Vector-valued function of multiple vectors, linear in each argument
В линейной алгебре полилинейное отображение — это функция нескольких переменных, линейная отдельно по каждой переменной. Точнее, полилинейное отображение — это функция
![{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a791997e08e880ad7aeb9808d71b559be172eeb4)
где
(
) и
— векторные пространства (или модули над коммутативным кольцом ), обладающие следующим свойством: для каждого
, если все переменные, кроме
остаются постоянными, то
является линейной функцией
. [1] Один из способов визуализировать это — представить два ортогональных вектора; если один из этих векторов масштабируется в 2 раза, а другой остается неизменным, векторное произведение также масштабируется в два раза. Если оба масштабируются в 2 раза, векторное произведение масштабируется в 2 раза.
.
Полилинейное отображение одной переменной является линейным отображением , а двух переменных — билинейным отображением . В более общем смысле, для любого неотрицательного целого числа
Полилинейное отображение k переменных называется k -линейным отображением . Если кодоманом полилинейного отображения является поле скаляров , оно называется полилинейной формой . Полилинейные отображения и полилинейные формы — фундаментальные объекты изучения полилинейной алгебры .
Если все переменные принадлежат одному и тому же пространству, можно рассматривать симметричные , антисимметричные и знакопеременные k -линейные отображения. Последние два совпадают, если основное кольцо (или поле ) имеет характеристику, отличную от двух, в противном случае первые два совпадают.
- Любая билинейная карта является полилинейной. Например, любой внутренний продукт на
-векторное пространство является полилинейной картой, как и векторное произведение векторов в
.
- Определитель знакопеременная матрицы — это полилинейная функция столбцов (или строк) квадратной матрицы .
- Если
это буква С к функция , то
-я производная от
в каждой точке
в своей области можно рассматривать как симметричный
-линейная функция
. [ нужна цитата ]
Координатное представление [ править ]
Позволять
![{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a791997e08e880ad7aeb9808d71b559be172eeb4)
— полилинейное отображение конечномерных векторных пространств, где
имеет размерность
, и
имеет размерность
. Если мы выберем основу
для каждого
и основа
для
(выделены жирным шрифтом для векторов), тогда мы можем определить набор скаляров
к
![{\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n }}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_ {д}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d07690f959c7d0838656d909feb5ed22befd93b)
Тогда скаляры
полностью определить полилинейную функцию
. В частности, если
![{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45610ff4e420302a03b9b0d7da8e8763ad72d9be)
для
, затем
![{\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1} }\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k} v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa5bcb30ebd68e758fd61bebf5afc7805670ae7)
Возьмем трилинейную функцию
![{\displaystyle г\двоеточие R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b941dd650bc45f68edc621167286b7a2ded0f441)
где V i = R 2 , d i = 2, i = 1,2,3 и W = R , d = 1 .
Основой для каждого V i является
Позволять
![{\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i}, {\textbf {e}}_{2j}, {\textbf {e}}_{3k}) = f({\textbf {e} }_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf1d1272bc7ab6c71a041888f359e47319fc566)
где
. Другими словами, константа
— значение функции в одной из восьми возможных троек базисных векторов (поскольку для каждой из трех есть два варианта выбора).
), а именно:
![{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1}, {\textbf {e}}_{1}, {\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e }}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{ \textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1} \},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e }}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e980321c63bc49ae91cfeee9e9dc6a63e574eec)
Каждый вектор
может быть выражено как линейная комбинация базисных векторов
![{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times { \textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0, 1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195f76aa1c3e82031ab1dac34551d44a84b4209a)
Значение функции в произвольном наборе из трех векторов
может быть выражено как
![{\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c3c726ba2215d8d95f0ab629653e6464e2fc54)
или в развернутом виде как
![{\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\ textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1 },{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2} )+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({ \textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e} }_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\ textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8004aa7c471298597489932310d46c814df7592e)
Связь произведениями с тензорными
Между полилинейными картами существует естественное взаимно однозначное соответствие.
![{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a791997e08e880ad7aeb9808d71b559be172eeb4)
и линейные карты
![{\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e42995ff0960cd8e28652f5923625c24301e0e6)
где
обозначает произведение тензорное
. Связь между функциями
и
определяется формулой
![{\displaystyle f(v_{1},\ldots,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabd5694e57568da60d1396aeabc37bfe518679d)
Полилинейные функции на n × n матрицах размера [ править ]
Можно рассматривать полилинейные функции на матрице размера n × n над коммутативным кольцом K с единицей как функцию строк (или, что то же самое, столбцов) матрицы. Пусть A — такая матрица, а a i , 1 ≤ i ≤ n строки , — ее . Тогда полилинейную функцию D можно записать в виде
![{\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots,a_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d95ff355759d90567c94bab52d2be90b17044b3)
удовлетворяющий
![{\displaystyle D(a_{1},\ldots,ca_{i}+a_{i}',\ldots,a_{n})=cD(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba3bf8e7663ef1cf66d92364e8cb4f057842baa)
Если мы позволим
представляют j- ю строку единичной матрицы, мы можем выразить каждую строку a i как сумму
![{\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a432b35b0942983d76d9c97ae6f1eb2b39979b3a)
Используя полилинейность D, перепишем D ( A ) как
![{\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots , a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{ н}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9edbeff3909bda7958df41684d30993bff6ecd2)
Продолжая эту замену для каждого a i , мы получаем для 1 ≤ i ≤ n ,
![{\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_ {n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1 }},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ade79188714293a0c31aafe19cde3d1500be20)
Следовательно, D ( A ) однозначно определяется тем, как D действует на
.
В случае матриц 2×2 получаем
![{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1}, {\hat {e}}_{1})+A_{1 ,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D( {\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2} , {\ шляпа {e}} _ {2}), \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6ebd37727c0da7d3a199537f648bc4a5d712a5)
где
и
. Если мы ограничим
быть знакопеременной функцией, то
и
. Сдача в аренду
, мы получаем определительную функцию на матрицах 2×2:
![{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d5acaff8f64e103de11afcd45b0135351ae5ce)
- Полилинейное отображение имеет нулевое значение, если один из его аргументов равен нулю.