этом отличие от дисковой интеграции , которая интегрируется вдоль оси, параллельной оси вращения.

Определение

Метод оболочки заключается в следующем: рассмотрим объем в трех измерениях, полученный вращением поперечного сечения в плоскости xy вокруг оси y . Предположим, что сечение определяется графиком положительной функции f ( x ) на интервале [ a , b ] . Тогда формула объема будет:

$2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx$

Если функция имеет координату y , а ось вращения — ось x , то формула принимает вид:

$2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy$

Если функция вращается вокруг прямой x = h , формула принимает вид:

${\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h,\end{cases}}$

а для вращений вокруг y = k это становится

${\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k.\end{cases}}$

Формула получена путем вычисления двойного интеграла в полярных координатах .

Вывод формулы

показывать Способ получения формулы The method's formula can be derived as follows:

Consider the function $f(x)$ which describes our cross-section of the solid, now the integral of the function can be described as a Riemann integral:$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(a+i{\frac {b-a}{n}})({\frac {b-a}{n}})$

The Riemann sum can be thought up as a sum of a number n of rectangles with ever shrinking bases, we might choose one of them:

$f(a+k{\frac {b-a}{n}})({\frac {b-a}{n}})$

Now, when we rotate the function around the axis of revolution, it is equivalent to rotating all of these rectangles around said axis, these rectangles end up becoming a hollow cylinder, composed by the difference of two normal cylinders. For our chosen rectangle, its made by obtaining a cylinder of radius $a+(k+1){\frac {b-a}{n}}$ with height $f(a+k{\frac {b-a}{n}})$ , and substracting it another smaller cylinder of radius $a+k{\frac {b-a}{n}}$, with the same height of $f(a+k{\frac {b-a}{n}})$ , this difference of cylinder volumes is:

$\pi f(a+k{\frac {b-a}{n}})((a+(k+1){\frac {b-a}{n}})^{2}-(a+k{\frac {b-a}{n}})^{2})$

By difference of squares , the last factor can be reduced as:

$\pi f(a+k{\frac {b-a}{n}})(2a+2k{\frac {b-a}{n}}+{\frac {b-a}{n}}){\frac {b-a}{n}}$

The third factor can be factored out by two, ending up as:

$2\pi f(a+k{\frac {b-a}{n}})(a+k{\frac {b-a}{n}}+{\frac {b-a}{2n}}){\frac {b-a}{n}}$

This same thing happens with all terms, so our total sum becomes:

$2\pi \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(a+i{\frac {b-a}{n}})(a+i{\frac {b-a}{n}}+{\frac {b-a}{2n}}){\frac {b-a}{n}}$

In the limit of $n\rightarrow \infty$, we can clearly identify that:

• $f(a+i{\frac {b-a}{n}})$ as ${\frac {b-a}{n}}$ goes to 0 ends up becoming $f(x)$
• $(a+i{\frac {b-a}{n}}+{\frac {b-a}{2n}})$ becomes $x$ itself, going from a to b (ignoring the last term which is now infinitesimal)
• ${\frac {b-a}{n}}$ becomes an infinitesimal

Thus, at the limit of infinity, the sum becomes the integral:

$2\pi \int \limits _{a}^{b}xf(x)dx$

QED $\square$.

Пример

Рассмотрим объем, изображенный ниже, сечение которого на отрезке [1, 2] определяется формулой:

$y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}$

Поперечное сечение

3D объем

Используя метод оболочки, мы просто используем следующую формулу:

$V=2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx$

Разложив полином, можно легко провести интегрирование, получив π / 10 кубических единиц.

Сравнение с интеграцией дисков

Для определения объема потребуется гораздо больше работы, если мы воспользуемся интеграцией дисков . Сначала нам нужно будет решить $y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}$ для х . Далее, поскольку объем посередине полый, нам потребуются две функции: одна, определяющая внешнее твердое тело, и другая, определяющая внутреннюю полость. После интегрирования каждой из этих двух функций мы вычитаем их, чтобы получить желаемый объем.

См. также

• Тело революции
• Интеграция дисков

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Метод оболочек» . Математический мир .
• Фрэнк Эйрес , Эллиот Мендельсон . Очерки Шаума : Исчисление . МакГроу-Хилл Профессионал 2008, ISBN   978-0-07-150861-2 . стр. 244–248 ( онлайн-копия , стр. 244, в Google Книгах )