Переменный полином
В алгебре знакопеременный многочлен — это многочлен так что если поменять местами любые две переменные, полином меняет знак:
Эквивалентно, если переставить переменные, значение полинома изменится на знак перестановки :
В более общем смысле полином говорят, что они чередуются если он меняет знак, если поменять местами любые два из , оставив зафиксированный. [1]
Связь с симметричными полиномами
[ редактировать ]Произведения симметричных и знакопеременных полиномов (от тех же переменных ) ведут себя так:
- произведение двух симметричных многочленов симметрично,
- произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена является чередующимся, и
- произведение двух знакопеременных многочленов симметрично.
Это в точности таблица сложения четности , где «симметричный» соответствует «четному», а «чередующийся» соответствует «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебру ( — градуированная алгебра ), где симметричные многочлены — четная часть, а знакопеременные многочлены — нечетная часть.Эта градуировка не связана с градуировкой полиномов по степени .
В частности, знакопеременные многочлены образуют модуль над алгеброй симметричных многочленов (нечетная часть супералгебры является модулем над четной частью); на самом деле это свободный модуль ранга 1 с полиномом Вандермонда от n переменных в качестве генератора.
Если характеристика коэффициентов кольца равна 2, между этими двумя понятиями нет разницы: знакопеременные многочлены - это в точности симметричные многочлены.
Полином Вандермонда
[ редактировать ]Основным переменным полиномом является полином Вандермонда :
Очевидно, что это чередование, поскольку переключение двух переменных меняет знак одного члена и не меняет другие. [2]
Перемежающиеся полиномы - это в точности полином Вандермонда, умноженный на симметричный полином: где является симметричным.Это потому, что:
- является фактором каждого знакопеременного многочлена: является фактором каждого знакопеременного многочлена, как если бы , полином равен нулю (поскольку их переключение не меняет полином, получаем
- так является фактором), и, таким образом, является фактором.
- знакопеременный полином, умноженный на симметричный многочлен, является знакопеременным полиномом; таким образом, все кратные являются знакопеременными полиномами
И наоборот, отношение двух знакопеременных многочленов является симметричной функцией, возможно, рациональной (не обязательно многочленом), хотя отношение знакопеременного многочлена к многочлену Вандермонда является многочленом. Полиномы Шура определяются таким образом как знакопеременный полином, разделенный на полином Вандермонда.
Кольцевая структура
[ редактировать ]Таким образом, обозначая кольцо симметричных многочленов через Λ n , кольцо симметричных и знакопеременных многочленов имеет вид , или точнее , где – симметричный полином, дискриминант .
То есть кольцо симметричных и знакопеременных многочленов является квадратичным расширением кольца симметричных многочленов, к которому присоединен квадратный корень из дискриминанта.
Альтернативно это:
Если 2 не обратимо, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой полином , и получает другое соотношение; см. Романьи.
Теория представлений
[ редактировать ]С точки зрения теории представлений , симметричные и знакопеременные многочлены являются подпредставлениями действия симметрической группы на n букв на кольце полиномов от n переменных. (Формально, симметричная группа действует на n букв и, таким образом, действует на производные объекты, особенно на свободные объекты на n буквах, такие как кольцо полиномов.)
Симметричная группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные полиномы представляют собой тривиальное представление, а знакопеременные полиномы представляют собой знаковое представление. Формально скалярная оболочка любого симметричного (соответственно, знакопеременного) многочлена является тривиальным (соответственно, знаком) представлением симметрической группы, и умножение полиномов тензорит представления.
В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.
Если , существуют также другие подпредставления действия симметрической группы на кольце многочленов, как обсуждается в теории представлений симметрической группы .
Нестабильный
[ редактировать ]Переменные многочлены - нестабильное явление: кольцо симметричных многочленов от n переменных можно получить из кольца симметричных многочленов от произвольного числа переменных, вычислив все приведенные выше переменные. до нуля: таким образом, симметричные полиномы стабильны или определены совместимым образом. Однако это не относится к знакопеременным полиномам, в частности к полиному Вандермонда .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Джамбруно и Зайцев (2005) , с. 12.
- ^ Скорее, это только переставляет другие термины: для , переключение и изменения к и обмены с , но не меняет своего знака.
Ссылки
[ редактировать ]- Джамбруно, Антонио; Зайцев, Михаил (2005). Полиномиальные тождества и асимптотические методы . Том. 122. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3829-7 .
- Фундаментальная теорема о знакопеременных функциях , Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.