Симметричная функция

Эта статья о функциях, которые инвариантны относительно всех перестановок своих переменных. Об обобщении симметричных многочленов на бесконечное число переменных (в алгебраической комбинаторике) см. Кольцо симметрических функций . Для симметричных функций на элементах векторного пространства см. симметричный тензор .

В математике функция ​ ​ $n$ переменная является симметричной , если ее значение одинаково, независимо от порядка ее аргументов . Например, функция $f\left(x_{1},x_{2}\right)$ двух аргументов является симметричной функцией тогда и только тогда, когда $f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)$ для всех $x_{1}$ и $x_{2}$ такой, что $\left(x_{1},x_{2}\right)$ и $\left(x_{2},x_{1}\right)$ находятся сфере в $f.$ Наиболее часто встречающимися симметричными функциями являются полиномиальные функции , которые задаются симметричными полиномами .

Родственное понятие — знакопеременные многочлены , которые меняют знак при замене переменных. Помимо полиномиальных функций, симметричными могут быть тензоры , действующие как функции нескольких векторов, и фактически пространство симметричных $k$-тензоры в векторном пространстве $V$ изоморфно однородных пространству многочленов степени $k$ на $V.$ Симметричные функции не следует путать с четными и нечетными функциями , которые имеют другой вид симметрии.

Симметризация

Основная статья: Симметризация

Учитывая любую функцию $f$ в $n$ переменных со значениями в абелевой группе , симметричную функцию можно построить путем суммирования значений $f$ по всем перестановкам аргументов. Точно так же антисимметричная функция может быть построена путем суммирования по четным перестановкам и вычитания суммы по нечетным перестановкам . Эти операции, конечно, необратимы и вполне могут привести к получению функции, которая тождественно равна нулю для нетривиальных функций. $f.$ Единственный общий случай, когда $f$ можно восстановить, если известны как его симметризация, так и антисимметризация, - это когда $n=2$ а абелева группа допускает деление на 2 (обратное удвоению); затем $f$ равна половине суммы его симметризации и антисимметризации.

Примеры

• Рассмотрим действительную функцию
  $$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).$$
  По определению, симметричная функция с $n$ переменные обладают тем свойством, что
  $$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}$$
  В общем случае функция остается неизменной для каждой перестановки ее переменных. Это означает, что в данном случае
  $$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$$
  и так далее, для всех перестановок $x_{1},x_{2},x_{3}.$
• Рассмотрим функцию
  $$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$$
  Если $x$ и $y$ меняются местами, функция становится
  $$f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},$$
  который дает точно такие же результаты, как и оригинал $f(x,y).$
• Рассмотрим теперь функцию
  $$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.$$
  Если $x$ и $y$ меняются местами, функция становится
  $$f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$$
  Эта функция не совпадает с исходной, если $a\neq b,$ что делает его несимметричным.

Приложения

U-статистика

Основная статья: U-статистика

В статистике , $n$-выборочная статистика (функция в $n$ переменных), который получается путем начальной симметризации $k$-выборочная статистика, дающая симметричную функцию в $n$ переменных, называется U-статистикой . Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию .

См. также

• Переменный полином
• Элементарный симметричный полином – Математическая функция
• Чётные и нечётные функции – функции, такие, что f(–x) равно f(x) или –f(x).
• Сменные случайные величины - концепция в статистике.
• Квазисимметричная функция
• Кольцо симметричных функций
• Симметризация – процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметричную функцию от n переменных. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Полином Вандермонда – определитель матрицы Вандермонда. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Ф. Н. Дэвид , М. Г. Кендалл и Д. Е. Бартон (1966) Симметричные функции и родственные таблицы , издательство Кембриджского университета .
• Джозеф П.С. Кунг, Джан-Карло Рота и Кэтрин Х. Ян (2009) Комбинаторика: Путь Роты , §5.1 Симметричные функции, стр. 222–5, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-73794-4 .