Производные торты

В математике дифференциал Гато или производная Гато является обобщением концепции производной по направлению в дифференциальном исчислении . Названный в честь Рене Гато , он определен для функций между локально выпуклыми топологическими векторными пространствами, такими как банаховы пространства . Подобно производной Фреше в банаховом пространстве, дифференциал Гато часто используется для формализации функциональной производной, обычно используемой в вариационном исчислении и физике .

В отличие от других форм производных, дифференциал Гато функции может быть нелинейным оператором . Однако часто определение дифференциала Гато также требует, чтобы он был непрерывным линейным преобразованием . Некоторые авторы, такие как Тихомиров (2001) , проводят дальнейшее различие между дифференциалом Гато (который может быть нелинейным) и производной Гато (которую они считают линейной). В большинстве приложений непрерывная линейность следует из некоторых более примитивных условий, которые являются естественными для конкретной ситуации, например, наложение комплексной дифференцируемости в контексте бесконечномерной голоморфности или непрерывной дифференцируемости в нелинейном анализе.

Определение [ править ]

Предполагать и локально выпуклые топологические векторные пространства (например, банаховы пространства ), открыт, и Дифференциал Гато из в в направлении определяется как

( 1 )

Если предел существует для всех тогда один говорит, что дифференцируемо ли Гато в

Предел, фигурирующий в ( 1 ), берется относительно топологии Если и являются вещественными топологическими векторными пространствами, то предел принимается за вещественные С другой стороны, если и являются комплексными топологическими векторными пространствами, то указанный выше предел обычно принимается как в комплексной плоскости, как в определении комплексной дифференцируемости . В некоторых случаях вместо сильного предела берется слабый предел, что приводит к понятию слабой производной Гато.

Линейность и непрерывность [ править ]

В каждой точке дифференциал Гато определяет функцию

Эта функция однородна в том смысле, что для всех скаляров

Однако эта функция не обязательно должна быть аддитивной, так что дифференциал Гато может не быть линейным, в отличие от производной Фреше . Даже если он линейный, он может не зависеть непрерывно от если и являются бесконечномерными. Более того, для дифференциалов Гато, линейных и непрерывных по существует несколько неэквивалентных способов формулировки их непрерывной дифференцируемости .

Например, рассмотрим вещественную функцию двух действительных переменных, определяемых формулой

Это дифференцируемая Гато в с его дифференциалом
Однако это непрерывно, но не линейно по аргументам В бесконечных измерениях любой разрывный линейный функционал на является дифференцируемым по Гато, но его дифференциал Гато в точке является линейным, но не непрерывным.

Связь с производной Фреше

Если дифференцируема по Фреше, то она также дифференцируема по Гато, и ее производные по Фреше и Гато совпадают. Обратное утверждение явно неверно, поскольку производная Гато может не быть линейной или непрерывной. Фактически, производная Гато даже может быть линейной и непрерывной, но производная Фреше не может существовать.

Тем не менее для функций из сложного банахового пространства в другое комплексное банахово пространство производная Гато (где предел берется по комплексному стремящаяся к нулю, как в определении комплексной дифференцируемости ) автоматически линейна, согласно теореме Цорна (1945) . Кроме того, если является (комплексным) дифференцируемым по Гато в каждом с производной

затем дифференцируема ли Фреше на с производной Фреше ( Цорн 1946 ). Это аналогично результату базового комплексного анализа , согласно которому функция является аналитической, если она комплексно дифференцируема в открытом множестве, и является фундаментальным результатом в изучении бесконечномерной голоморфности .

Непрерывная дифференцируемость

Непрерывную дифференцируемость Гато можно определить двумя неэквивалентными способами. Предположим, что дифференцируемо ли Гато в каждой точке открытого множества Одно из понятий непрерывной дифференцируемости в требует, чтобы отображение пространства продукта

быть непрерывным . Линейность не обязательно предполагать: если и являются пространствами Фреше, то автоматически ограничен и линейен для всех ( Гамильтон 1982 ).

Более сильное понятие непрерывной дифференцируемости требует, чтобы

быть непрерывным отображением
от в пространство непрерывных линейных функций из к Заметим, что это уже предполагает линейность

С точки зрения технического удобства последнее понятие непрерывной дифференцируемости является типичным (но не универсальным), когда пространства и являются Банахом, поскольку также является банаховым, и тогда можно использовать стандартные результаты функционального анализа. Первое является более распространенным определением в областях нелинейного анализа, где задействованные функциональные пространства не обязательно являются банаховыми пространствами. Например, дифференцирование в пространствах Фреше имеет такие приложения, как теорема Нэша – Мозера об обратной функции , в которой интересующие функциональные пространства часто состоят из гладких функций на многообразии .

Высшие производные [ править ]

В то время как производные Фреше более высокого порядка естественным образом определяются как полилинейные функции путем итерации с использованием изоморфизмов Производную Гато более высокого порядка нельзя определить таким образом. Вместо этого Производная Гато функции го порядка в направлении определяется

( 2 )

Вместо полилинейной функции это однородная функция степени в

Есть еще один кандидат на определение производной высшего порядка — функция

( 3 )

которое естественным образом возникает в вариационном исчислении как вторая вариация по крайней мере, в том частном случае, когда является скалярным. Однако он может вообще не иметь каких-либо разумных свойств, кроме однородности по отдельности. и Желательно иметь достаточные условия для обеспечения того, чтобы является симметричной билинейной функцией и и что это согласуется поляризацией с

Например, имеет место следующее достаточное условие ( Гамильтон, 1982 ). Предположим, что является в том смысле, что отображение

непрерывна в топологии произведения , и, более того, вторая производная, определенная формулой ( 3 ), также непрерывна в том смысле, что
является непрерывным. Затем билинейна и симметрична по и В силу билинейности справедливо поляризационное тождество
связывающий производную второго порядка с дифференциалом Аналогичные выводы справедливы и для производных более высокого порядка.

Свойства [ править ]

Версия фундаментальной теоремы исчисления справедлива для производной Гато предоставил предполагается достаточно непрерывно дифференцируемым. Конкретно:

  • Предположим, что является в том смысле, что производная Гато является непрерывной функцией Тогда для любого и
    где интеграл представляет собой интеграл Гельфанда–Петтиса (слабый интеграл) ( Вайнберг (1964) ).

Из этого следуют многие другие знакомые свойства производной, такие как полилинейность и коммутативность производных более высокого порядка. Дополнительные свойства, а также следствия основной теоремы, включают:

  • ( Правило цепочки )
    для всех и (Важно, что, как и в случае с простыми частными производными , производная Гато не удовлетворяет правилу цепочки, если производной разрешено быть разрывным.)
  • ( Теорема Тейлора с остатком )
    Предположим, что отрезок между и лежит целиком внутри Если является затем
    где остаточный член определяется выражением

Пример [ править ]

Позволять гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, на измеримом по Лебегу множестве в евклидовом пространстве Функционал

где является вещественной функцией действительной переменной и определяется на с действительными значениями, имеет производную Гато

Действительно, вышеизложенное является пределом из

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]