Производные торты
Часть серии статей о |
Исчисление |
---|
В математике дифференциал Гато или производная Гато является обобщением концепции производной по направлению в дифференциальном исчислении . Названный в честь Рене Гато , он определен для функций между локально выпуклыми топологическими векторными пространствами, такими как банаховы пространства . Подобно производной Фреше в банаховом пространстве, дифференциал Гато часто используется для формализации функциональной производной, обычно используемой в вариационном исчислении и физике .
В отличие от других форм производных, дифференциал Гато функции может быть нелинейным оператором . Однако часто определение дифференциала Гато также требует, чтобы он был непрерывным линейным преобразованием . Некоторые авторы, такие как Тихомиров (2001) , проводят дальнейшее различие между дифференциалом Гато (который может быть нелинейным) и производной Гато (которую они считают линейной). В большинстве приложений непрерывная линейность следует из некоторых более примитивных условий, которые являются естественными для конкретной ситуации, например, наложение комплексной дифференцируемости в контексте бесконечномерной голоморфности или непрерывной дифференцируемости в нелинейном анализе.
Определение [ править ]
Предполагать и — локально выпуклые топологические векторные пространства (например, банаховы пространства ), открыт, и Дифференциал Гато из в в направлении определяется как
( 1 ) |
Если предел существует для всех тогда один говорит, что дифференцируемо ли Гато в
Предел, фигурирующий в ( 1 ), берется относительно топологии Если и являются вещественными топологическими векторными пространствами, то предел принимается за вещественные С другой стороны, если и являются комплексными топологическими векторными пространствами, то указанный выше предел обычно принимается как в комплексной плоскости, как в определении комплексной дифференцируемости . В некоторых случаях вместо сильного предела берется слабый предел, что приводит к понятию слабой производной Гато.
Линейность и непрерывность [ править ]
В каждой точке дифференциал Гато определяет функцию
Эта функция однородна в том смысле, что для всех скаляров
Однако эта функция не обязательно должна быть аддитивной, так что дифференциал Гато может не быть линейным, в отличие от производной Фреше . Даже если он линейный, он может не зависеть непрерывно от если и являются бесконечномерными. Более того, для дифференциалов Гато, линейных и непрерывных по существует несколько неэквивалентных способов формулировки их непрерывной дифференцируемости .
Например, рассмотрим вещественную функцию двух действительных переменных, определяемых формулой
Связь с производной Фреше
Если дифференцируема по Фреше, то она также дифференцируема по Гато, и ее производные по Фреше и Гато совпадают. Обратное утверждение явно неверно, поскольку производная Гато может не быть линейной или непрерывной. Фактически, производная Гато даже может быть линейной и непрерывной, но производная Фреше не может существовать.
Тем не менее для функций из сложного банахового пространства в другое комплексное банахово пространство производная Гато (где предел берется по комплексному стремящаяся к нулю, как в определении комплексной дифференцируемости ) автоматически линейна, согласно теореме Цорна (1945) . Кроме того, если является (комплексным) дифференцируемым по Гато в каждом с производной
Непрерывная дифференцируемость
Непрерывную дифференцируемость Гато можно определить двумя неэквивалентными способами. Предположим, что дифференцируемо ли Гато в каждой точке открытого множества Одно из понятий непрерывной дифференцируемости в требует, чтобы отображение пространства продукта
Более сильное понятие непрерывной дифференцируемости требует, чтобы
С точки зрения технического удобства последнее понятие непрерывной дифференцируемости является типичным (но не универсальным), когда пространства и являются Банахом, поскольку также является банаховым, и тогда можно использовать стандартные результаты функционального анализа. Первое является более распространенным определением в областях нелинейного анализа, где задействованные функциональные пространства не обязательно являются банаховыми пространствами. Например, дифференцирование в пространствах Фреше имеет такие приложения, как теорема Нэша – Мозера об обратной функции , в которой интересующие функциональные пространства часто состоят из гладких функций на многообразии .
Высшие производные [ править ]
В то время как производные Фреше более высокого порядка естественным образом определяются как полилинейные функции путем итерации с использованием изоморфизмов Производную Гато более высокого порядка нельзя определить таким образом. Вместо этого Производная Гато функции го порядка в направлении определяется
( 2 ) |
Вместо полилинейной функции это однородная функция степени в
Есть еще один кандидат на определение производной высшего порядка — функция
( 3 ) |
которое естественным образом возникает в вариационном исчислении как вторая вариация по крайней мере, в том частном случае, когда является скалярным. Однако он может вообще не иметь каких-либо разумных свойств, кроме однородности по отдельности. и Желательно иметь достаточные условия для обеспечения того, чтобы является симметричной билинейной функцией и и что это согласуется поляризацией с
Например, имеет место следующее достаточное условие ( Гамильтон, 1982 ). Предположим, что является в том смысле, что отображение
Свойства [ править ]
Версия фундаментальной теоремы исчисления справедлива для производной Гато предоставил предполагается достаточно непрерывно дифференцируемым. Конкретно:
- Предположим, что является в том смысле, что производная Гато является непрерывной функцией Тогда для любого и где интеграл представляет собой интеграл Гельфанда–Петтиса (слабый интеграл) ( Вайнберг (1964) ).
Из этого следуют многие другие знакомые свойства производной, такие как полилинейность и коммутативность производных более высокого порядка. Дополнительные свойства, а также следствия основной теоремы, включают:
- ( Правило цепочки ) для всех и (Важно, что, как и в случае с простыми частными производными , производная Гато не удовлетворяет правилу цепочки, если производной разрешено быть разрывным.)
- ( Теорема Тейлора с остатком )
Предположим, что отрезок между и лежит целиком внутри Если является затемгде остаточный член определяется выражением
Пример [ править ]
Позволять — гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, на измеримом по Лебегу множестве в евклидовом пространстве Функционал
Действительно, вышеизложенное является пределом из
См. также [ править ]
- Производная Адамара
- Производная (обобщения) — фундаментальная конструкция дифференциального исчисления.
- Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства - Дифференцируемая функция в функциональном анализе
- Дифференцирование в пространствах Фреше
- Фрактальная производная - Обобщение производной на фракталы.
- Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
- Бесконечномерная векторная функция - функция, значения которой лежат в бесконечномерном векторном пространстве.
- Квазипроизводная - обобщение производной функции между двумя банаховыми пространствами.
- Кватернионный анализ - Теория функций с кватернионной переменной
- Полудифференцируемость
Ссылки [ править ]
- Гато, Рене (1913), «О непрерывных функционалах и аналитических функционалах» , Еженедельные отчеты сессий Академии наук , 157 , Париж: 325–327 , получено 2 сентября 2012 г.
- Гато, Рене (1919), «Функции бесконечности независимых переменных» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 47 : 70–96, doi : 10.24033/bsmf.995 .
- Гамильтон, Р.С. (1982), «Теорема Нэша и Мозера об обратной функции» , Bull. амер. Математика. Соц. , 7 (1): 65–222, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 , МР 0656198
- Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 0423094 .
- Тихомиров В.М. (2001) [1994], «Вариация Гато» , Математическая энциклопедия , EMS Press .
- Вайнберг, М.М. (1964), Вариационные методы исследования нелинейных операторов , Сан-Франциско, Лондон, Амстердам: Holden-Day, Inc, стр. 57
- Цорн, Макс (1945), «Характеризация аналитических функций в банаховых пространствах», Annals of Mathematics , Second Series, 46 (4): 585–593, doi : 10.2307/1969198 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969198 , MR 0014190 .
- Зорн, Макс (1946), «Производные и дифференциалы Фреше» , Бюллетень Американского математического общества , 52 (2): 133–137, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08524-9 , MR 0014595 .