Получить формулу Бруно

Формула Фаа ди Бруно представляет собой тождество в математике , обобщающее цепное правило на высшие производные. Она названа в честь Франческо Фаа ди Бруно ( 1855 , 1857 ), хотя он не был первым, кто сформулировал или доказал эту формулу. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст сформулировал формулу в учебнике по математическому анализу: который считается первой опубликованной ссылкой на эту тему.

Возможно, самая известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит, что

$${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},$$

где сумма равна всем $n$- кортежи неотрицательных целых чисел $(m_{1},\ldots ,m_{n})$ удовлетворение ограничения

$$1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.$$

Иногда, чтобы придать ему запоминающийся образец, его записывают таким образом, чтобы коэффициенты, имеющие комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, были менее явными:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.$

Объединение терминов с одинаковым значением $m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}=k$ и заметив это $m_{j}$ должно быть равно нулю для $j>n-k+1$ приводит к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла $B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})$:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

Комбинаторная форма

Формула имеет «комбинаторный» вид:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)$

где

• $\pi$ проходит через набор $\Pi$ всех разделов набора $\{1,\ldots ,n\}$,
• " $B\in \pi$" означает переменную $B$ пробегает список всех «блоков» раздела $\pi$, и
• $|A|$ обозначает мощность множества $A$ (так что $|\pi |$ количество блоков в разделе $\pi$ и $|B|$ это размер блока $B$).

Пример

Ниже приводится конкретное объяснение комбинаторной формы $n=4$ случай.

${\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}$

Шаблон:

${\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\[12pt]g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{array}}$

Фактор $g''(x)g'(x)^{2}$ очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 целого числа 4. Фактор $f'''(g(x))$ это соответствует тому факту, что есть три в этом разделе слагаемых. Коэффициент 6, соответствующий этим коэффициентам, соответствует тому факту, что существует ровно шесть разделов набора из четырех элементов, которые разбивают его на одну часть размера 2 и две части размера 1.

Аналогично, фактор $g''(x)^{2}$ в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 целого числа 4 (4, поскольку мы находим четвертую производную), а $f''(g(x))$ есть два соответствует тому факту, что в этом разбиении слагаемых (2 + 2). Коэффициент 3 соответствует тому, что есть ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$ способы разделения 4 объектов на группы по 2. Та же концепция применима и к остальным.

Схема запоминания следующая:

${\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}$

Вариации

Многовариантная версия

Позволять $y=g(x_{1},\dots ,x_{n})$. Тогда справедливо следующее тождество независимо от того, $n$ все переменные различны, или все идентичны, или разделены на несколько различимых классов неотличимых переменных (если это кажется неясным, см. очень конкретный пример ниже):

${\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}$

где (как указано выше)

• $\pi$ проходит через набор $\Pi$ всех разделов набора $\{1,\ldots ,n\}$,
• " $B\in \pi$" означает переменную $B$ пробегает список всех «блоков» раздела $\pi$, и
• $|A|$ обозначает мощность множества $A$ (так что $|\pi |$ количество блоков в разделе $\pi$ и

$|B|$ это размер блока $B$).

Более общие версии справедливы для случаев, когда все функции имеют векторные и даже значения в банаховом пространстве . В этом случае необходимо рассмотреть производную Фреше или производную Гато .

Пример

Пять членов в следующем выражении очевидным образом соответствуют пяти разделам множества $\{1,2,3\}$, и в каждом случае порядок производной $f$ — количество частей в разделе:

${\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}$

Если три переменные неотличимы друг от друга, то три из пяти приведенных выше терминов также неотличимы друг от друга, и тогда мы имеем классическую формулу с одной переменной.

Официальная версия серии Power

Предполагать $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}$ и $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}$ являются формальными степенными рядами и $b_{0}=0$.

Тогда композиция $f\circ g$ снова является формальным степенным рядом ,

$f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},$

где $c_{0}=a_{0}$ и другой коэффициент $c_{n}$ для $n\geq 1$ можно выразить в виде суммы композициям по $n$ или как эквивалентную сумму по целочисленным разделам $n$:

$c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},$

где

${\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}$

представляет собой набор композиций $n$ с $k$ обозначая количество частей,

или

$c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},$

где

${\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}$

представляет собой набор разделов $n$ в $k$ частей в форме частоты частей.

Первая форма получается подбором коэффициента при $x^{n}$ в $(b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}$ «при осмотре», а вторая форма затем получается путем сбора подобных членов или, альтернативно, путем применения полиномиальной теоремы .

Особый случай $f(x)=e^{x}$, $g(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n!}}a_{n}x^{n}$ дает показательную формулу . Особый случай $f(x)=1/(1-x)$, $g(x)=\sum _{n\geq 1}(-a_{n})x^{n}$ дает выражение для обратной величины формального степенного ряда $\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}$ в случае $a_{0}=1$.

Стэнли дает версию для экспоненциального степенного ряда. В формальном степенном ряду

$f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},$

у нас есть $n$-я производная в 0:

$f^{(n)}(0)=a_{n}.$

Это не следует истолковывать как значение функции, поскольку эти ряды чисто формальны; в этом контексте не существует такой вещи, как конвергенция или дивергенция.

Если

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}$

и

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}$

и

$g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},$

тогда коэффициент $c_{n}$ (что было бы $n$-я производная от $h$ оценивается как 0, если мы имеем дело со сходящимся рядом, а не с формальным степенным рядом) определяется выражением

$c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}$

где $\pi$ проходит через набор всех разделов набора $\{1,\ldots ,n\}$ и $B_{1},\ldots ,B_{k}$ это блоки раздела $\pi$, и $|B_{j}|$ это количество членов $j$блок, для $j=1,\ldots ,k$.

Этот вариант формулы особенно хорошо подходит для целей комбинаторики .

Мы также можем написать относительно обозначений выше

$g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},$

где $B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})$ являются полиномами Белла .

Особый случай

Если $f(x)=e^{x}$, то все производные $f$ одинаковы и являются общим для каждого термина фактором:

${d^{n} \over dx^{n}}e^{g(x)}=e^{g(x)}B_{n}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x)\right),$

где $B_{n}(x)$ — n -й полный экспоненциальный полином Белла .

В случае $g(x)$ является производящей кумулянтной функцией , то $f(g(x))$ — производящая момент функция , а полином от различных производных от $g$ – многочлен, выражающий моменты как функции кумулянтов .

См. также

• Правило цепочки - для производных составных функций.
• Дифференцирование тригонометрических функций - Математический процесс нахождения производной тригонометрической функции.
• Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
• Общее правило Лейбница - Обобщение правила произведения в исчислении.
• Обратные функции и дифференциация — страницы идентификации исчисления, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Линейность дифференцирования – свойство исчисления
• Правило продукта – формула производной продукта
• Таблица производных — правила вычисления производных функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Тождества векторного исчисления - Математические тождества

Ссылки

Исторические обзоры и очерки

• Бригалья, Альдо (2004), «Математическая работа», Джакарди, Ливия (редактор), Франческо Фаа ди Бруно. Научные исследования, преподавание и распространение , Исследования и источники по истории Туринского университета (на итальянском языке), том. XII, Турин : Субальпийская депутация отечественной истории, стр. 111–172 . « Математическая работа » представляет собой очерк о математической деятельности, описывающий как исследовательскую, так и преподавательскую деятельность Франческо Фаа ди Бруно.
• Крейк, Алекс Д.Д. (февраль 2005 г.), «Предыстория формулы Фаа ди Бруно», American Mathematical Monthly , 112 (2): 217–234, doi : 10.2307/30037410 , JSTOR   30037410 , MR   2121322 , Zbl   1088.01008 .
• Джонсон, Уоррен П. (март 2002 г.), «Любопытная история формулы Фаа ди Бруно» (PDF) , American Mathematical Monthly , 109 (3): 217–234, CiteSeerX   10.1.1.109.4135 , doi : 10.2307/2695352 , ДЖСТОР   2695352 , МР   1903577 , Збл   1024.01010 .

Исследовательские работы

• Арбогаст, LFA (1800), Du Calcul des Derivations [ Об исчислении производных ] (на французском языке), Страсбург: Левро, стр. xxiii+404 , Полностью доступен в книгах Google .
• Фаа ди Бруно, Ф. (1855), «Sullo sviluppo delle funzioni» [О развитии функций], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (на итальянском языке), 6 : 479–480, LCCN   06036680 . Полностью бесплатно доступен в книгах Google . Известная статья, в которой Франческо Фаа ди Бруно представляет две версии формулы, которая теперь носит его имя, опубликована в журнале, основанном Барнабой Тортолини .
• Фаа ди Бруно, Ф. (1857), «Примечание к новой формуле дифференциального исчисления» [О новой формуле дифференциального исчисления], Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), 1 : 359–360 . Полностью бесплатно доступен в книгах Google .
• Фаа ди Бруно, Франческо (1859), теория исключения ( Общая на французском языке), Париж: Лейбер и Фараге, стр. х+224 . Полностью бесплатно доступен в книгах Google .
• Фландерс, Харли (2001) «От Форда до Фаа», American Mathematical Monthly 108 (6): 558–61 дои : 10.2307/2695713
• Френкель, Л.Е. (1978), «Формулы для высоких производных сложных функций», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 83 (2): 159–165, Bibcode : 1978MPCPS..83..159F , doi : 10.1017/S0305004100054402 , МИСТЕР   0486377 , S2CID   121007038 , Збл   0388.46032 .
• Кранц, Стивен Г .; Паркс, Гарольд Р. (2002), Учебник по действительным аналитическим функциям , Расширенные тексты Birkhäuser - Базельские учебники (второе издание), Бостон: Birkhäuser Verlag , стр. xiv + 205, ISBN  978-0-8176-4264-8 , МР   1916029 , Збл   1015.26030
• Портеус, Ян Р. (2001), «Параграф 4.3: формула Фаа ди Бруно» , Геометрическое дифференцирование (второе изд.), Кембридж: Cambridge University Press , стр. 83–85, ISBN  978-0-521-00264-6 , МР   1871900 , Збл   1013.53001 .
• TA, (Тибурсе Абади, JFC) (1850), «О выводе функций» , Nouvelles annals de Mathematics, журнал кандидатов политехнических и нормальных школ , Серия 1 (на французском языке), 9 : 119–125 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) , доступен на NUMDAM . Эта статья, по словам Джонсона (2002 , стр. 228), является одним из предшественников Faà di Bruno 1855 : обратите внимание, что автор подписывается только как «TA», а приписывание JFC Тибурсе Абади снова принадлежит Джонсону.
• А., (Тибурс Абади, JFC) (1852), «О дифференцировании функций от функций. Ряды Бурмана, Лагранжа, Вронского» [О выводе функций. Серия Бурмана, Лагранжа и Вронского.], Новые анналы математики, журнал кандидатов политехнических и педагогических училищ , Серия 1 (на французском языке), 11 : 376–383. {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) , доступен на NUMDAM . Эта статья, по словам Джонсона (2002 , стр. 228), является одним из предшественников Faà di Bruno 1855 : обратите внимание, что автор подписывается только как «А.», а приписывание JFC Тибурсе Абади снова принадлежит Джонсону.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Фаа ди Бруно» . Математический мир .