Jump to content

Ядро (алгебра)

(Перенаправлено из ядра (теория колец) )

В алгебре ядро 0 ( за ​​гомоморфизма ( функция , сохраняющая структуру ) обычно является прообразом исключением групп , операция которых обозначается мультипликативно, где ядро ​​является прообразом 1). Важным частным случаем является ядро ​​линейного отображения . Ядро матрицы , также называемое нулевым пространством , является ядром линейного отображения, определяемого матрицей.

Ядро гомоморфизма сводится к 0 (или 1) тогда и только тогда, когда гомоморфизм инъективен , то есть если прообраз каждого элемента состоит из одного элемента. Это означает, что ядро ​​можно рассматривать как меру степени неинъективности гомоморфизма. [1]

Для некоторых типов структур, таких как абелевы группы и векторные пространства , возможными ядрами являются в точности подструктуры того же типа. Это не всегда так, и иногда возможные ядра получают специальное название, например нормальная подгруппа для групп и двусторонние идеалы для колец .

Ядра позволяют определять факторобъекты (также называемые факторалгебрами в универсальной алгебре и коядрами в теории категорий ). Для многих типов алгебраических структур фундаментальная теорема о гомоморфизмах (или первая теорема об изоморфизме ) утверждает, что образ гомоморфизма изоморфен фактору по ядру.

Понятие ядра было расширено на структуры, в которых прообраза единственного элемента недостаточно для принятия решения о том, является ли гомоморфизм инъективным. В этих случаях ядром является отношение конгруэнтности .

Эта статья представляет собой обзор некоторых важных типов ядер в алгебраических структурах.

Обзор примеров [ править ]

Линейные карты [ править ]

Пусть V и W векторные пространства над полем (или, в более общем смысле, над кольцом ) , и пусть T линейное отображение из V в W. модули Если 0 W нулевой вектор W ; , то ядро ​​T прообраз нулевого подпространства { 0 W } то есть подмножество V , состоящее из всех тех элементов V , которые отображаются T в элемент 0 W . Ядро обычно обозначается как ker T или его разновидность:

Поскольку линейное отображение сохраняет нулевые векторы, нулевой вектор 0 V карты V должен принадлежать ядру. Преобразование T инъективно тогда и только тогда, когда его ядро ​​сведено к нулевому подпространству.

Ядро ker T всегда является подпространством V линейным . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-пространстве V /(ker T ) . Первая теорема об изоморфизме векторных пространств утверждает, что это фактор-пространство ( который естественно изоморфно образу T является подпространством W ). Как следствие, размерность V равна размерности ядра плюс размер изображения.

Если V и W конечномерны = и базы выбраны, то можно описать матрицей M , а ядро ​​можно вычислить путем решения однородной системы линейных уравнений M v T 0 . В этом случае ядро ​​T может быть отождествлено с ядром матрицы M , также называемым «нулевым пространством M. » Размерность нулевого пространства, называемая нульностью M , определяется количеством столбцов M минус ранг M теоремы о , как следствие ранге-пустоте .

Решение однородных дифференциальных уравнений часто сводится к вычислению ядра некоторых дифференциальных операторов .Например, чтобы найти все дважды дифференцируемые функции f от вещественной прямой до самой себя такие, что

пусть V — пространство всех дважды дифференцируемых функций, пусть W — пространство всех функций и определим линейный оператор T из V в W формулой

для f в V и x произвольное действительное число .Тогда все решения дифференциального уравнения находятся в ker T .

можно определить ядра гомоморфизмов между модулями над кольцом Аналогичным образом . Сюда входят ядра гомоморфизмов между абелевыми группами как частный случай. Этот пример отражает суть ядер в общих абелевых категориях ; см. Ядро (теория категорий) .

Групповые гомоморфизмы

Пусть G и H группы , и пусть f групповой гомоморфизм из G в H . Если e H является элементом H единичным , то ядро ​​f ; является прообразом одноэлементного множества { e H } то есть подмножество G, состоящее из всех тех элементов G , которые отображаются с помощью f в элемент e H .

Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

Поскольку гомоморфизм группы сохраняет единичные элементы, единичный элемент e G группы G должен принадлежать ядру.

Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество { eG } . Если бы f не был инъективным, то неинъективные элементы могли бы образовывать отдельные элементы его ядра: существовали бы a , b G такие, что a b и f ( a ) = f ( b ) . Таким образом f ( a ) f ( b ) −1 знак равно е ЧАС . f — групповой гомоморфизм, поэтому обратные и групповые операции сохраняются, что дает f ( ab −1 ) знак равно е ЧАС ; другими словами, аб −1 ∈ ker f и ker f не будет синглтоном. И наоборот, различные элементы ядра напрямую нарушают инъективность: если бы существовал элемент g e G ∈ ker f , то f ( g ) = f ( e G ) = e H , таким образом, f не был бы инъективным.

ker f подгруппа группы G и, кроме того, нормальная подгруппа . Таким образом, существует соответствующая факторгруппа G /(ker f ) . Это изоморфно f ( G ), образу G под f (который также является подгруппой H ), согласно первой теореме об изоморфизме для групп.

В частном случае абелевых групп никаких отклонений от предыдущего раздела нет.

Пример [ править ]

Пусть G циклическая группа на 6 элементах {0, 1, 2, 3, 4, 5} с модулярным сложением , H — циклическая группа на 2 элементах {0, 1} с модулярным сложением, а f — гомоморфизм, отображающий каждый элемент g в G к элементу g по модулю 2 в H . Тогда ker f = {0, 2, 4} , поскольку все эти элементы отображаются в H. 0 Факторгруппа G /(ker f ) состоит из двух элементов: {0, 2, 4} и {1, 3, 5} . Он действительно изоморфен H .

Кольцевые гомоморфизмы

Пусть R и S кольца (предполагаемые едиными ), и пусть гомоморфизм колец из R в S. f Если 0 S нулевой элемент S ​​f , то ядро — это его ядро ​​как линейное отображение целых чисел или, что то же самое, как аддитивные группы. Это прообраз нулевого идеала {0 S }, то есть подмножества R, состоящего из всех тех элементов R , которые отображаются с помощью f в элемент 0 S .Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант).В символах:

Поскольку гомоморфизм колец сохраняет нулевые элементы, нулевой элемент 0 R кольца R должен принадлежать ядру.Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество {0 R }.Это всегда так, если R поле , а S — не нулевое кольцо .

Поскольку ker f содержит мультипликативную единицу только тогда, когда S — нулевое кольцо, то оказывается, что ядро, вообще говоря, не является кольца R. Ядро — это подкольцо R , а точнее, двусторонний идеал кольца R. подкольцом Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-кольце R /(ker f ) .Первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что это факторкольцо естественно изоморфно образу f (который является подкольцом S ). (Обратите внимание, что для определения ядра кольца не обязательно должны быть единичными).

В какой-то степени это можно рассматривать как частный случай ситуации для модулей, поскольку все они являются бимодулями над кольцом R :

  • Р ; сам
  • любой двусторонний идеал R (например, ker f );
  • любое фактор-кольцо R (например, R /(ker f ) ); и
  • кодобласть R любого кольцевого гомоморфизма, областью определения которого является ( например, S , кодобласть f ).

Однако теорема об изоморфизме дает более сильный результат, поскольку изоморфизмы колец сохраняют умножение, а изоморфизмы модулей (даже между кольцами), как правило, этого не делают.

Этот пример отражает суть ядер в общих алгебрах Мальцева .

гомоморфизмы Моноидные

Пусть M и N моноиды , и пусть f гомоморфизм моноида из M в N . Тогда ядро ​​f упорядоченных — это подмножество прямого произведения M × M, состоящее из всех тех пар элементов M, компонента которых отображаются с помощью f в один и тот же элемент из N. оба Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

Поскольку f функция , элементы вида ( m , m ) должны принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только диагональное множество {( m , m ) : m в M } .

Оказывается, что ker f является отношением эквивалентности на M и фактически отношением конгруэнтности . Таким образом, имеет смысл говорить о фактормоноиде M /(ker f ) . что этот фактормоноид естественно изоморфен образу f (который является субмоноидом N Первая теорема об изоморфизме для моноидов утверждает , ; для отношения конгруэнции).

По вкусу он сильно отличается от приведенных выше примеров. В частности, прообраза единичного элемента N недостаточно для определения ядра f .

Универсальная алгебра [ править ]

Все перечисленные случаи могут быть объединены и обобщены в универсальной алгебре .

Общий случай [ править ]

Пусть A и B алгебраические структуры данного типа и пусть f — гомоморфизм этого типа A в B. из Тогда ядро ​​f упорядоченных — это подмножество прямого произведения A × A, состоящее из всех тех пар элементов A, оба компонента которых отображаются с помощью f в один и тот же элемент в B .Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант).В символах:

Поскольку f функция , элементы вида ( a , a ) должны принадлежать ядру.

Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядро ​​представляет собой в точности диагональное множество {( a , a ) : a A } .

Легко видеть, что ker f является отношением эквивалентности на A и фактически отношением конгруэнтности .Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-алгебре A /(ker f ) .Первая теорема об изоморфизме что эта факторалгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B в общей универсальной алгебре утверждает , ).

Обратите внимание, что определение ядра здесь (как и в примере с моноидом) не зависит от алгебраической структуры; это чисто теоретико- множественная концепция.Дополнительную информацию об этой общей концепции за пределами абстрактной алгебры см. в разделе « Ядро функции» .

Алгебры Мальцева [ править ]

В случае алгебр Мальцева эту конструкцию можно упростить. Каждая алгебра Мальцева имеет специальный нейтральный элемент ( нулевой вектор в случае векторных пространств , единичный элемент в случае коммутативных групп и нулевой элемент в случае колец или модулей). Характерной особенностью алгебры Мальцева является то, что мы можем восстановить все отношение эквивалентности ker f по классу эквивалентности нейтрального элемента.

Точнее, пусть A и B — алгебраические структуры Мальцева данного типа, и пусть f — гомоморфизм этого типа из A в B . Если e B является нейтральным элементом B , то ядро ​​f { является прообразом одноэлементного множества ; e B } то есть подмножество A , состоящее из всех тех элементов A , которые отображаются с помощью f в элемент e B .Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

Поскольку гомоморфизм алгебры Мальцева сохраняет нейтральные элементы, единичный элемент e A группы A должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество { e A }.

Понятие идеала обобщается на любую алгебру Мальцева (как линейное подпространство в случае векторных пространств, нормальную подгруппу в случае групп, двусторонние идеалы в случае колец и подмодуль в случае модулей ). Оказывается, ker f не является подалгеброй в A , но является идеалом.Тогда имеет смысл говорить о фактор-алгебре G /(ker f ) .Первая теорема об изоморфизме алгебр Мальцева утверждает, что эта факторалгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B ).

Связь между этим соотношением и соотношением конгруэнтности для более общих типов алгебр следующая.Во-первых, ядро-как-идеал — это класс эквивалентности нейтрального элемента e A относительно ядра-как-конгруэнции. Для обратного направления нам понадобится понятие фактора в алгебре Мальцева (которое представляет собой деление с обеих сторон для групп и вычитание для векторных пространств, модулей и колец).Используя это, элементы a и b из A эквивалентны относительно ядра-как-конгруэнции тогда и только тогда, когда их частное a / b является элементом ядра-как-идеала.

Алгебры с неалгебраической структурой [ править ]

Иногда алгебры помимо своих алгебраических операций снабжены неалгебраической структурой.Например, можно рассмотреть топологические группы или топологические векторные пространства , которые снабжены топологией .В этом случае мы могли бы ожидать, что гомоморфизм f сохранит эту дополнительную структуру; в топологических примерах мы хотели бы, чтобы f было непрерывным отображением .Процесс может столкнуться с проблемой фактор-алгебр, которые могут вести себя не очень хорошо.В топологических примерах мы можем избежать проблем, потребовав, чтобы топологические алгебраические структуры были хаусдорфовыми (как это обычно делается); тогда ядро ​​(как бы оно ни было построено) будет замкнутым множеством , и фактор-пространство будет работать нормально (а также будет Хаусдорфовым).

Ядра в теории категорий [ править ]

Понятие ядра в теории категорий является обобщением ядер абелевых алгебр; см. Ядро (теория категорий) .Категориальным обобщением ядра как отношения конгруэнтности является пара ядер .(Существует также понятие разностного ядра или двоичного эквалайзера .)

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли . ISBN  0-471-43334-9 .
  • Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN  0-387-95385-Х .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7013b706613da0687a9caa7c2071031a__1714889220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/70/1a/7013b706613da0687a9caa7c2071031a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Kernel (algebra) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)