Обычная категория

В теории категорий регулярная категория — это категория с конечными пределами и коэквалайзерами пары морфизмов, называемых парами ядер , удовлетворяющая определенным точности условиям . Таким образом, регулярные категории повторяют многие свойства абелевых категорий , такие как существование изображений , не требуя аддитивности. В то же время регулярные категории дают основу для изучения фрагмента логики первого порядка , известного как регулярная логика.

Определение

Категория C называется регулярной , если она удовлетворяет следующим трем свойствам:

• C конечно полон .
• Если f : X → Y — морфизм в C и

является обратным ходом существует коэквалайзер p0 _для , p1 _{, то} . Пара ( , _{функции} p1 ) _{называется} парой ядер f . p0 Будучи обратным образом, пара ядер уникальна с точностью до единственного изоморфизма .

• Если f : X → Y — морфизм в C и

— обратный образ, и если f — регулярный эпиморфизм , то g — также регулярный эпиморфизм. Регулярный эпиморфизм — это эпиморфизм, который появляется как коэквалайзер некоторой пары морфизмов.

Примеры

Примеры обычных категорий включают в себя:

• Set , категория множеств и функций между множествами.
• В более общем смысле каждый элементарный топос
• Grp , категория групп и гомоморфизмов групп.
• Категория колец и кольцевые гомоморфизмы
• В более общем смысле, категория моделей любого разнообразия.
• Любая ограниченная полурешетка с морфизмами, заданными отношением порядка
• Каждая абелева категория

Следующие категории не являются регулярными:

• Top , категория топологических пространств и непрерывных функций.
• Cat , категория малых категорий и функторов

Эпи-моно факторизация

В регулярной категории регулярные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации . Каждый морфизм f:X→Y можно факторизовать в регулярный эпиморфизм e:X→E, за которым следует мономорфизм m:E→Y , так что f=me . Факторизация уникальна в том смысле, что если e':X→E' — другой регулярный эпиморфизм, а m':E'→Y — другой мономорфизм такой, что f=m'e' , то существует изоморфизм h:E→E ' такой, что he=e' и m'h=m . Мономорфизм m называется образом f ​ .

и регулярные

В обычной категории диаграмма вида $R\rightrightarrows X\to Y$ называется точной последовательностью , если она одновременно является коэквалайзером и парой ядер. Терминология представляет собой обобщение точных последовательностей в гомологической алгебре : в абелевой категории диаграмма

$R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y$

является точным в этом смысле тогда и только тогда, когда $0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0$ — короткая точная последовательность в обычном смысле.

Функтор между регулярными категориями называется регулярным , если он сохраняет конечные пределы и коэквалайзеры пар ядер. Функтор регулярен тогда и только тогда, когда он сохраняет конечные пределы и точные последовательности. По этой причине регулярные функторы иногда называют точными функторами . Функторы, сохраняющие конечные пределы, часто называют точными слева .

Обычная логика и обычные категории

Регулярная логика — это фрагмент логики первого порядка , который может выражать утверждения вида

$\forall x(\phi (x)\to \psi (x))$,

где $\phi$ и $\psi$ являются регулярными формулами , т.е. формулами, построенными из атомарных формул , константы истинности, двоичных встреч (союза) и экзистенциальной количественной оценки . Такие формулы можно интерпретировать в регулярной категории, а интерпретация представляет собой модель секвенциальной $\forall x(\phi (x)\to \psi (x))$, если интерпретация $\phi$ факторы посредством интерпретации $\psi$. Это дает для каждой теории (набора секвенций) T и для каждой регулярной категории C категорию Mod ( T ) моделей T в C. , C Эта конструкция дает функтор Mod ( T ,-): RegCat → Cat из категории RegCat малых регулярных категорий и регулярные функторы малых категорий. Важным результатом является то, что для каждой теории T существует регулярная категория R(T) такая, что для каждой регулярной категории C существует эквивалентность

$\mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)$,

что естественно C. в Здесь R(T) называется классифицирующей категорией регулярной теории T. Любая малая регулярная категория с точностью до эквивалентности возникает таким образом как классифицирующая категория некоторой регулярной теории.

Точные (эффективные) категории

Теория отношений эквивалентности является регулярной теорией. Отношение эквивалентности на объекте $X$ регулярной категории является мономорфизмом в $X\times X$ удовлетворяющее интерпретациям условий рефлексивности, симметрии и транзитивности.

Каждая пара ядер $p_{0},p_{1}:R\rightarrow X$ определяет отношение эквивалентности $R\rightarrow X\times X$. И наоборот, отношение эквивалентности называется эффективным, если оно возникает как пара ядер. Отношение эквивалентности эффективно тогда и только тогда, когда оно имеет соэквалайзер и является его парой ядер.

Регулярная категория называется точной , или точной в смысле Барра , или эффективной регулярной , если каждое отношение эквивалентности эффективно. (Обратите внимание, что термин «точная категория» также используется по-другому, для точных категорий в смысле Квиллена .)

Примеры точных категорий

• Категория множеств точна в этом смысле, как и любой (элементарный) топос . Каждое отношение эквивалентности имеет коэквалайзер, который находится путем взятия классов эквивалентности .
• Каждая абелева категория точна.
• Любая категория, монадическая над категорией множеств, точна.
• Категория пространств Стоуна регулярна, но не точна.

См. также

• Аллегория (теория категорий)
• Топос
• Точное завершение

Ссылки

• Барр, Майкл ; Грийе, Пьер А.; ван Осдол, Донован Х. (2006) [1971]. Точные категории и категории пучков . Конспект лекций по математике. Том. 236. Спрингер. ISBN  978-3-540-36999-8 .
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-44179-Х .
• Лак, Стивен (1999). «Заметка о точном пополнении регулярной категории и ее бесконечных обобщениях» . Теория и приложения категорий . 5 (3): 70–80.
• ван Остен, Яап (1995). «Базовая теория категорий» (PDF) . Университет Орхуса. Серия лекций БРИКС LS-95-1.
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .