Jump to content

Переменный полином

В алгебре знакопеременный многочлен — это многочлен так что если поменять местами любые две переменные, полином меняет знак:

Эквивалентно, если переставить переменные, значение полинома изменится на знак перестановки :

В более общем смысле полином говорят, что они чередуются если он меняет знак, если поменять местами любые два из , оставив зафиксированный. [1]

Связь с симметричными полиномами

[ редактировать ]

Произведения симметричных и знакопеременных полиномов (от тех же переменных ) ведут себя так:

  • произведение двух симметричных многочленов симметрично,
  • произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена является чередующимся, и
  • произведение двух знакопеременных многочленов симметрично.

Это в точности таблица сложения четности , где «симметричный» соответствует «четному», а «чередующийся» соответствует «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебру ( градуированная алгебра ), где симметричные многочлены — четная часть, а знакопеременные многочлены — нечетная часть.Эта градуировка не связана с градуировкой полиномов по степени .

В частности, знакопеременные многочлены образуют модуль над алгеброй симметричных многочленов (нечетная часть супералгебры является модулем над четной частью); на самом деле это свободный модуль ранга 1 с полиномом Вандермонда от n переменных в качестве генератора.

Если характеристика коэффициентов кольца равна 2, между этими двумя понятиями нет разницы: знакопеременные многочлены - это в точности симметричные многочлены.

Полином Вандермонда

[ редактировать ]

Основным переменным полиномом является полином Вандермонда :

Очевидно, что это чередование, поскольку переключение двух переменных меняет знак одного члена и не меняет другие. [2]

Перемежающиеся полиномы - это в точности полином Вандермонда, умноженный на симметричный полином: где является симметричным.Это потому, что:

  • является фактором каждого знакопеременного многочлена: является фактором каждого знакопеременного многочлена, как если бы , полином равен нулю (поскольку их переключение не меняет полином, получаем
так является фактором), и, таким образом, является фактором.
  • знакопеременный полином, умноженный на симметричный многочлен, является знакопеременным полиномом; таким образом, все кратные являются знакопеременными полиномами

И наоборот, отношение двух знакопеременных многочленов является симметричной функцией, возможно, рациональной (не обязательно многочленом), хотя отношение знакопеременного многочлена к многочлену Вандермонда является многочленом. Полиномы Шура определяются таким образом как знакопеременный полином, разделенный на полином Вандермонда.

Кольцевая структура

[ редактировать ]

Таким образом, обозначая кольцо симметричных многочленов через Λ n , кольцо симметричных и знакопеременных многочленов имеет вид , или точнее , где – симметричный полином, дискриминант .

То есть кольцо симметричных и знакопеременных многочленов является квадратичным расширением кольца симметричных многочленов, к которому присоединен квадратный корень из дискриминанта.

Альтернативно это:

Если 2 не обратимо, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой полином , и получает другое соотношение; см. Романьи.

Теория представлений

[ редактировать ]

С точки зрения теории представлений , симметричные и знакопеременные многочлены являются подпредставлениями действия симметрической группы на n букв на кольце полиномов от n переменных. (Формально, симметричная группа действует на n букв и, таким образом, действует на производные объекты, особенно на свободные объекты на n буквах, такие как кольцо полиномов.)

Симметричная группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные полиномы представляют собой тривиальное представление, а знакопеременные полиномы представляют собой знаковое представление. Формально скалярная оболочка любого симметричного (соответственно, знакопеременного) многочлена является тривиальным (соответственно, знаком) представлением симметрической группы, и умножение полиномов тензорит представления.

В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.

Если , существуют также другие подпредставления действия симметрической группы на кольце многочленов, как обсуждается в теории представлений симметрической группы .

Нестабильный

[ редактировать ]

Переменные многочлены - нестабильное явление: кольцо симметричных многочленов от n переменных можно получить из кольца симметричных многочленов от произвольного числа переменных, вычислив все приведенные выше переменные. до нуля: таким образом, симметричные полиномы стабильны или определены совместимым образом. Однако это не относится к знакопеременным полиномам, в частности к полиному Вандермонда .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Джамбруно и Зайцев (2005) , с. 12.
  2. ^ Скорее, это только переставляет другие термины: для , переключение и изменения к и обмены с , но не меняет своего знака.
  • Джамбруно, Антонио; Зайцев, Михаил (2005). Полиномиальные тождества и асимптотические методы . Том. 122. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3829-7 .
  • Фундаментальная теорема о знакопеременных функциях , Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 030792686c49508a967073d581713db7__1708469640
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/03/b7/030792686c49508a967073d581713db7.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Alternating polynomial - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)