Характеристика (алгебра)

В математике характеристика R кольца ( R , часто обозначаемая char( ) , кольца определяется как наименьшее положительное число копий мультипликативной идентичности ) 1 ), которое в сумме дает аддитивную идентичность ( 0 . Если такого числа не существует, говорят, что кольцо имеет нулевую характеристику.

То есть char( R ) — это наименьшее положительное число n такое, что:

$\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0$

если такое число n существует, и 0 в противном случае.

Мотивация

Специальное определение нулевой характеристики мотивировано эквивалентными определениями, приведенными в следующем разделе, где нулевую характеристику не требуется рассматривать отдельно.

Характеристикой также можно считать показатель степени кольца аддитивной группы , то есть наименьшее положительное целое число n такое, что:

$\underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0$

для каждого элемента a кольца (опять же, если n существует; в противном случае ноль). Это определение применимо к более общему классу грегс ( см. Кольцо (математика) § Мультипликативное тождество и термин «кольцо» ); для (единичных) колец эти два определения эквивалентны в силу их закона распределения .

характеристики

• Характеристикой является натуральное число n такое, что n $\mathbb {Z}$ является ядром единственного гомоморфизма колец из $\mathbb {Z}$ к Р. ​
• Характеристикой является натуральное число n такое, что R содержит подкольцо , изоморфное фактор -кольцу $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, который является образом указанного выше гомоморфизма.
• Когда неотрицательные целые числа {0, 1, 2, 3, ...} по частично упорядочены делимости, тогда 1 является наименьшим, а 0 — наибольшим. Тогда характеристикой кольца является наименьшее значение n, для которого n ⋅ 1 = 0 . Если ничего «меньшего» (в этом порядке), чем 0 , не достаточно, тогда характеристика равна 0 . Это подходящий частичный порядок, поскольку char( A × B ) является наименьшим общим кратным char A A и char B гомоморфизм колец f : A → B не существует, пока char B не делит char , и что .
• Характеристика кольца R равна n в точности, если из утверждения ka = 0 для всех a ∈ R следует, что k кратно n .

Футляр с кольцами

Если R и S — кольца и существует гомоморфизм R → S , то характеристика S делит характеристику R. кольцевой Иногда это можно использовать для исключения возможности некоторых гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой 1 — это нулевое кольцо , имеющее только один элемент 0 . Если нетривиальное кольцо R не имеет нетривиальных делителей нуля , то его характеристика либо 0 , либо простое число . В частности, это относится ко всем полям , ко всем областям целостности и ко всем телам . Любое кольцо характеристики 0 бесконечно.

Кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ целых чисел по модулю n имеет характеристику n . Если R — подкольцо кольца S , то R и S имеют одну и ту же характеристику. Например, если p — простое число, а q ( X ) — неприводимый многочлен с коэффициентами из поля $\mathbb {F} _{p}$ с p элементами, то факторкольцо $\mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))$ является полем характеристики p . Другой пример: Поле $\mathbb {C}$ комплексных чисел содержит $\mathbb {Z}$, поэтому характеристика $\mathbb {C}$ это 0 .

А $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$-алгебра эквивалентно кольцу, характеристика которого делит n . Это связано с тем, что для каждого кольца R существует гомоморфизм колец. $\mathbb {Z} \to R$, и эта карта учитывает $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ тогда и только тогда, когда характеристика R делит n . В этом случае для любого r в кольце добавление r к самому себе n раз дает nr = 0 .

Если коммутативное кольцо R имеет простую характеристику p , то мы имеем ( x + y ) ^п = х ^п + и ^п для всех элементов x и y в R – обычно неправильная « мечта первокурсника » справедлива для степени p .Карта x ↦ x ^п затем определяет гомоморфизм колец R → R , который называется гомоморфизмом Фробениуса . Если R — область целостности, она инъективна .

Случай полей

Как уже говорилось выше, характеристикой любого поля является либо 0 , либо простое число. Поле ненулевой характеристики называется полем конечной характеристики , положительной характеристики или простой характеристики . Характеристический показатель определяется аналогично, за исключением того, что он равен 1, когда характеристика равна 0 ; в противном случае оно имеет то же значение, что и характеристика.

Любое поле F имеет единственное минимальное подполе , называемое также его главное поле . Это подполе изоморфно либо рациональных чисел полю $\mathbb {Q}$ или конечное поле $\mathbb {F} _{p}$ высшего порядка. Два простых поля одной и той же характеристики изоморфны, и этот изоморфизм единственен. Другими словами, в каждой характеристике по существу существует уникальное простое поле.

Поля нулевой характеристики

Наиболее распространенными полями нулевой характеристики являются подполя комплексных чисел . p -адические поля — это характеристические нулевые поля, которые широко используются в теории чисел. Они имеют абсолютные значения, которые сильно отличаются от абсолютных значений комплексных чисел.

Для любого упорядоченного поля , например поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ или поле действительных чисел $\mathbb {R}$, характеристика равна 0 . Таким образом, каждое поле алгебраических чисел и поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ имеют нулевую характеристику.

Поля основной характеристики

Конечное поле GF( p ^н ) имеет характеристику p .

Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональных функций над $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, алгебраическое замыкание $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ или поле формальных рядов Лорана $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))$.

Размер любого конечного кольца простой характеристики p является степенью p . Поскольку в этом случае он содержит $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ это также векторное пространство над этим полем, и из линейной алгебры мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются степенью размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа.

Источники

• Маккой, Нил Х. (1973) [1964]. Теория колец . Издательство Челси . п. 4. ISBN  978-0-8284-0266-8 .